Wie multipliziert und dividiert man Dezimalzahlen?

Dezimalzahlen multipliziert man, indem man die Kommas weglässt, die ganzen Zahlen multipliziert und dem Ergebnis so viele Nachkommastellen gibt, wie beide Faktoren zusammen haben: 2,4 · 1,5 = 3,60. Beim Dividieren multipliziert man Divisor und Dividend mit derselben Zehnerpotenz, bis der Divisor eine ganze Zahl ist, und teilt dann: 7,5 : 0,25 = 750 : 25 = 30.

Wie multipliziert man Dezimalzahlen?

Dezimalzahlen multipliziert man in drei Schritten: die Zahlen so multiplizieren, als gäbe es keine Kommas, die Nachkommastellen beider Faktoren zählen und dem Produkt so viele Nachkommastellen geben. Bei 2,4 · 1,5 ist das Produkt der ganzen Zahlen 24 · 15 = 360, die Faktoren haben 1 + 1 = 2 Nachkommastellen, und die Antwort ist 3,60, also 3,6.

Wie dividiert man eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl?

Eine Dezimalzahl teilt man durch eine Dezimalzahl, nachdem man beide Zahlen mit derselben Zehnerpotenz multipliziert hat, sodass der Divisor eine ganze Zahl wird. Bei 7,5 : 0,25 multiplizieren Sie beide mit 100 und erhalten 750 : 25 = 30. Der Quotient ändert sich nicht, weil beide Zahlen um denselben Faktor gewachsen sind.

Wie dividiert man eine ganze Zahl durch eine Dezimalzahl?

Eine ganze Zahl teilt man auf dieselbe Weise durch eine Dezimalzahl: beide Zahlen mit 10, 100 oder 1000 multiplizieren, bis der Divisor ganz ist, und an die ganze Zahl bei Bedarf Nullen anhängen. Bei 12 : 0,4 multiplizieren Sie beide mit 10 und erhalten 120 : 4 = 30. Eine schnelle Probe: 30 · 0,4 = 12.

Warum verschiebt man beim Dividieren das Komma?

Beim Dividieren verschiebt man das Komma, weil der Quotient gleich bleibt, wenn man Divisor und Dividend mit derselben Zahl multipliziert, und mit einem ganzzahligen Divisor rechnet es sich leichter. 4,2 : 0,6 fragt, wie oft 0,6 in 4,2 passt, und 42 : 6 stellt dieselbe Frage in Zehnteln, also sind beide Antworten 7.

Wie multipliziert man Dezimalzahlen mit 10, 100 und 1000?

Beim Multiplizieren einer Dezimalzahl mit 10, 100 oder 1000 rückt jede Ziffer um eine, zwei oder drei Stellen nach links, und das sieht so aus, als wandere das Komma nach rechts. Also 3,45 · 10 = 34,5, 3,45 · 100 = 345 und 3,45 · 1000 = 3450. Beim Teilen durch dieselben Zahlen rücken die Ziffern nach rechts: 3,45 : 10 = 0,345.

Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren

In der Hausaufgabe Ihres Kindes steht 2,4 · 1,5, in den Lösungen steht 3,6, und das Verfahren, an das Sie sich erinnern, beginnt damit, die Kommas untereinanderzuschreiben. Dieses Verfahren gehört zur Addition. Dezimalzahlen zu multiplizieren und zu dividieren läuft auf zwei Gewohnheiten hinaus: multiplizieren, als gäbe es keine Kommas, und dann die Stellen zählen, und vor dem Teilen den Divisor zu einer ganzen Zahl machen.

Warum das Komma beim Multiplizieren von Dezimalzahlen wandert

Das Komma wandert, weil eine Dezimalzahl ein Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 ist und beim Multiplizieren von Brüchen die Nenner multipliziert werden. Nehmen Sie 0,3 · 0,2: Das ist 3/10 · 2/10 = 6/100, und 6/100 schreibt man 0,06.

Der Teil mit den ganzen Zahlen ist 3 · 2 = 6. Die Nenner entscheiden, wohin das Komma kommt: Zehntel mal Zehntel ergibt Hundertstel, also braucht die Antwort zwei Nachkommastellen. Ist noch unsicher, was ein Zehntel oder ein Hundertstel ist, beginnen Sie mit dem Leitfaden zu Dezimalzahlen für Eltern, der das Lesen, Vergleichen und Umwandeln von Dezimalzahlen erklärt.

Der Common-Core-Standard 5.NBT.B.7 verlangt in den USA von Fünftklässlern, Dezimalzahlen bis zu den Hundertsteln zu addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, mit Material oder Zeichnungen und Strategien, die auf dem Stellenwert beruhen. Ein Hundertstelfeld ist die klassische Zeichnung. In Bayern berechnen Kinder am Gymnasium laut LehrplanPLUS für die 6. Klasse Produkte und Quotienten von Brüchen, gemischten Zahlen und Dezimalbrüchen.

