Czym jest nierówność oraz jak rozwiązywać nierówności i zaznaczać je na osi liczbowej

Znak drogowy w terenie zabudowanym pokazuje 50, zadanie domowe dziecka mówi „rozwiąż 3x − 4 > 11” i oba prowadzą do tego samego pytania: czym jest nierówność? Nierówność w matematyce to zapis, który mówi, że dwie wartości nie są równe, a jej rozwiązaniem jest zwykle cały zbiór liczb zamiast jednej. Jeśli umiesz rozwiązać równanie, umiesz już rozwiązywać nierówności tymi samymi krokami plus jedną zasadą dotyczącą liczb ujemnych, a zaznaczanie nierówności na osi sprowadza się do liczby granicznej, kółka i strzałki.

Co to jest nierówność?

Nierówność to zapis matematyczny, który porównuje dwie wartości jednym z pięciu znaków: < (mniejsze niż), > (większe niż), ≤ (mniejsze lub równe), ≥ (większe lub równe) i ≠ (różne od). Ostry koniec znaku < lub > wskazuje mniejszą wartość, więc 3 < 8 i 8 > 3 mówią to samo.

Równanie takie jak x + 2 = 7 ma jedno rozwiązanie, x = 5. Nierówność taka jak x + 2 > 7 ma ich nieskończenie wiele: 6, 5,5, 20 i 1000 ją spełniają, a 5 nie. Podręcznik OpenStax Elementary Algebra 2e ujmuje to dla x > 3 tak: każda liczba większa od 3 jest rozwiązaniem tej nierówności.

W USA nierówności zaczynają się w klasie 6. Standard Common Core 6.EE.B.8 prosi uczniów o zapisanie nierówności postaci x > c lub x < c, która opisuje warunek z życia lub z zadania, o zauważenie, że takie nierówności mają nieskończenie wiele rozwiązań, i o pokazanie tych rozwiązań na osi liczbowej. W Polsce podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej wymaga w klasach VII–VIII, by uczeń „zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających warunek taki jak x ≥ 1,5”, a podstawa dla liceum i technikum dodaje w zakresie podstawowym, że uczeń „rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą” i „zaznacza przedziały na osi liczbowej”.

Zagraj za darmo w przeglądarcePorównywanie liczbZerówka–klasa 1

Nierówności w życiu: ograniczenia prędkości, wzrost i „co najmniej”

Nierówności w życiu to ograniczenia i minima zapisane językiem matematyki. Ograniczenie prędkości do 50 km/h mówi, że twoja prędkość v musi spełniać v ≤ 50, bo samo 50 jest dozwolone. Atrakcja w parku rozrywki dla osób mających co najmniej 120 cm wzrostu to w ≥ 120, a jadłospis z „co najmniej 3 porcjami warzyw” to p ≥ 3.

O znaku decyduje sformułowanie. OpenStax zauważa, że „co najmniej” znaczy to samo co „większe lub równe”, więc „co najmniej” to ≥, a „co najwyżej” i „nie więcej niż” to ≤. „Więcej niż” i „mniej niż” nie obejmują liczby granicznej, więc stają się > i <.

Jak rozwiązać nierówność krok po kroku

Rozwiązanie nierówności to znalezienie wszystkich wartości niewiadomej, dla których nierówność jest prawdziwa, a metoda jest taka sama jak przy rozwiązywaniu równań. Weź 3x − 4 > 11.

1. Odczytaj znak. Znak to >, „większe niż”, więc odpowiedź będzie brzmiała „x jest większe od jakiejś liczby”, chyba że dzielenie przez liczbę ujemną zmieni znak.
2. Cofnij dodawanie lub odejmowanie. Dodaj 4 do obu stron: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, co daje 3x > 15. Dodawanie i odejmowanie nigdy nie zmieniają znaku.
3. Cofnij mnożenie lub dzielenie. Podziel obie strony przez 3: x > 5. Dzielenie przez liczbę dodatnią zostawia znak bez zmian.
4. Sprawdź liczbę, która powinna pasować. Wstaw x = 6: 3 × 6 − 4 = 14, a 14 > 11 to prawda.
5. Sprawdź liczbę graniczną. Wstaw x = 5: 3 × 5 − 4 = 11, a 11 > 11 to fałsz, więc 5 nie jest rozwiązaniem. Ten wynik mówi, że w 5 rysujesz puste kółko.
6. Zapisz i zaznacz odpowiedź. Rozwiązanie to x > 5: każda liczba większa od 5, zaznaczona pustym kółkiem w 5 i strzałką w prawo.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozwiąż równanieKlasa 6+

Kiedy zmienić znak nierówności?

Znak nierówności zmienia się na przeciwny, gdy mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, i w żadnej innej sytuacji. OpenStax podaje tę zasadę w jednym zdaniu: gdy dzielimy lub mnożymy nierówność przez liczbę ujemną, znak nierówności się odwraca. Dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią zostawiają znak w spokoju.

