Qué es una inecuación y cómo resolver y representar desigualdades

La señal de la autovía dice 120, los deberes de tu hijo dicen «resuelve 3x − 4 > 11», y las dos cosas llevan a la misma pregunta: ¿qué es una inecuación? Una inecuación en matemáticas es una desigualdad con una incógnita, y su solución suele ser todo un rango de números en lugar de uno solo. Si sabes resolver una ecuación, ya sabes resolver inecuaciones con los mismos pasos más una regla sobre los negativos, y representarlas se reduce a una frontera, un círculo y una flecha.

Qué es una inecuación

Una inecuación es una expresión matemática que compara dos valores con uno de cinco signos: < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) y ≠ (distinto de). En español, 3 < 8 es una desigualdad entre números, y x + 2 > 7 es una inecuación porque tiene una incógnita. El lado abierto de < o > mira al valor mayor y la punta al menor, así que 3 < 8 y 8 > 3 dicen lo mismo.

Una ecuación como x + 2 = 7 tiene una solución, x = 5. Una inecuación como x + 2 > 7 tiene infinitas: 6, 5,5, 20 y 1000 la cumplen, y 5 no. El libro OpenStax Elementary Algebra 2e lo explica así para x > 3: «Cualquier número mayor que 3 es una solución de la inecuación».

En Estados Unidos las inecuaciones empiezan en 6.º grado (11 a 12 años). El estándar Common Core 6.EE.B.8 pide «escribir una inecuación de la forma x > c o x < c para representar una restricción o condición en un problema real o matemático» y «reconocer que las inecuaciones de la forma x > c o x < c tienen infinitas soluciones». El mismo estándar pide mostrar esas soluciones en la recta numérica. En España, el Real Decreto 217/2022 incluye la resolución de «sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales» en 4.º de ESO (15 a 16 años).

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Desigualdades en la vida real: límites de velocidad, alturas y «al menos»

Las desigualdades de la vida real son límites y mínimos escritos en lenguaje matemático. Un límite de velocidad de 120 km/h dice que tu velocidad v debe cumplir v ≤ 120, porque 120 está permitido. Una atracción que exige medir al menos 120 cm dice h ≥ 120, y un menú con «al menos 3 raciones de verdura» dice r ≥ 3.

La expresión decide el signo. OpenStax señala que «la expresión "al menos" equivale a "mayor o igual que"», así que «al menos» significa ≥, y «como mucho» o «no más de» significa ≤. «Más de» y «menos de» dejan fuera la frontera, así que se convierten en > y <.

Cómo resolver una inecuación, paso a paso

Resolver una inecuación significa hallar todos los valores de la incógnita que la hacen verdadera, y el método es el mismo que para despejar la x en una ecuación. Toma 3x − 4 > 11.

1. Lee el signo. El signo es >, «mayor que», así que la solución será «x es mayor que algún número», salvo que un divisor negativo lo invierta.
2. Deshaz la suma o la resta. Suma 4 a los dos miembros: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, que da 3x > 15. Sumar o restar nunca cambia el signo.
3. Deshaz la multiplicación o la división. Divide los dos miembros entre 3: x > 5. Dividir entre un número positivo deja el signo como está.
4. Comprueba un número que debería funcionar. Prueba x = 6: 3 × 6 − 4 = 14, y 14 > 11 es verdadero.
5. Comprueba la frontera. Prueba x = 5: 3 × 5 − 4 = 11, y 11 > 11 es falso, así que 5 no es solución. Ese resultado te dice que dibujes un círculo abierto en 5.
6. Escribe y representa la solución. La solución es x > 5: todos los números mayores que 5, con un círculo abierto en 5 y una flecha hacia la derecha.

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¿Cuándo se invierte el signo de una inecuación?

El signo de una inecuación se invierte cuando multiplicas o divides los dos miembros por un número negativo, y en ningún otro caso. OpenStax da la regla en una línea: «Cuando dividimos o multiplicamos una inecuación por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte». Sumar, restar y multiplicar o dividir por un número positivo no tocan el signo.

