Hacim nasıl hesaplanır: dikdörtgenler prizması, küp ve silindir

1. sınıftaki çocuğunuz taşınma kolisine oyuncak blokları yerleştiriyor ve kaç tanesinin sığacağını soruyor. Bu soru hacim sorusudur ve cevabı üç ölçümden ve iki çarpmadan gelir. Hacim hesaplamayı öğrenmek bir kutu ve bir avuç küçük küple başlar; 6. sınıfın sonunda çoğu çocuk dikdörtgenler prizmasının hacmini yalnızca bir çizimden bulabilir.

Hacim nedir?

Hacim, bir cismin içindeki boşluğun miktarıdır. OpenStax Prealgebra bir sandığın içindeki boşluğu "hacim, yani küp birimli bir ölçü" diye anlatır ve bu sandık mutfağınızdaki her kutu için iyi bir modeldir.

Bir mısır gevreği kutusunun, bir akvaryumun ve bir ayakkabı kutusunun hacmi vardır, çünkü her birinin eni, boyu ve yüksekliği vardır. Bir kâğıt yaprağının alanı vardır ama neredeyse hiç hacmi yoktur, çünkü neredeyse hiç yüksekliği yoktur. Alan ve çevre rehberi düz ölçümleri anlatır; hacim bunlara üçüncü yönü ekler.

Hacim neden küp birimlerle ölçülür?

Hacim küp birimlerle ölçülür, çünkü bir cismi kaç küçük küpün doldurduğunu sayar. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı, M.6.3.4.1 kazanımında öğrencinin dikdörtgenler prizmasının içine boşluk kalmayacak biçimde yerleştirilen birimküp sayısının o cismin hacmi olduğunu anlamasını ve hacmi birimküpleri sayarak hesaplamasını ister. ABD'nin Common Core 5.MD.C.3 standardı da ayrıtı 1 birim olan "birim küpün" hacminin "bir küp birim" olduğunu söyler.

Her ayrıtı 1 cm olan bir küp bir santimetreküptür ve 1 cm³ diye yazılır. Alan kareleri (cm²), hacim küpleri (cm³) sayar. Küçük, yukarıda duran 3, üç uzunluğun çarpıldığını gösterir; üslü ifadeler rehberi "küpü" ile yukarıdaki 3'ün neden aynı anlama geldiğini açıklar.

MEB programı birimküpler sayılırken her tabakada kaç birimküp olduğuna ve toplam kaç tabaka bulunduğuna dikkat çekilmesini ister; bu yüzden ilk dersler elle yapılan saymalardır.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi adım adım nasıl bulunur?

Dikdörtgenler prizmasının hacmi en × boy × yüksekliktir ve V = a × b × c diye yazılır. MEB'in M.6.3.4.2 kazanımı öğrencinin hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olduğunu gerekçesiyle açıklamasını, M.6.3.4.4 de hacim bağıntısını oluşturup problem çözmesini ister. 6 cm uzunluğunda, 4 cm genişliğinde ve 3 cm yüksekliğinde bir kutu alın.

1. Üç ayrıtı ölçün. Uzunluğu (6 cm), genişliği (4 cm) ve yüksekliği (3 cm) yazın. Herhangi bir ayrıt uzunluk olabilir; cevap değişmez.
2. Bütün ayrıtları aynı birime çevirin. 2 m uzunluğunda ve 50 cm genişliğindeki bir kutu, çarpmadan önce 200 cm ve 50 cm olmalıdır.
3. Taban alanını bulun. Uzunluk × genişlik: 6 × 4 = 24 cm². Bu, kutunun tabanını tek kat hâlinde kaplayan küp sayısıdır.
4. Yükseklikle çarpın. 24 küplük üç kat 24 × 3 = 72 eder. Bu, V = taban alanı × yükseklik formülüdür.
5. Başka bir sırayla kontrol edin. Önce 4 × 3 = 12, sonra 12 × 6 = 72 çarpın. Çarpım değişmez; bu, çarpmanın birleşme özelliğidir.
6. Cevabı küp birimle yazın. Hacim 72 cm³, yani 72 santimetreküptür.

Büyük kutular aynı adımları daha büyük çarpmalarla kullanır. 45 cm uzunluğunda, 45 cm genişliğinde ve 40 cm yüksekliğinde bir taşınma kolisi 45 × 45 × 40 = 81.000 cm³, yani 81 litre alır; ayrıtlar iki basamaklı olduğunda uzun çarpma nasıl öğretilir rehberi yardımcı olur.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 5. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

En sık yapılan yanlış

En yaygın yanlış cevap, ayrıtları çarpmak yerine toplamaktan gelir. 6 + 4 + 3 = 13 yazan çocuk bir uzunluk bulmuştur ve 13 küp alan bir kutu çizimdekinden çok daha küçük olurdu. "Bir katta kaç küp var, kaç kat var?" diye sorun; çarpma kendiliğinden gelir.

