Volumen de un prisma rectangular (ortoedro), un cubo y un cilindro

Tu hijo de 5.º de primaria (10 a 11 años) está llenando una caja de mudanza con bloques de juguete y pregunta cuántos caben. Esa pregunta es de volumen, y la respuesta sale de tres medidas y dos multiplicaciones. Aprender a calcular el volumen empieza con una caja y un montón de cubitos, y con práctica un niño de esa edad acaba hallando el volumen de un prisma rectangular a partir de un simple dibujo.

¿Qué es el volumen?

El volumen es la cantidad de espacio que hay dentro de un cuerpo. OpenStax Prealgebra describe el espacio de dentro de un cajón como «el volumen, una medida cúbica», y ese cajón es un buen modelo de cualquier caja de tu cocina.

Una caja de cereales, una pecera y una caja de zapatos tienen volumen, porque cada una tiene largo, ancho y alto. Una hoja de papel tiene área pero casi ningún volumen, porque casi no tiene altura. La guía de área y perímetro cubre las medidas planas; el volumen añade la tercera dirección.

Por qué el volumen usa unidades cúbicas

El volumen usa unidades cúbicas porque cuenta cuántos cubitos llenan un cuerpo. El estándar Common Core 5.MD.C.3 dice que «un cubo de 1 unidad de arista, llamado "cubo unidad", tiene "una unidad cúbica" de volumen», y que un cuerpo «llenado sin huecos ni solapamientos con n cubos unidad tiene un volumen de n unidades cúbicas».

Un cubo de 1 cm de arista es un centímetro cúbico, que se escribe 1 cm³. El área cuenta cuadrados (cm²) y el volumen cuenta cubos (cm³). El 3 pequeño de arriba indica que se han multiplicado tres longitudes, y la guía de potencias explica por qué «al cubo» y el 3 elevado significan lo mismo.

El estándar 5.MD.C.4 pide a los niños «medir volúmenes contando cubos unidad, usando cm cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas», así que las primeras clases son de contar con las manos.

Cómo calcular el volumen de un prisma rectangular paso a paso

El volumen de un prisma rectangular, u ortoedro, es largo × ancho × alto, y se escribe V = l × a × h. El estándar 5.MD.C.5b pide «aplicar las fórmulas V = l × w × h y V = b × h a los prismas rectangulares», donde b es el área de la base. Toma una caja de 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto.

1. Mide las tres aristas. Anota el largo (6 cm), el ancho (4 cm) y el alto (3 cm). Cualquier arista puede ser el largo; el resultado no cambia.
2. Pasa todas las aristas a la misma unidad. Una caja de 2 m de largo y 50 cm de ancho necesita 200 cm y 50 cm antes de multiplicar.
3. Calcula el área de la base. Multiplica largo × ancho: 6 × 4 = 24 cm². Son los cubitos que cubren el fondo de la caja en una capa.
4. Multiplica por la altura. Tres capas de 24 cubitos son 24 × 3 = 72. Es la fórmula V = B × h, área de la base × altura.
5. Comprueba con el otro orden. Multiplica primero 4 × 3 = 12 y después 12 × 6 = 72. El producto no cambia, que es la propiedad asociativa que menciona el estándar 5.MD.C.5a.
6. Escribe el resultado en unidades cúbicas. El volumen es 72 cm³, o 72 centímetros cúbicos.

Las cajas más grandes siguen los mismos pasos, con multiplicaciones mayores. Una caja de mudanza de 45 cm de largo, 45 cm de ancho y 40 cm de alto tiene 45 × 45 × 40 = 81 000 cm³, es decir, 81 litros, y la guía sobre cómo enseñar la multiplicación por varias cifras ayuda cuando las aristas llegan a dos cifras.

Ficha imprimible gratuitaMultiplicación — alumnos de 5.ºFicha · PDF

El fallo más común

La respuesta equivocada más frecuente suma las aristas en lugar de multiplicarlas. Un niño que escribe 6 + 4 + 3 = 13 ha calculado una longitud, y una caja en la que caben 13 cubitos sería mucho más pequeña que la del dibujo. Pregunta «¿cuántos cubitos hay en una capa y cuántas capas hay?» y la multiplicación sale sola.

