Volumen berechnen: Formeln für Quader, Würfel und Zylinder mit Beispielen

Ihr Kind in der 6. Klasse packt einen Umzugskarton mit Bauklötzen und fragt, wie viele hineinpassen. Diese Frage ist das Volumen, und die Antwort kommt aus drei Messungen und zwei Multiplikationen. Wer Volumen berechnen lernt, beginnt mit einem Karton und einem Haufen kleiner Würfel, und am Ende der 6. Klasse können die meisten Kinder das Volumen eines Quaders allein aus einer Zeichnung berechnen.

Was ist das Volumen?

Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers, also wie viel Platz in ihm steckt. OpenStax Prealgebra beschreibt den Raum in einer Kiste als Volumen, ein Maß in Kubikeinheiten, und diese Kiste ist ein gutes Modell für jeden Karton in Ihrer Küche.

Eine Müslipackung, ein Aquarium und ein Schuhkarton haben ein Volumen, weil jeder eine Länge, eine Breite und eine Höhe hat. Ein Blatt Papier hat einen Flächeninhalt, aber fast kein Volumen, weil es fast keine Höhe hat. Der Leitfaden zu Flächeninhalt und Umfang erklärt die ebenen Maße; das Volumen fügt die dritte Richtung hinzu.

Warum das Volumen Kubikeinheiten verwendet

Das Volumen verwendet Kubikeinheiten, weil es zählt, wie viele kleine Würfel einen Körper füllen. Der Common-Core-Standard 5.MD.C.3 legt fest, dass ein Würfel mit der Kantenlänge 1 als Einheitswürfel eine Kubikeinheit Volumen hat und dass ein Körper, der ohne Lücken und Überlappungen mit n Einheitswürfeln gefüllt ist, ein Volumen von n Kubikeinheiten hat.

Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge ist ein Kubikzentimeter, geschrieben 1 cm³. Der Flächeninhalt zählt Quadrate (cm²), das Volumen zählt Würfel (cm³). Die kleine hochgestellte 3 bedeutet, dass drei Längen multipliziert wurden, und der Leitfaden zu Potenzen erklärt, warum „hoch 3“ und die hochgestellte 3 dasselbe bedeuten.

In Bayern beginnt das mit dem Zählen: Der LehrplanPLUS für die Grundschule, Klasse 3/4, verlangt, dass die Kinder Rauminhalte einfacher Körper durch Bauen mit Einheitswürfeln und durch Auszählen von Einheitswürfeln vergleichen. Die ersten Stunden sind also Handarbeit.

Das Volumen eines Quaders berechnen: Schritt für Schritt

Das Volumen eines Quaders ist Länge · Breite · Höhe, geschrieben V = a · b · c. Standard 5.MD.C.5b verlangt, die Formeln V = l · w · h und V = G · h für Quader anzuwenden, wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche ist. Nehmen Sie einen Karton mit 6 cm Länge, 4 cm Breite und 3 cm Höhe.

1. Die drei Kanten messen. Notieren Sie die Länge (6 cm), die Breite (4 cm) und die Höhe (3 cm). Jede Kante kann die Länge sein; das Ergebnis bleibt gleich.
2. Alle Kanten in dieselbe Einheit bringen. Ein Karton mit 2 m Länge und 50 cm Breite braucht vor dem Multiplizieren 200 cm und 50 cm.
3. Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen. Multiplizieren Sie Länge · Breite: 6 · 4 = 24 cm². So viele Würfel bedecken den Boden des Kartons in einer Schicht.
4. Mit der Höhe multiplizieren. Drei Schichten mit je 24 Würfeln ergeben 24 · 3 = 72. Das ist die Formel V = G · h, Grundfläche · Höhe.
5. In anderer Reihenfolge prüfen. Rechnen Sie zuerst 4 · 3 = 12, dann 12 · 6 = 72. Das Produkt ändert sich nicht, und das ist das Assoziativgesetz, das Standard 5.MD.C.5a nennt.
6. Das Ergebnis in Kubikeinheiten angeben. Das Volumen ist 72 cm³, also 72 Kubikzentimeter.

Größere Kartons folgen denselben Schritten, nur mit größeren Multiplikationen. Ein Umzugskarton mit 60 cm Länge, 40 cm Breite und 40 cm Höhe fasst 60 · 40 · 40 = 96.000 cm³, also 96 Liter, und der Leitfaden zum Unterrichten der schriftlichen Multiplikation hilft, wenn die Kanten zweistellig werden.

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Der häufigste Fehler

Die häufigste falsche Antwort addiert die Kanten, statt sie zu multiplizieren. Ein Kind, das 6 + 4 + 3 = 13 schreibt, hat eine Länge berechnet, und ein Karton für 13 Würfel wäre viel kleiner als die Zeichnung. Fragen Sie: „Wie viele Würfel liegen in einer Schicht, und wie viele Schichten gibt es?“, dann folgt die Multiplikation von selbst.