Prawdziwy zapis pokazuje, skąd ta zasada. Zapis 2 < 5 jest prawdziwy, ale pomnożenie obu stron przez −1 daje −2 i −5, a −2 leży na osi liczbowej na prawo od −5, więc jest większe. Zostawienie znaku dałoby −2 < −5, co jest fałszem, więc znak musi się odwrócić: −2 > −5.

Weź −2x ≤ 8: podziel obie strony przez −2 i zamień ≤ na ≥, a dostaniesz x ≥ −4. Liczba graniczna należy do rozwiązania, bo −2 × (−4) = 8, a 8 ≤ 8 to prawda.

Liczba mniejsza od −4 nie pasuje: x = −5 daje −2 × (−5) = 10, a 10 ≤ 8 to fałsz, więc rozwiązanie biegnie w prawo. Jeśli mnożenie liczb ujemnych sprawia kłopot, poradnik o liczbach ujemnych omawia zasady znaków.

Znaki nierówności w porównaniu: słowa, kółka i przedziały

Każdy znak nierówności ma swoje słowa, swoje kółko na osi liczbowej i swój zapis przedziałowy. W polskiej szkole przedziały liczbowe pojawiają się dopiero w liceum, ale podręczniki algebry używają ich na każdej stronie.

Zapis przedziałowy w jednej zasadzie

Zapis przedziałowy podaje zbiór rozwiązań przez jego dwa końce, z nawiasem okrągłym przy końcu, który do zbioru nie należy, i nawiasem domykającym przy końcu, który należy. OpenStax wyjaśnia, że nawias okrągły ( pokazuje, że koniec nie jest wliczony, a nawias kwadratowy [ pokazuje, że jest. W polskiej szkole koniec domknięty zapisuje się zwykle nawiasem ostrokątnym, więc x ≥ 2 to x ∈ ⟨2, +∞), a w podręcznikach zagranicznych i w wielu programach komputerowych spotkasz [2, +∞). Nieskończoność (∞) zawsze dostaje nawias okrągły, bo żadna liczba do niej nie dochodzi.

Kółko i nawias niosą tę samą informację. Pustemu kółku odpowiada nawias okrągły, a zamalowanemu nawias ostrokątny, więc x ≥ 2 to zamalowane kółko w 2 i przedział ⟨2, +∞).

Jak zaznaczyć nierówność na osi liczbowej

Zaznaczenie nierówności na osi liczbowej wymaga trzech decyzji: gdzie leży liczba graniczna, jakie kółko narysować i w którą stronę zakreślić. Dla x > 2 liczba graniczna to 2, kółko jest puste, bo 2 nie jest rozwiązaniem, a strzałka wskazuje w prawo, w stronę większych liczb.

Kółko wynika ze znaku. Rysuj puste kółko dla < i > oraz zamalowane (pełne) kółko dla ≤ i ≥. Niektóre książki, w tym OpenStax, rysują przy liczbie granicznej nawias zamiast kółka, a znaczenie jest to samo.

Strzałka wynika z kierunku. Gdy x stoi po lewej, > i ≥ zakreślają w prawo, a < i ≤ w lewo. Wybierz jedną liczbę z zakreślonej strony i sprawdź ją: dla x ≤ −1 wstaw x = −3, a −3 ≤ −1 to prawda.

Zasada: zanim zakreślisz, przenieś x na lewą stronę

Nierówność z niewiadomą po prawej stronie, taką jak 7 < x, łatwo zakreślić w złą stronę. OpenStax podaje rozwiązanie: x > a znaczy to samo co a < x. Przeczytaj 7 < x od strony x, „x jest większe od 7”, i zapisz x > 7, zanim zaczniesz rysować.

Ten sam ruch porządkuje gotową odpowiedź. Rozwiązanie 10 ≥ 2x + 4 daje 6 ≥ 2x, a potem 3 ≥ x, co zapisujesz jako x ≤ 3: zamalowane kółko w 3 i strzałka w lewo, a x = 3 pasuje, bo 2 × 3 + 4 = 10. Oś liczbowa to jedna oś układu współrzędnych, a poradnik o układzie współrzędnych pokazuje, jak ta sama myśl rośnie do dwóch wymiarów.

Jak sprawdzić swoje postępy z nierównościami

Pięć krótkich zadań pokazuje, czy rozumiesz nierówności, czy powtarzasz schemat. Rozwiąż każde bez notatek, sprawdź liczbę graniczną, a potem porównaj.