İkinci hata birimleri karıştırmaktır. 2 m uzunluğunda, 50 cm genişliğinde ve 40 cm yüksekliğinde bir akvaryum 200 × 50 × 40 = 400.000 cm³, yani 400 litredir. 2 × 50 × 40 = 4.000 çarpmak ise hiçbir birimi olmayan bir sayı verir.

Diğer cisimlerin hacmi: formüller yan yana

Diğer cisimlerin hacmi de kutudaki fikri izler: taban alanını bulun, sonra yükseklikle çarpın. OpenStax küpü V = a³, silindiri V = π r² h ya da V = taban alanı × h, koniyi silindirin üçte biri, küreyi de V = 4/3 π r³ diye verir.

Tablodaki silindir ve koninin yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm'dir; dolayısıyla koni silindirin aldığının üçte birini alır. Değerler π ≈ 3,14 ile hesaplandığı için her cevap gerçek değere yakındır. Ondalık sayılarla çarpma ve bölme rehberi 3,14 × 90 adımını anlatır.

Çocuğunuzun hangi sınıfta hangi hacim formülüne ihtiyacı var?

Çocuğun ihtiyaç duyduğu hacim formülü sınıfa göre değişir ve MEB programı formülleri açık bir sırayla getirir. 5. sınıf dikdörtgenler prizmasını tanıtır ve yüzey alanını hesaplatır (M.5.2.5.1–M.5.2.5.3). 6. sınıf hacmi birimküplerle anlamlandırır, cm³, dm³ ve m³ arasında dönüşüm yaptırır (M.6.3.4.3) ve dikdörtgenler prizmasının hacim bağıntısını kurdurur.

1. sınıf dik prizmaları ve dik dairesel silindiri ekler; silindirin hacim bağıntısını dik prizmanınkiyle ilişkilendirir (M.8.3.4.4). ABD'de ise 6.G.A.2 standardı 6. sınıfta kesirli ayrıtları, 8.G.C.9 da 8. sınıfta koni, silindir ve küre formüllerini ister.

1. sınıftaki bir çocuğun henüz π'ye ihtiyacı yoktur. Her sınıfın bilmesi gereken matematik özeti, hacmin kesirlerin ve ondalık gösterimlerin yanında nerede durduğunu gösterir.

Mutfak masasında hacim etkinlikleri

Mutfak masasında yapılan hacim etkinlikleri formülü çocuğun elle tutabileceği bir şeye dönüştürür. Her biri on dakika sürer ve evde zaten olan şeyleri kullanır.

• Kutuyu küplerden kurun: Birimküpler, takılan küpler ya da şeker küpleri kullanın. 4 küpe 3 küplük tek bir kat kurun, 12'yi sayın, sonra katları üst üste koyup on ikişer sayın. Şeker küpleri standart olmayan bir birimdir, bu yüzden cevap cm³ değil, şeker küpü cinsindendir.
• Bir mısır gevreği kutusunu ölçün: 30 cm yüksekliğinde, 20 cm genişliğinde ve 7 cm derinliğinde bir kutu 30 × 20 × 7 = 4.200 cm³ alır. Kendi kutunuzu ölçün ve kilerdeki daha küçük bir kutuyla karşılaştırın.
• Bir kabı suyla doldurun: Plastik bir saklama kabını ölçün, hacmini tahmin edin, sonra bir ölçü kabından su dökün ve kaç mililitre gittiğini okuyun.
• İki kutuyu karşılaştırın: Ölçmeden önce iki kutudan hangisinin daha çok aldığını sorun. Uzun ve dar bir kutu çoğu zaman gözü yanıltır.

Litre, mililitre ve santimetreküp

Litre ve santimetreküp aynı şeyi ölçer; bu yüzden bir ölçü kabı bir hesabı kontrol eder. ABD Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü (NIST) "1 cm³ = 1 mililitre (mL)" ve "1000 cm³ = 1 desimetreküp (dm³)" der; bu da 1 litredir. MEB programı da M.6.3.5.1'de 1 litrenin 1 dm³ olduğunun fark ettirilmesini ister.

10 cm × 10 cm × 10 cm'lik bir kap 1.000 cm³ alır, yani tam 1 litre su alır. 60 cm uzunluğunda, 30 cm genişliğinde ve 40 cm yüksekliğinde bir akvaryum 60 × 30 × 40 = 72.000 cm³, yani 72 litre alır. Ölçü kabının kutuya boşaldığını gören çocuklar bu dönüşümü bir çalışma kâğıdındaki kuraldan çok daha uzun süre hatırlar.