Der zweite Fehler ist das Mischen von Einheiten. Ein Becken mit 2 m Länge, 50 cm Breite und 40 cm Höhe hat 200 · 50 · 40 = 400.000 cm³, das sind 400 Liter. Wer 2 · 50 · 40 = 4.000 rechnet, erhält eine Zahl ohne jede Einheit.

Volumen anderer Körper berechnen: die Formeln im Vergleich

Das Volumen anderer Körper berechnet man nach derselben Idee wie beim Quader: Flächeninhalt der Grundfläche, dann mal die Höhe. OpenStax gibt den Würfel als V = a³ an, den Zylinder als V = π r² h oder V = G h, den Kegel als ein Drittel eines Zylinders und die Kugel als V = 4/3 π r³.

Zylinder und Kegel in der Tabelle haben denselben Radius von 3 cm und dieselbe Höhe von 10 cm, also fasst der Kegel ein Drittel dessen, was der Zylinder fasst. Die Werte verwenden π ≈ 3,14, daher liegt jedes Ergebnis nahe am genauen Wert. Der Leitfaden zum Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen erklärt den Schritt 3,14 · 90.

Welche Volumenformel Ihr Kind in welcher Klasse braucht

Welche Volumenformel ein Kind braucht, hängt von der Klasse ab, und in Bayern folgen die Formeln einer klaren Reihenfolge. Der LehrplanPLUS für die 6. Klasse am Gymnasium verlangt, die Formel für das Volumen eines Quaders über das Prinzip des Messens plausibel zu machen, aufbauend auf den Hohlmaßen aus der Grundschule. In den USA kommt der Quader schon in der 5. Klasse (5.MD.C.5), und Kantenlängen mit Brüchen folgen dort in der 6. Klasse (Standard 6.G.A.2).

In der 8. Klasse begründen bayerische Gymnasiasten, dass das Volumen gerader Prismen Grundfläche · Höhe ist, und leiten den Zylinder daraus ab. Kegel und Kugel folgen in der 10. Klasse. Andere Bundesländer und Schularten setzen die Themen teils anders, also lohnt ein Blick in den Lehrplan Ihres Landes.

Ein Kind in der 6. Klasse braucht π noch nicht. Der Überblick was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten zeigt, wo das Volumen neben Brüchen und Dezimalzahlen steht.

Volumen am Küchentisch üben

Übungen zum Volumen am Küchentisch machen aus der Formel etwas, das ein Kind in die Hand nehmen kann. Jede dauert zehn Minuten und braucht nur Dinge, die Sie schon haben.

• Den Quader aus Würfeln bauen: Nehmen Sie Einerwürfel aus dem Mathekasten, Steckwürfel oder Zuckerwürfel. Bauen Sie eine Schicht aus 4 mal 3 Würfeln, zählen Sie 12, stapeln Sie dann Schichten und zählen Sie in Zwölferschritten. Zuckerwürfel sind eine selbst gewählte Einheit, also lautet die Antwort in Zuckerwürfeln, nicht in cm³.
• Eine Müslipackung messen: Eine Packung mit 30 cm Höhe, 20 cm Breite und 7 cm Tiefe fasst 30 · 20 · 7 = 4.200 cm³. Messen Sie Ihre und vergleichen Sie sie mit einer kleineren Packung aus dem Vorratsschrank.
• Eine Dose mit Wasser füllen: Messen Sie eine Frischhaltedose, schätzen Sie ihr Volumen und gießen Sie dann Wasser aus einem Messbecher hinein. Lesen Sie ab, wie viele Milliliter es waren.
• Zwei Kartons vergleichen: Fragen Sie vor dem Messen, welcher von zwei Kartons mehr fasst. Ein hoher, schmaler Karton täuscht das Auge oft.

Liter, Milliliter und Kubikzentimeter

Liter und Kubikzentimeter messen dasselbe, also kann ein Messbecher eine Rechnung prüfen. Das National Institute of Standards and Technology hält fest, dass 1 cm³ = 1 Milliliter (ml) und 1.000 cm³ = 1 Kubikdezimeter (dm³) ist, und das ist 1 Liter.

Eine Dose mit 10 cm · 10 cm · 10 cm fasst 1.000 cm³, also genau 1 Liter Wasser. Ein Aquarium mit 60 cm Länge, 30 cm Breite und 40 cm Höhe fasst 60 · 30 · 40 = 72.000 cm³, das sind 72 Liter. Kinder, die sehen, wie der Messbecher den Karton füllt, behalten die Umrechnung viel länger als eine Regel auf einem Arbeitsblatt.