Das Flächenmodell auf einem Hundertstelfeld

Das Flächenmodell zeigt 0,3 · 0,2 als Überschneidung zweier schraffierter Streifen auf einem Feld mit 10 · 10 Kästchen. Schraffieren Sie 3 der 10 Spalten für 0,3 und 2 der 10 Zeilen für 0,2; die Streifen überschneiden sich in 3 · 2 = 6 kleinen Kästchen.

Jedes kleine Kästchen ist 1/100 des Feldes, also ist die Überschneidung 6/100 = 0,06. Das Bild zeigt auch, warum das Produkt kleiner als beide Faktoren ist: Sie nehmen einen Teil von einem Teil.

Ein Hundertstelfeld mit 10 mal 10 Kästchen, 3 Spalten für 0,3 und 2 Zeilen für 0,2 schraffiert; die 6 Kästchen, in denen sie sich überschneiden, sind dunkel, daneben 3/10 · 2/10 = 6/100 und 0,3 · 0,2 = 0,06.

Dezimalzahlen multiplizieren: Schritt für Schritt

Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen nutzt man das Verfahren für ganze Zahlen mit einem zusätzlichen Schritt am Ende: Nachkommastellen zählen und das Komma setzen. Dieselben fünf Schritte gelten für Zahlen jeder Größe, auch für Geld.

Zuerst überschlagen. Runden Sie jeden Faktor auf eine ganze Zahl, die Sie im Kopf multiplizieren können: 2,4 · 1,5 liegt nahe bei 2 · 2 = 4.
Die Kommas weglassen. Schreiben Sie die Zahlen rechtsbündig untereinander und multiplizieren Sie sie wie ganze Zahlen: 24 · 15 = 360.
Die Nachkommastellen beider Faktoren zählen. 2,4 hat eine Nachkommastelle und 1,5 hat eine, also braucht das Produkt 1 + 1 = 2.
Das Komma setzen. Zählen Sie bei 360 von rechts zwei Stellen ab und erhalten Sie 3,60, und das ist 3,6.
Mit dem Überschlag vergleichen. 3,6 liegt nahe bei 4, also sitzt das Komma richtig; 36 oder 0,36 würden die Probe nicht bestehen.

Dieselben Schritte lösen 0,25 · 0,4. Das Produkt der ganzen Zahlen ist 25 · 4 = 100, die Faktoren haben 2 + 1 = 3 Nachkommastellen, und 100 mit drei Nachkommastellen ist 0,100, also 0,1. Das Verfahren für ganze Zahlen selbst erklärt der Leitfaden zum Unterrichten der schriftlichen Multiplikation Ziffer für Ziffer.

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Der Teil, an dem viele scheitern: Nullen als Platzhalter

Platzhalter-Nullen sind die Nullen, die Sie vor ein kurzes Produkt schreiben, damit es genug Nachkommastellen bekommt. Bei 0,03 · 0,2 ist das Produkt der ganzen Zahlen 3 · 2 = 6, und die Faktoren haben 2 + 1 = 3 Nachkommastellen.

Die Zahl 6 hat nur eine Ziffer, also schreiben Sie zwei Nullen davor: 0,006. Wer diesen Schritt auslässt, erhält 0,6 oder 0,06, und das ist 100- oder 10-mal zu groß.

Dezimalzahlen dividieren: Schritt für Schritt

Beim Dividieren von Dezimalzahlen gibt es zwei Fälle: eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl teilen und durch eine Dezimalzahl teilen. Der zweite Fall wird mit einem Schritt zum ersten.

Eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl teilen. Teilen Sie wie gewohnt und setzen Sie im Ergebnis das Komma, sobald Sie im Dividenden das Komma überschreiten. Bei 8,4 : 4 ist 8 : 4 = 2, dann kommt das Komma, und 4 : 4 = 1, also ist die Antwort 2,1.

Durch eine Dezimalzahl teilen. Multiplizieren Sie Divisor und Dividend mit derselben Zehnerpotenz, bis der Divisor ganz ist. Bei 4,2 : 0,6 multiplizieren Sie beide mit 10 und erhalten 42 : 6 = 7; bei 7,5 : 0,25 multiplizieren Sie beide mit 100 und erhalten 750 : 25 = 30.

Die Division 7,5 : 0,25 mit Pfeilen „· 100“ an beiden Zahlen, die daraus 750 : 25 = 30 machen, mit der Probe 25 · 30 = 750.