El segundo error es mezclar unidades. Un depósito de 2 m de largo, 50 cm de ancho y 40 cm de alto tiene 200 × 50 × 40 = 400 000 cm³, que son 400 litros. Multiplicar 2 × 50 × 40 = 4000 da un número sin ninguna unidad.

Cómo calcular el volumen de otros cuerpos: fórmulas comparadas

El volumen de otros cuerpos sigue la misma idea que el de la caja: calcula el área de la base y multiplícala por la altura. OpenStax da el cubo como V = s³, el cilindro como V = π r² h o V = B h, el cono como un tercio del cilindro y la esfera como V = 4/3 π r³.

El cilindro y el cono de la tabla tienen el mismo radio, 3 cm, y la misma altura, 10 cm, así que en el cono cabe un tercio de lo que cabe en el cilindro. Los valores usan π ≈ 3,14, así que cada resultado se acerca al valor exacto. La guía de multiplicar y dividir decimales cubre el paso 3,14 × 90.

Qué fórmula del volumen necesita tu hijo en cada curso

La fórmula del volumen que necesita un niño depende del curso. En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE (Real Decreto 157/2022) incluye en el tercer ciclo, 5.º y 6.º de primaria (10 a 12 años), las «unidades convencionales del Sistema Métrico Decimal (longitud, masa, capacidad, volumen y superficie)», y el currículo de la ESO (Real Decreto 217/2022) pide de 1.º a 3.º de ESO (12 a 15 años) trabajar «longitudes, áreas y volúmenes en figuras planas y tridimensionales».

En Estados Unidos el orden es muy claro. En 5.º grado (10 a 11 años) se ven los prismas rectangulares con aristas enteras (5.MD.C.5), y en 6.º grado se pasa a las aristas fraccionarias: el estándar 6.G.A.2 pide «hallar el volumen de un prisma rectangular recto con aristas fraccionarias». En 7.º grado se añaden otros prismas rectos (7.G.B.6), y en 8.º grado se pide «conocer las fórmulas del volumen de conos, cilindros y esferas» (8.G.C.9).

Un niño de 10 u 11 años todavía no necesita π. El resumen de qué matemáticas corresponden a cada curso muestra dónde encaja el volumen junto a las fracciones y los decimales.

Actividades de volumen para hacer en casa

Las actividades de volumen en casa convierten la fórmula en algo que un niño puede tocar. Cada una dura diez minutos y usa cosas que ya tienes.

• Construye la caja con cubitos: Usa cubitos de base diez, cubos encajables o terrones de azúcar. Construye una capa de 4 cubitos por 3, cuenta 12 y luego apila capas contando de 12 en 12. Los terrones son una «unidad improvisada», en palabras del estándar 5.MD.C.4, así que el resultado se da en terrones, no en cm³.
• Mide una caja de cereales: Una caja de 30 cm de alto, 20 cm de ancho y 7 cm de fondo tiene 30 × 20 × 7 = 4200 cm³. Mide la tuya y compárala con una caja más pequeña de la despensa.
• Llena un recipiente de agua: Mide un táper, predice su volumen y luego échale agua con una jarra medidora y lee cuántos mililitros ha hecho falta.
• Compara dos cajas: Pregunta cuál de dos cajas tiene más capacidad antes de medir. Una caja alta y estrecha suele engañar a la vista.

Litros, mililitros y centímetros cúbicos

Los litros y los centímetros cúbicos miden lo mismo, así que una jarra medidora comprueba un cálculo. El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU. (NIST) indica que «1 cm³ = 1 mililitro (mL)» y que «1000 cm³ = 1 decímetro cúbico (dm³)», que es 1 litro.

Un recipiente de 10 cm × 10 cm × 10 cm tiene 1000 cm³, así que en él cabe exactamente 1 litro de agua. Una pecera de 60 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto tiene 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³, que son 72 litros. Los niños que ven vaciarse la jarra en la caja recuerdan la equivalencia mucho más que una regla en una ficha.

