体积怎么算：长方体、正方体和圆柱的体积

搬家时，五年级的孩子往纸箱里装积木，问一箱能装多少块。这个问题问的就是体积，答案来自三个测量和两次乘法。学体积怎么算，从一个纸盒和一堆小正方体开始；国内大多数孩子到五年级下学期，看着一张图就能算出长方体的体积。

体积是什么？

体积是物体所占空间的大小。OpenStax《Prealgebra》把一个板条箱里面的空间叫作“体积，一种立方量”，这个箱子就是你家厨房里每一个盒子的样板。

麦片盒、鱼缸和鞋盒都有体积，因为它们都有长、宽、高。一张纸有面积，却几乎没有体积，因为它几乎没有高。平面上的量见面积和周长；体积在这两个方向之外，又多了第三个方向。

为什么体积用立方单位

体积用立方单位，因为它数的是一个物体能装下多少个小正方体。美国共同核心标准 5.MD.C.3 写道：棱长 1 个单位的正方体叫作“单位正方体”，它的体积是 1 个立方单位；用 n 个单位正方体不留空隙、不重叠地摆满一个立体，这个立体的体积就是 n 个立方单位。

棱长 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米，写作 1 cm³。面积数的是小正方形（cm²），体积数的是小正方体（cm³）。右上角的小 3 表示三个长度相乘，乘方这篇讲了为什么“立方”和右上角的 3 是一回事。

美国标准 5.MD.C.4 要求孩子用立方厘米、立方英寸等单位，以及自己选的单位数小正方体来量体积，所以最初几节课都是动手数。

长方体的体积怎么算：一步一步来

长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，写成 V = abh。也可以先算底面积再乘高，写成 V = Sh，S 是底面积。下面以一个长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的盒子为例。

1. 量出三条棱。 记下长（6 厘米）、宽（4 厘米）和高（3 厘米）。哪条棱当长都可以，结果不变。
2. 把单位统一。 一个长 2 米、宽 50 厘米的箱子，相乘之前要先写成 200 厘米和 50 厘米。
3. 算底面积。 长 × 宽：6 × 4 = 24 平方厘米。这就是铺满盒底一层要多少个小正方体。
4. 乘高。 3 层、每层 24 个，一共 24 × 3 = 72 个。这就是公式 V = Sh，底面积 × 高。
5. 换个顺序验算。 先算 4 × 3 = 12，再算 12 × 6 = 72。积不变，这正是美国标准 5.MD.C.5a 提到的乘法结合律。
6. 答案写上立方单位。 体积是 72 cm³，也就是 72 立方厘米。

大箱子也是同样的步骤，只是乘法更大。一个长 50 厘米、宽 40 厘米、高 40 厘米的搬家纸箱，体积是 50 × 40 × 40 = 80000 立方厘米，也就是 80 升。棱长到了两位数，怎么教多位数乘法能帮上忙。

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最容易错的地方

最常见的错答，是把三条棱加起来，而不是乘起来。写出 6 + 4 + 3 = 13 的孩子算的是一段长度，能装 13 个小正方体的盒子，比图上的盒子小得多。问一句“一层有几个？一共有几层？”，乘法自然就出来了。

第二种错误是单位不统一。一个长 2 米、宽 50 厘米、高 40 厘米的水箱，是 200 × 50 × 40 = 400000 立方厘米，也就是 400 升。直接算 2 × 50 × 40 = 4000，得到的数根本没有单位可写。

其他立体图形的体积怎么算：公式对比

其他立体图形的体积，思路和长方体一样：先算底面积，再乘高。OpenStax 给出的公式是：正方体 V = s³，圆柱 V = πr²h 或 V = Bh，圆锥是同底等高圆柱的三分之一，球 V = 4/3 πr³。

表里的圆柱和圆锥底面半径都是 3 厘米、高都是 10 厘米，所以圆锥的体积是圆柱的三分之一。π 取 3.14，所以每个答案都是近似值。3.14 × 90 这一步怎么算，见小数乘法和小数除法。

孩子哪个年级学哪个体积公式

国内把体积放在第三学段。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求五、六年级学生“通过实例了解体积（或容积）的意义，知道体积（或容积）的度量单位，能进行单位之间的换算”，认识长方体、正方体和圆柱，“探索并掌握这些图形的体积和表面积的计算公式，认识圆锥并探索其体积的计算公式”。国内常见教材在五年级下学期学长方体和正方体的体积，六年级下学期学圆柱和圆锥。

美国的顺序慢得多：五年级学整数棱长的长方体（5.MD.C.5），六年级学分数棱长的长方体（6.G.A.2），七年级学其他直棱柱（7.G.B.6），圆柱、圆锥和球要到八年级（8.G.C.9）。