Das Lehrbuch OpenStax Prealgebra nennt die Regel in einer Zeile: den Divisor zu einer ganzen Zahl machen, indem man das Komma ganz nach rechts verschiebt, und dann das Komma im Dividenden um genauso viele Stellen nach rechts verschieben und bei Bedarf Nullen anhängen. Auch eine ganze Zahl geteilt durch eine Dezimalzahl folgt ihr: 12 : 0,4 wird zu 120 : 4 = 30.

Schriftliche Division mit Dezimalzahlen

Schriftliche Division mit Dezimalzahlen ist gewöhnliche schriftliche Division, bei der das Komma ins Ergebnis übernommen wird und an den Dividenden Nullen angehängt werden, wenn ein Rest bleibt. Bei 13,5 : 6 passt die 6 zweimal in 13 mit Rest 1, dann kommt das Komma, und die 6 passt zweimal in 15 mit Rest 3.

Schreiben Sie 13,5 als 13,50 und holen Sie die Null herunter: Die 6 passt genau 5-mal in 30, also 13,5 : 6 = 2,25. Der Leitfaden, wie man die schriftliche Division beibringt, erklärt den Kreislauf aus Teilen, Malnehmen, Abziehen und Herunterholen, auf dem dieser Schritt beruht.

Stellen zählen, Brüche oder Zehnerpotenzen: Wege im Vergleich, mit Beispielen zum Geld

Die üblichen Wege für Dezimalzahlen führen alle zum selben Ergebnis, aber jeder passt zu einem anderen Moment. Wählen Sie den Weg, der zu den Zahlen vor Ihnen passt, und behalten Sie bei jedem den Überschlag als Probe.

Weg	So geht es	Beispiel	Am besten für	Achtung
Stellen zählen	Wie ganze Zahlen multiplizieren, dann dem Produkt die Nachkommastellen beider Faktoren geben	2,4 · 1,5 → 360 → 3,60	Jede Multiplikation mit Dezimalzahlen	Kurze Produkte, die Platzhalter-Nullen brauchen
Über Brüche	Jede Dezimalzahl als Bruch mit 10 oder 100 schreiben und die Brüche multiplizieren	0,3 · 0,2 = 3/10 · 2/10 = 6/100	Erklären, warum die Regel stimmt	Langsam bei drei oder mehr Ziffern
Überschlag als Probe	Auf ganze Zahlen runden und im Kopf rechnen	2,4 · 1,5 ≈ 2 · 2 = 4	Ein falsch gesetztes Komma finden	Faktoren unter 1, bei denen Runden auf 0 die Größe verdeckt
Verschieben mit Zehnerpotenzen	Jede Ziffer nach links rücken, um mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren, nach rechts, um zu teilen	3,45 · 100 = 345	Einheiten umrechnen, Euro in Cent	Nullen vergessen: 0,7 · 100 = 70
Divisor ganzzahlig machen	Divisor und Dividend mit derselben Zehnerpotenz multiplizieren	7,5 : 0,25 = 750 : 25	Jede Division durch eine Dezimalzahl	Das Komma nur in einer Zahl verschieben

Geld und Maße sind die Stellen, an denen diese Wege außerhalb der Hausaufgaben auftauchen, und jedes Beispiel nutzt dieselben Schritte.

Hefte: 3 Hefte zu je 2,35 € ergeben 235 · 3 = 705 mit zwei Nachkommastellen, also 7,05 €.
Tanken: 12,5 Liter zu 1,80 € pro Liter ergeben 125 · 180 = 22500 mit drei Nachkommastellen, also 22,500, und das sind 22,50 €.
Spazieren: 3,2 km am Tag an 5 Tagen ergeben 32 · 5 = 160 mit einer Nachkommastelle, also 16 km.
Geschenkband: Ein Band von 22,5 cm, in Stücke zu 1,5 cm geschnitten, ergibt 22,5 : 1,5 = 225 : 15 = 15 Stücke.
Saft: 7,5 Liter Saft, in Flaschen zu 0,75 Liter abgefüllt, ergeben 7,5 : 0,75 = 750 : 75 = 10 Flaschen.

Ein laut gesprochener Überschlag hält das Komma ehrlich: „etwa 12 Liter zu etwa 2 € sind etwa 24 €“ macht 225 € oder 2,25 € sofort als falsch erkennbar. Prozentaufgaben nutzen dieselbe Multiplikation, denn 15 % von 40 € sind 0,15 · 40 = 6 €, und der Leitfaden zur Prozentrechnung baut auf diesem Schritt auf.

Mit 10, 100 und 1000 multiplizieren und dividieren

Multiplizieren mit 10, 100 oder 1000 rückt jede Ziffer um eine, zwei oder drei Stellen nach links, weil jede Stelle 10-mal so viel wert ist wie die Stelle rechts von ihr. Also 3,45 · 10 = 34,5, 3,45 · 100 = 345 und 3,45 · 1000 = 3450.