• Jeden krok: rozwiąż x + 7 ≤ 12. Odjęcie 7 daje x ≤ 5, zamalowane kółko w 5 i strzałkę w lewo.
• Dzielnik dodatni: rozwiąż 4x > −12. Dzielenie przez dodatnie 4 zostawia znak, więc x > −3.
• Dzielnik ujemny: rozwiąż −3x > 12. Dzielenie przez −3 zmienia znak, więc x < −4. Sprawdź x = −5: 15 > 12 to prawda.
• Ukryta liczba ujemna: rozwiąż 5 − x < 2. Odjęcie 5 daje −x < −3, a dzielenie przez −1 daje x > 3.
• Zadanie tekstowe: zarabiasz 200 zł tygodniowo plus 12 zł od każdej sprzedaży i chcesz mieć co najmniej 400 zł. To daje 200 + 12s ≥ 400, więc 12s ≥ 200 i s ≥ 200 : 12, czyli około 16,7, co oznacza co najmniej 17 sprzedaży.

Praktyczny test: sprawdzenie liczby granicznej

Sprawdzenie liczby granicznej to jednominutowy test, który wyłapuje złe kółko i zły kierunek. Wstaw liczbę graniczną do wyjściowej nierówności: obie strony powinny wyjść równe, a znak mówi, czy to się liczy. Potem sprawdź jedną liczbę z zakreślonej strony, która musi dać prawdziwy zapis.

Zadanie tekstowe pochodzi wprost z programu nauczania. Common Core 7.EE.B.4b prosi uczniów klasy 7 w USA o rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do nierówności postaci px + q > r lub px + q < r i posługuje się tym samym przykładem sprzedawcy, tyle że w dolarach. Sprawdź: 17 sprzedaży daje 200 + 204 = 404 zł, a 16 sprzedaży daje 200 + 192 = 392 zł, czyli za mało.

Typowe błędy w nierównościach i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi w zadaniach z nierówności, a każdy ma szybkie rozwiązanie.

• Zapomniana zmiana znaku: podzielenie −2x ≤ 8 przez −2 i zapisanie x ≤ −4 daje przeciwną połowę osi. Mów na głos „ujemna, zmieniam znak” za każdym razem, gdy dzielisz przez liczbę ujemną.
• Zmiana znaku bez powodu: liczba ujemna w wyniku niczego nie odwraca. W 2x > −8 dzielisz przez dodatnie 2, więc x > −4 zachowuje znak.
• Złe kółko: zamalowane kółko przy x > 5 twierdzi, że 5 pasuje, choć nie pasuje. Zanim zamalujesz kółko, sprawdź liczbę graniczną przez podstawienie.
• Zły kierunek przy x po prawej: 7 < x zakreśla się w prawo, bo znaczy x > 7. Najpierw przenieś x na lewą stronę.

Przypadek szczególny: nierówności podwójne, brak rozwiązań i wszystkie liczby rzeczywiste

Nierówność podwójna, taka jak −2 < x ≤ 3, daje niewiadomej dwa ograniczenia naraz. OpenStax Intermediate Algebra 2e wyjaśnia, że a < x < b oznacza to samo co a < x i x < b. Na osi liczbowej narysuj puste kółko w −2, zamalowane kółko w 3 i zakreśl odcinek między nimi; w zapisie przedziałowym to (−2, 3⟩.

Rozwiązanie x + 1 < x daje 1 < 0, zapis fałszywy, więc ta nierówność nie ma rozwiązań. Rozwiązanie x + 3 > x daje 3 > 0, co jest zawsze prawdą, więc każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem. Polska podstawa programowa nazywa takie przypadki nierównościami sprzecznymi i tożsamościowymi, a OpenStax mówi o sprzeczności i tożsamości.

Twoja lista kontrolna nierówności i następne kroki

• Znak: przeczytaj znak na głos i zamień „co najmniej” na ≥, a „co najwyżej” na ≤.
• Te same kroki: po obu stronach cofnij dodawanie i odejmowanie, potem mnożenie i dzielenie.
• Zasada liczby ujemnej: zmieniaj znak tylko wtedy, gdy mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną.
• Sprawdzenie granicy: wstaw liczbę graniczną i jedną liczbę z zakreślonej strony do wyjściowej nierówności.
• Wykres: przenieś x na lewą stronę, wybierz puste lub zamalowane kółko i zakreśl stronę liczb, które pasują.
• Kolejność: zanim przeniesiesz jakikolwiek wyraz, uprość każdą stronę zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

Darmowa gra w rozwiązywanie równań ćwiczy w przeglądarce, bez zakładania konta, działania odwrotne, na których opiera się każda nierówność. Dorośli, którzy odbudowują algebrę, mogą skorzystać z planu w poradniku o tym, jak poprawić matematykę jako dorosły, albo wypróbować grę matematyczną dla dorosłych.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier i adaptacyjnym poziomem trudności, więc kilka minut codziennych ćwiczeń utrzymuje w formie liczby ujemne i kroki rozwiązywania równań.