Una afirmación verdadera muestra por qué existe la regla. La afirmación 2 < 5 es verdadera, pero al multiplicar los dos miembros por −1 salen −2 y −5, y −2 es mayor que −5 en la recta numérica. Mantener el signo daría −2 < −5, que es falso, así que el signo tiene que darse la vuelta: −2 > −5.

Toma −2x ≤ 8: divide los dos miembros entre −2 e invierte ≤ a ≥ para obtener x ≥ −4. La frontera forma parte de la solución, porque −2 × (−4) = 8 y 8 ≤ 8 es verdadero.

Un número menor que −4 no cumple: x = −5 da −2 × (−5) = 10, y 10 ≤ 8 es falso, así que la solución apunta a la derecha. Si multiplicar negativos todavía cuesta, la guía de los números negativos repasa la regla de los signos.

Los signos de desigualdad comparados: palabras, círculos y notación

Cada signo de desigualdad viene con sus propias palabras, su propio círculo en la recta numérica y su propia notación de intervalos. La notación de intervalos es opcional en los primeros cursos de secundaria, pero los libros de álgebra la usan.

La notación de intervalos en una regla

La notación de intervalos escribe un conjunto de soluciones con sus dos extremos, con un paréntesis para el extremo que queda fuera y un corchete para el extremo que se incluye. OpenStax explica que «el paréntesis, (, indica que el extremo de la inecuación no está incluido» y que «el corchete, [, indica que el extremo está incluido». El infinito siempre lleva paréntesis, porque ningún número llega a él.

En los libros en español el infinito suele escribirse con signo, +∞ y −∞, como en la tabla de arriba, y algunos libros usan corchetes invertidos para el extremo abierto, ]2, +∞[, con el mismo significado que (2, +∞). El círculo y el corchete transmiten el mismo mensaje: un círculo abierto equivale a un paréntesis y un círculo cerrado a un corchete, así que x ≥ 2 es un círculo cerrado en 2 y el intervalo [2, +∞).

Cómo representar inecuaciones en la recta numérica

Representar una inecuación en la recta numérica exige tres decisiones: dónde va la frontera, qué círculo dibujar y hacia qué lado sombrear. Para x > 2, la frontera es 2, el círculo es abierto porque 2 no es solución y la flecha apunta a la derecha, hacia los números mayores.

El círculo depende del signo. Usa un círculo abierto para < y >, y un círculo cerrado (relleno) para ≤ y ≥. Algunos libros, OpenStax entre ellos, dibujan un paréntesis o un corchete en la frontera en lugar de un círculo, y el significado es el mismo.

La flecha depende de la dirección. Con la x a la izquierda, > y ≥ se sombrean hacia la derecha, y < y ≤ hacia la izquierda. Elige un número del lado sombreado y compruébalo: para x ≤ −1, prueba x = −3, y −3 ≤ −1 es verdadero.

La regla: escribe la x a la izquierda antes de sombrear

Una inecuación con la incógnita a la derecha, como 7 < x, es fácil de sombrear hacia el lado equivocado. OpenStax da el remedio: «x > a significa lo mismo que a < x». Lee 7 < x desde la x, «x es mayor que 7», y escribe x > 7 antes de dibujar.

El mismo paso ordena una solución ya calculada. Resolver 10 ≥ 2x + 4 da 6 ≥ 2x y después 3 ≥ x, que se reescribe como x ≤ 3: un círculo cerrado en 3 y una flecha a la izquierda, y x = 3 cumple porque 2 × 3 + 4 = 10. Una recta numérica es uno de los ejes de una cuadrícula de coordenadas, y la guía del plano cartesiano muestra cómo la misma idea crece hasta dos dimensiones.

Cómo comprobar tus avances con las inecuaciones

Cinco problemas cortos muestran si entiendes las inecuaciones o sigues un patrón. Resuelve cada uno sin apuntes, comprueba la frontera y después compara.