So prüfen Sie, ob das Volumen sitzt

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind das Volumen verstanden hat oder nur eine Formel wiederholt.

• Die Sortierfrage: Fragen Sie, ob ein Schwimmbecken füllen, eine Wand streichen und ein Geschenk einpacken Aufgaben zu Fläche oder Volumen sind. Das Becken füllen ist Volumen; Wand und Geschenkpapier sind Fläche.
• Der einfache Quader: Geben Sie einen Quader mit 5, 3 und 2 Einheiten. Das Volumen ist 30 Kubikeinheiten, und das Kind sollte die Einheit nennen.
• Die Schichtfrage: Zeigen Sie einen Quader aus 4 mal 5 Würfeln mit 3 Schichten. Ein Kind, das sagt „20 in einer Schicht, also 60“, versteht V = G · h.
• Die fehlende Kante: Geben Sie ein Volumen von 60 cm³, eine Länge von 5 cm und eine Breite von 4 cm. Die Höhe ist 60 : 20 = 3 cm.
• Die Umrechnung: Fragen Sie, wie viele Liter ein Karton mit 20 cm · 10 cm · 10 cm fasst. Das Volumen ist 2.000 cm³, also 2 Liter.

Ein Fünf-Minuten-Test am Küchentisch

Ein Fünf-Minuten-Test zum Volumen mischt drei Fragearten: einen Quader zum Berechnen, eine fehlende Kante und eine Umrechnung in Liter. Bitten Sie das Kind, vor dem Multiplizieren laut „Schicht, dann Höhe“ zu sagen.

Ein Kind, das den Weg kennt, aber bei 6 · 4 oder 24 · 3 stockt, braucht eher das Einmaleins als die Geometrie. Das Einmaleins-Spiel trainiert diese Aufgaben im Browser, und das Mathespiel für die 5. Klasse deckt die Rechenarbeit ab, auf die jede Volumenaufgabe baut.

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Typische Fehler beim Volumen und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten beim Volumen, und jeder hat eine kurze Korrektur.

• Die Kanten addieren: Ein Quader mit 6, 4 und 3 bekommt 13 statt 72. Fragen Sie vor jeder Rechnung: „Wie viele liegen in einer Schicht?“
• Flächeneinheiten verwenden: Ein Ergebnis von 72 cm² beschreibt eine ebene Figur. Das Volumen hat immer Kubikeinheiten: cm³, dm³ oder m³.
• Einheiten mischen: Ein Karton mit 1 m, 20 cm und 10 cm hat 100 · 20 · 10 = 20.000 cm³, also 20 Liter. Rechnen Sie jede Kante um, bevor Sie multiplizieren.
• Einen Teil eines zusammengesetzten Körpers vergessen: Ein L-förmiger Körper besteht aus zwei Quadern. Standard 5.MD.C.5c verlangt, das Volumen solcher Körper als Summe der Volumen der beiden nicht überlappenden Quader zu finden. Eine Stufe mit 5 · 3 · 2 = 30 Würfeln neben einem Block mit 2 · 3 · 4 = 24 Würfeln ergibt 30 + 24 = 54 Würfel.

Sonderfall: Jede Kante verdoppeln verachtfacht das Volumen

Wer jede Kante eines Quaders verdoppelt, verachtfacht sein Volumen, weil die 2 dreimal vorkommt: 2 · 2 · 2 = 8. Ein Quader mit 3, 1 und 2 fasst 6 Würfel, ein Quader mit 6, 2 und 4 fasst 48 Würfel, also achtmal so viele.

Der Flächeninhalt wächst beim Verdoppeln der Seiten auf das 4-Fache, das Volumen auf das 8-Fache. Ein Quader mit 2 · 3 · 4 = 24 wird zu 4 · 6 · 8 = 192, und 192 : 24 = 8. Dieselbe Regel gilt für einen Kochtopf: doppelt so breit und doppelt so hoch heißt achtmal so viel Suppe.

Ihre Checkliste zum Volumen und die nächsten Schritte

• Drei Kanten: Länge, Breite und Höhe jedes Quaders messen.
• Eine Einheit: jede Kante vor dem Multiplizieren in dieselbe Einheit umrechnen.
• Schicht, dann Höhe: zuerst die Grundfläche, dann mal die Anzahl der Schichten.
• Kubikeinheiten: jedes Ergebnis mit cm³, dm³ oder m³ angeben.
• Liter: cm³ durch 1.000 teilen, um Liter zu erhalten, und mit dem Messbecher prüfen.
• Zusammengesetzte Körper: einen L-förmigen Körper in zwei Quader teilen und die Volumen addieren.

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