Dividieren rückt die Ziffern nach rechts: 3,45 : 10 = 0,345 und 45 : 100 = 0,45. Standard 5.NBT.A.2 verlangt, Muster bei der Stellung des Kommas zu erklären, wenn eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz multipliziert oder durch sie geteilt wird, und der Leitfaden zum Stellenwert für Eltern erklärt, warum jede Stelle zehnmal so viel wert ist wie die nächste.

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So prüfen Sie Fortschritte beim Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen

Fünf kurze Fragen zeigen, ob die Verfahren sicher sitzen. Fragen Sie zuerst nach dem Überschlag und dann nach dem Rechenweg.

Zehntel mal Zehntel: 0,6 · 0,7. Die Antwort ist 0,42, weil 6 · 7 = 42 und die Faktoren zwei Nachkommastellen haben.
Eine Platzhalter-Null: 1,2 · 0,05. Die Antwort ist 0,06, aus 12 · 5 = 60 mit drei Stellen, also 0,060.
Division durch eine Dezimalzahl: 5,6 : 0,8. Die Antwort ist 7, aus 56 : 8.
Eine Zehnerpotenz: 4,5 : 100. Die Antwort ist 0,045.
Eine ganze Zahl durch eine Dezimalzahl: 9 : 0,3. Die Antwort ist 30, aus 90 : 3, und sie ist größer als 9.

Ein brauchbarer Test nach Klassenstufe

In den USA soll ein Kind in der 5. Klasse mit Dezimalzahlen bis zu den Hundertsteln umgehen und ein Kind in der 6. Klasse längere Dezimalzahlen schriftlich rechnen. Der Standard 6.NS.B.3 verlangt von Sechstklässlern, mehrstellige Dezimalzahlen mit dem schriftlichen Verfahren sicher zu addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Der nationale Lehrplan in England setzt in Year 6 eine ähnliche Messlatte: einstellige Zahlen mit bis zu 2 Nachkommastellen mit ganzen Zahlen multiplizieren und schriftlich dividieren, wenn das Ergebnis bis zu 2 Nachkommastellen hat. Für druckbare Übungen auf diesem Niveau gibt es das Arbeitsblatt zur Division für die 5. Klasse mit Lösungen.

Typische Fehler beim Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

Beim Multiplizieren Komma unter Komma schreiben: Komma unter Komma ist die Regel für das Addieren, und wer bei 2,4 · 1,5 das Komma einfach herunterzieht, erhält 36,0. Schreiben Sie die Zahlen rechtsbündig und zählen Sie stattdessen die Nachkommastellen.
Platzhalter-Nullen vergessen: 0,03 · 0,2, geschrieben als 0,06, verliert eine Stelle. Das Produkt braucht drei Nachkommastellen, also ist es 0,006.
Das Komma nur im Divisor verschieben: Wer aus 7,5 : 0,25 die Aufgabe 7,5 : 25 macht, erhält 0,3, und das ist 100-mal zu klein. Multiplizieren Sie beide Zahlen mit derselben Zehnerpotenz.
Erwarten, dass Multiplizieren Zahlen größer macht: 0,5 · 8 = 4, und das ist kleiner als 8, und 6 : 0,5 = 12, und das ist größer als 6. Multiplizieren mit einer Zahl unter 1 verkleinert das Ergebnis, Teilen durch sie vergrößert es.

Sonderfall: Nullen am Ende eines Produkts

Nullen am Ende eines Produkts zählen mit, solange Sie das Komma setzen, und dürfen danach wegfallen. Bei 0,25 · 0,4 braucht das Produkt 100 drei Nachkommastellen, das ergibt 0,100, und das ist 0,1.

Die Falle ist, die Nullen vor dem Zählen wegzulassen: Wer 100 als 1 behandelt, erhält 0,001, und das ist 100-mal zu klein. Bei Geld behalten Sie im Endergebnis zwei Nachkommastellen, also schreibt man 22,500 € als 22,50 €.

Ihre Checkliste zum Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen

Überschlagen: auf ganze Zahlen runden und vor dem Start das ungefähre Ergebnis sagen.
Multiplizieren: Kommas weglassen, wie ganze Zahlen multiplizieren, dann die Nachkommastellen beider Faktoren zählen.
Nullen: Platzhalter-Nullen vor ein kurzes Produkt schreiben; Endnullen erst weglassen, wenn das Komma sitzt.
Dividieren: den Divisor ganzzahlig machen, indem Sie beide Zahlen mit 10, 100 oder 1000 multiplizieren.
Komma setzen: bei der schriftlichen Division das Komma im Ergebnis setzen, sobald Sie im Dividenden das Komma überschreiten.
Probe: den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren oder das Produkt mit dem Überschlag vergleichen.

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Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren: Stellen zählen, Komma verschieben

Das Wichtigste in Kürze