所以国内孩子六年级就用 π 算圆柱的体积，比美国早两年左右。各年级该会哪些数学讲了体积和分数、小数在各年级的位置。

在家就能做的体积小活动

在家做几个体积小活动，能把公式变成孩子摸得着的东西。每个活动十分钟，用的都是家里现成的东西。

• 用小正方体搭盒子： 用学具小正方体、拼插积木或者方糖。先搭一层 4 × 3，数出 12 块，再一层层往上叠，12 个 12 个地数。方糖是自己选的单位，所以答案是“多少块方糖”，不是立方厘米。
• 量一个麦片盒： 一个高 30 厘米、宽 20 厘米、厚 7 厘米的盒子，体积是 30 × 20 × 7 = 4200 立方厘米。量一量家里的盒子，再和柜子里一个小一点的盒子比一比。
• 往保鲜盒里倒水： 先量保鲜盒的长、宽、高，估算它的容积，再用量杯往里倒水，看一共倒了多少毫升。
• 比两个盒子： 量之前先问哪个盒子装得多。又高又窄的盒子常常骗过眼睛。

升、毫升和立方厘米

升和立方厘米量的是同一种量，所以可以用量杯验算。美国国家标准与技术研究院（NIST）写明：1 cm³ = 1 毫升（mL），1000 cm³ = 1 立方分米（dm³），也就是 1 升。

一个 10 厘米 × 10 厘米 × 10 厘米的容器，体积是 1000 立方厘米，正好装 1 升水。长 60 厘米、宽 30 厘米、高 40 厘米的鱼缸，体积是 60 × 30 × 40 = 72000 立方厘米，也就是 72 升。亲眼看着量杯里的水倒进盒子，孩子记这个换算，比记练习单上的一条规则牢得多。

怎么检查孩子是否学会了体积

五个小问题，就能看出孩子是真懂体积，还是只会背公式。

• 分类题： 问给游泳池灌水、粉刷墙壁、包礼物，分别用的是面积还是体积。灌水是体积，墙和包装纸是面积。
• 基本长方体： 给一个 5 × 3 × 2 的长方体。体积是 30 个立方单位，孩子要说出单位。
• 分层题： 给一个 4 块 × 5 块、叠 3 层的长方体。孩子说“一层 20 块，所以 60 块”，就懂了 V = Sh。
• 求未知的棱： 体积 60 立方厘米，长 5 厘米，宽 4 厘米。高是 60 ÷ 20 = 3 厘米。
• 换算题： 问一个 20 厘米 × 10 厘米 × 10 厘米的盒子能装多少升。体积是 2000 立方厘米，也就是 2 升。

五分钟小测

五分钟的体积小测把三类题混在一起：算一个长方体、求一条未知的棱、做一次升的换算。让孩子在动笔之前先说出“先算一层，再乘层数”。

方法会了、却卡在 6 × 4 或 24 × 3 上的孩子，缺的是乘法口诀，不是几何。乘法口诀游戏可以直接在浏览器里练这些口诀，五年级数学游戏覆盖了体积题离不开的五年级计算。

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体积的常见错误和特殊情况

算体积时，大多数错答出自四种错误，每种都有一句话的纠正。

• 把棱长相加： 6 × 4 × 3 的盒子算成 13，而不是 72。动笔之前先问“一层有几个？”
• 用了面积单位： 72 cm² 描述的是一个平面图形。体积一定用立方单位：cm³、dm³ 或 m³。
• 单位不统一： 一个长 1 米、宽 20 厘米、高 10 厘米的箱子，是 100 × 20 × 10 = 20000 立方厘米，也就是 20 升。相乘之前先把每条棱换成同一个单位。
• 组合图形漏了一部分： L 形的立体是两个长方体拼成的。美国标准 5.MD.C.5c 要求孩子把两个不重叠的长方体的体积相加，求组合立体的体积。一个 5 × 3 × 2 = 30 块的台阶，旁边加一个 2 × 3 × 4 = 24 块的长方体，一共 30 + 24 = 54 块。

特殊情况：棱长都扩大 2 倍，体积扩大 8 倍

长方体的长、宽、高都扩大到原来的 2 倍，体积就扩大到原来的 8 倍，因为 2 出现了三次：2 × 2 × 2 = 8。一个 3 × 1 × 2 的长方体能装 6 块，一个 6 × 2 × 4 的长方体能装 48 块，正好是 8 倍。

边长扩大 2 倍，面积扩大 4 倍；棱长扩大 2 倍，体积扩大 8 倍。2 × 3 × 4 = 24 的长方体变成 4 × 6 × 8 = 192，而 192 ÷ 24 = 8。煮汤的锅也是这样：锅的直径和高都变成原来的 2 倍，能装的汤就是原来的 8 倍。

体积检查清单和下一步

• 三条棱： 量出每个盒子的长、宽、高。
• 统一单位： 相乘之前把每条棱换成同一个单位。
• 先一层，再乘层数： 先算底面积，再乘高。
• 立方单位： 每个答案都写上 cm³、立方分米或立方米。
• 换成升： 立方厘米除以 1000 就是升，再用量杯验证。
• 组合图形： 把 L 形的立体拆成两个长方体，体积相加。

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