Cómo comprobar los avances con el volumen

Cinco preguntas cortas muestran si un niño entiende el volumen o solo repite una fórmula.

• La pregunta de clasificar: Pregunta si llenar una piscina, pintar una pared y envolver un regalo son tareas de área o de volumen. Llenar la piscina es volumen; la pared y el papel de regalo son área.
• La caja básica: Propón una caja de 5 por 3 por 2. El volumen es 30 unidades cúbicas, y el niño debe decir la unidad.
• La pregunta de las capas: Muestra una caja de 4 cubitos por 5 con 3 capas. Un niño que dice «20 en una capa, así que 60» entiende V = B × h.
• La arista que falta: Da un volumen de 60 cm³, un largo de 5 cm y un ancho de 4 cm. La altura es 60 ÷ 20 = 3 cm.
• La conversión: Pregunta cuántos litros caben en una caja de 20 cm × 10 cm × 10 cm. El volumen es 2000 cm³, que son 2 litros.

Una prueba de cinco minutos en casa

Una prueba de volumen de cinco minutos mezcla tres tipos de pregunta: una caja que calcular, una arista que falta y una conversión a litros. Pide al niño que diga en voz alta «capa y después altura» antes de multiplicar.

Un niño que conoce el método pero se atasca en 6 × 4 o en 24 × 3 necesita las tablas de multiplicar más que la geometría. El juego de las tablas de multiplicar las entrena en el navegador, y el juego de matemáticas para quinto cubre el cálculo de 5.º en el que se apoya cualquier problema de volumen.

Juega gratis en el navegadorTablas de multiplicar3.º de primaria y +

Errores frecuentes con el volumen y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos con el volumen, y cada uno tiene un remedio corto.

• Sumar las aristas: Una caja de 6 × 4 × 3 da 13 en lugar de 72. Pregunta «¿cuántos hay en una capa?» antes de cualquier cálculo.
• Usar unidades de área: Un resultado de 72 cm² describe una figura plana. El volumen siempre usa unidades cúbicas: cm³, dm³ o m³.
• Mezclar unidades: Una caja de 1 m por 20 cm por 10 cm tiene 100 × 20 × 10 = 20 000 cm³, o 20 litros. Pasa todas las aristas a la misma unidad antes de multiplicar.
• Olvidar una parte de un cuerpo compuesto: Un cuerpo en forma de L son dos cajas. El estándar 5.MD.C.5c pide «hallar el volumen de cuerpos formados por dos prismas rectangulares rectos que no se solapan, sumando los volúmenes de las partes». Un escalón de 5 × 3 × 2 = 30 cubitos junto a un bloque de 2 × 3 × 4 = 24 cubitos hacen 30 + 24 = 54 cubitos.

Caso límite: duplicar todas las aristas multiplica el volumen por 8

Duplicar todas las aristas de una caja multiplica su volumen por 8, porque el 2 aparece tres veces: 2 × 2 × 2 = 8. En una caja de 3 por 1 por 2 caben 6 cubitos, y en una caja de 6 por 2 por 4 caben 48, que es 8 veces más.

El área se multiplica por 4 cuando los lados se duplican, y el volumen por 8. Una caja de 2 × 3 × 4 = 24 pasa a 4 × 6 × 8 = 192, y 192 ÷ 24 = 8. La misma regla vale para una olla: el doble de ancha y el doble de alta significa 8 veces más sopa.

Tu lista de comprobación del volumen y siguientes pasos

• Tres aristas: mide el largo, el ancho y el alto de cada caja.
• Una unidad: pasa todas las aristas a la misma unidad antes de multiplicar.
• Capa y después altura: calcula el área de la base y multiplícala por el número de capas.
• Unidades cúbicas: escribe cm³, dm³ o m³ en cada resultado.
• Litros: divide los cm³ entre 1000 para obtener litros, y compruébalo con una jarra medidora.
• Cuerpos compuestos: divide un cuerpo en forma de L en dos cajas y suma los volúmenes.

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