Hacimde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, bir çocuğun hacmi anlayıp anlamadığını ya da yalnızca bir formülü tekrarladığını gösterir.

• Ayırma sorusu: Havuzu doldurmanın, duvarı boyamanın ve hediye paketlemenin alan işi mi hacim işi mi olduğunu sorun. Havuzu doldurmak hacim işidir; duvar ve ambalaj kâğıdı alan işidir.
• Temel kutu: 5'e 3'e 2'lik bir kutu verin. Hacim 30 birim küptür ve çocuk birimi söylemelidir.
• Kat sorusu: 4 küpe 5 küplük ve 3 katlı bir kutu gösterin. "Bir katta 20, o hâlde 60" diyen çocuk V = taban alanı × yükseklik bağıntısını anlamıştır.
• Eksik ayrıt: Hacmi 60 cm³, uzunluğu 5 cm ve genişliği 4 cm olan bir kutu verin. Yükseklik 60 ÷ 20 = 3 cm'dir.
• Dönüşüm: 20 cm × 10 cm × 10 cm'lik bir kutunun kaç litre aldığını sorun. Hacim 2.000 cm³, yani 2 litredir.

Mutfak masasında beş dakikalık bir test

Beş dakikalık bir hacim testi üç soru türünü karıştırır: hesaplanacak bir kutu, bir eksik ayrıt ve bir litre dönüşümü. Çocuktan çarpmadan önce "önce kat, sonra yükseklik" diye sesli söylemesini isteyin.

Yöntemi bilen ama 6 × 4'te ya da 24 × 3'te duraksayan bir çocuğun geometriden çok çarpım bilgilerine ihtiyacı vardır. Çarpım tablosu oyunu bu bilgileri tarayıcıda çalıştırır; 5. sınıflar için matematik oyunu da her hacim probleminin dayandığı sayı işlerini kapsar.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

Hacimde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Hacimdeki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir düzeltmesi vardır.

• Ayrıtları toplamak: 6 × 4 × 3'lük bir kutu için 72 yerine 13 bulunur. Herhangi bir hesaptan önce "bir katta kaç tane var?" diye sorun.
• Alan birimi kullanmak: 72 cm²'lik bir cevap düz bir şekli anlatır. Hacim her zaman küp birimlerle yazılır: cm³, dm³ ya da m³.
• Birimleri karıştırmak: 1 m'ye 20 cm'ye 10 cm'lik bir kutu 100 × 20 × 10 = 20.000 cm³, yani 20 litredir. Çarpmadan önce her ayrıtı çevirin.
• Birleşik bir cismin bir parçasını atlamak: L biçiminde bir cisim iki kutudur. ABD'nin 5.MD.C.5c standardı, iki dikdörtgenler prizmasından oluşan cisimlerin hacmini parçaların hacimlerini toplayarak bulmayı ister. 5 × 3 × 2 = 30 küplük bir basamak ile 2 × 3 × 4 = 24 küplük bir blok yan yana 30 + 24 = 54 küp eder.

Sınır durum: bütün ayrıtları iki katına çıkarmak hacmi 8 ile çarpar

Bir kutunun bütün ayrıtlarını iki katına çıkarmak hacmini 8 ile çarpar, çünkü 2 üç kez çarpılır: 2 × 2 × 2 = 8. 3'e 1'e 2'lik bir kutu 6 küp, 6'ya 2'ye 4'lük bir kutu ise 48 küp alır; bu da 8 katıdır.

Kenarlar iki katına çıkınca alan 4 kat, hacim 8 kat büyür. 2 × 3 × 4 = 24'lük bir kutu 4 × 6 × 8 = 192 olur ve 192 ÷ 24 = 8'dir. Aynı kural bir tencere için de geçerlidir: iki kat geniş ve iki kat yüksek bir tencere 8 kat çorba alır.

Hacim kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Üç ayrıt: her kutunun uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini ölçün.
• Tek birim: çarpmadan önce her ayrıtı aynı birime çevirin.
• Önce kat, sonra yükseklik: taban alanını bulun, sonra kat sayısıyla çarpın.
• Küp birimler: her cevaba cm³, dm³ ya da m³ yazın.
• Litre: litreyi bulmak için cm³'ü 1.000'e bölün ve bir ölçü kabıyla kontrol edin.
• Birleşik cisimler: L biçimli bir cismi iki kutuya ayırın ve hacimleri toplayın.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve her hacim probleminin arkasındaki çarpım bilgilerini geliştiren kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuklar 33 dilin herhangi birinde, 1 ila 4 arkadaşı ya da aile üyesiyle gerçek zamanlı matematik düellolarına da girebilir.