• Un paso: resuelve x + 7 ≤ 12. Restar 7 da x ≤ 5, un círculo cerrado en 5 y una flecha a la izquierda.
• Divisor positivo: resuelve 4x > −12. Dividir entre 4, que es positivo, mantiene el signo, así que x > −3.
• Divisor negativo: resuelve −3x > 12. Dividir entre −3 invierte el signo, así que x < −4. Comprueba x = −5: 15 > 12 es verdadero.
• Negativo escondido: resuelve 5 − x < 2. Restar 5 da −x < −3, y dividir entre −1 da x > 3.
• Problema con enunciado: ganas 50 € a la semana más 3 € por cada venta y quieres al menos 100 €. Eso da 50 + 3v ≥ 100, así que 3v ≥ 50 y v ≥ 50 ÷ 3, unas 16,7, lo que significa al menos 17 ventas.

Una prueba que funciona: la comprobación de la frontera

La comprobación de la frontera es una prueba de un minuto que detecta un círculo equivocado y una dirección equivocada. Sustituye el número frontera en la inecuación original: debe dejar los dos miembros iguales, y el signo te dice si eso cuenta. Después prueba un número del lado sombreado, que tiene que dar una afirmación verdadera.

El problema con enunciado sale directamente del currículo. El estándar Common Core 7.EE.B.4b pide al alumnado de 7.º grado (12 a 13 años) «resolver problemas con enunciado que llevan a inecuaciones de la forma px + q > r o px + q < r» y usa el mismo ejemplo del vendedor, en dólares. Compruébalo: 17 ventas pagan 50 + 51 = 101 €, y 16 ventas pagan 50 + 48 = 98 €, que no llega.

Errores frecuentes con las inecuaciones y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de las respuestas incorrectas en los deberes de inecuaciones, y cada uno tiene un remedio rápido.

• Olvidar invertir: dividir −2x ≤ 8 entre −2 y escribir x ≤ −4 da la mitad contraria de la recta. Di «negativo, invierto» en voz alta cada vez que dividas entre un negativo.
• Invertir sin motivo: un número negativo en la solución no invierte nada. En 2x > −8 divides entre 2, que es positivo, así que x > −4 conserva el signo.
• Círculo equivocado: un círculo cerrado en x > 5 afirma que 5 cumple, y no es así. Comprueba la frontera sustituyendo antes de rellenar un círculo.
• Dirección equivocada con la x a la derecha: 7 < x se sombrea hacia la derecha, porque significa x > 7. Escribe primero la x a la izquierda.

Caso límite: inecuaciones dobles, sin solución y con todos los números reales

Una inecuación doble como −2 < x ≤ 3 pone dos límites a la incógnita a la vez. El libro OpenStax Intermediate Algebra 2e la llama desigualdad doble y explica que «a < x < b equivale a a < x y x < b». En la recta numérica, dibuja un círculo abierto en −2, un círculo cerrado en 3 y sombrea el segmento entre ellos; en notación de intervalos es (−2, 3].

Resolver x + 1 < x da 1 < 0, una afirmación falsa, así que la inecuación no tiene solución. Resolver x + 3 > x da 3 > 0, que siempre es verdadero, así que todos los números reales son solución. OpenStax llama al caso falso una «contradicción» y al caso siempre verdadero una «identidad».

Tu lista de comprobación de las inecuaciones y siguientes pasos

• Signo: lee el signo en voz alta y traduce «al menos» por ≥ y «como mucho» por ≤.
• Mismos pasos: deshaz las sumas y las restas, después las multiplicaciones y las divisiones, en los dos miembros.
• Regla del negativo: invierte el signo solo cuando multipliques o dividas por un número negativo.
• Comprobación de la frontera: sustituye la frontera y un número sombreado en la inecuación original.
• Representación: pon la x a la izquierda, elige un círculo abierto o cerrado y sombrea hacia los números que cumplen.
• Orden: simplifica cada miembro con la jerarquía de las operaciones antes de mover ningún término.

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