Så räknar du ut volym för rätblock, kuber och cylindrar

Ditt barn i årskurs 5 packar en flyttkartong med leksaksklossar och undrar hur många som får plats. Den frågan handlar om volym, och svaret kommer från tre mått och två multiplikationer. Att räkna ut volym börjar med en låda och en hög små kuber, och den som har förstått lagren kan snart räkna ut volymen av ett rätblock från bara en ritning.

Vad är volym?

Volym är hur mycket utrymme som finns inuti en kropp. OpenStax Prealgebra beskriver utrymmet inuti en låda som volymen, ett kubikmått, och den lådan är en bra modell för varje förpackning i ditt kök.

Ett flingpaket, ett akvarium och en skokartong har alla en volym, eftersom var och en har längd, bredd och höjd. Ett pappersark har area men nästan ingen volym, eftersom det nästan inte har någon höjd. Guiden om area och omkrets tar upp de platta måtten; volymen lägger till den tredje riktningen.

Varför volym mäts i kubikenheter

Volym mäts i kubikenheter eftersom den räknar hur många små kuber som fyller en kropp. Common Core-standarden 5.MD.C.3 säger att en kub med sidan 1 enhet, en enhetskub, har volymen en kubikenhet, och att en kropp som packas utan glipor eller överlapp med n enhetskuber har volymen n kubikenheter.

En kub som är 1 cm på varje sida är en kubikcentimeter, skrivet 1 cm³. Area räknar kvadrater (cm²) och volym räknar kuber (cm³). Den lilla upphöjda trean betyder att tre längder har multiplicerats, och guiden om potenser förklarar varför ”i kubik” och den upphöjda trean betyder samma sak.

I Sverige börjar det med mätning. Kursplanen i matematik i Lgr22 tar i årskurs 1–3 upp objekten klot, kon, cylinder och rätblock och mätning av volym med vanliga nutida och äldre måttenheter, så de första lektionerna handlar om att räkna och hälla.

Så räknar du ut volymen av ett rätblock, steg för steg

Volymen av ett rätblock är längd × bredd × höjd, skrivet V = l × b × h. Standarden 5.MD.C.5b ber barnen använda formlerna V = l × b × h och V = B × h för rätblock, där B är basytans area. Ta en låda som är 6 cm lång, 4 cm bred och 3 cm hög.

1. Mät de tre kanterna. Skriv ner längden (6 cm), bredden (4 cm) och höjden (3 cm). Vilken kant som helst kan vara längden; svaret blir detsamma.
2. Ha alla kanter i samma enhet. En låda som är 2 m lång och 50 cm bred behöver 200 cm och 50 cm innan du multiplicerar.
3. Räkna ut basytans area. Multiplicera längd × bredd: 6 × 4 = 24 cm². Så många kuber täcker lådans botten i ett lager.
4. Multiplicera med höjden. Tre lager med 24 kuber blir 24 × 3 = 72. Det är formeln V = B × h, basarea × höjd.
5. Kontrollera i en annan ordning. Multiplicera 4 × 3 = 12 först och sedan 12 × 6 = 72. Produkten ändras inte, vilket är den associativa lagen som standarden 5.MD.C.5a nämner.
6. Skriv svaret i kubikenheter. Volymen är 72 cm³, alltså 72 kubikcentimeter.

Större lådor räknas med samma steg och större multiplikationer. En flyttkartong som är 60 cm lång, 40 cm bred och 40 cm hög rymmer 60 × 40 × 40 = 96 000 cm³, alltså 96 liter, och guiden om hur du lär ut uppställd multiplikation hjälper när kanterna blir tvåsiffriga.

Gratis övningsblad att skriva utMultiplikation — elever i årskurs 5Arbetsblad · PDF

Det många gör fel

Det vanligaste felsvaret adderar kanterna i stället för att multiplicera dem. Ett barn som skriver 6 + 4 + 3 = 13 har räknat ut en längd, och en låda som rymmer 13 kuber vore mycket mindre än ritningen. Fråga ”hur många kuber i ett lager, och hur många lager?” så följer multiplikationen.

Det andra felet är att blanda enheter. Ett akvarium som är 2 m långt, 50 cm brett och 40 cm högt är 200 × 50 × 40 = 400 000 cm³, vilket är 400 liter. Att multiplicera 2 × 50 × 40 = 4 000 ger ett tal utan någon enhet alls.

Så räknar du ut volym för andra kroppar: formlerna sida vid sida

Volymen av andra kroppar följer samma idé som lådan: räkna ut basytans area och multiplicera med höjden. OpenStax anger kuben som V = s³, cylindern som V = π r² h eller V = B h, konen som en tredjedel av en cylinder och klotet som V = 4/3 π r³.

Cylindern och konen i tabellen har samma radie, 3 cm, och samma höjd, 10 cm, så konen rymmer en tredjedel av det cylindern rymmer. Värdena använder π ≈ 3,14, så varje svar ligger nära det exakta värdet. Guiden om multiplikation och division med decimaltal tar upp steget 3,14 × 90.

Vilken volymformel ditt barn behöver i vilken årskurs

Vilken volymformel ett barn behöver beror på årskursen. I Sverige anger Lgr22 mätning av volym med standardiserade måttenheter och enhetsbyten i årskurs 4–6, och metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt i årskurs 7–9. I USA kommer rätblock med heltalskanter i årskurs 5 (5.MD.C.5), och standarden 6.G.A.2 lägger till kanter i bråkform i årskurs 6.

Årskurs 7 lägger där till andra raka prismor (7.G.B.6), och årskurs 8 kräver att eleverna kan formlerna för volymen av koner, cylindrar och klot (8.G.C.9).

Ett barn i årskurs 5 behöver inte π än. Översikten över vilken matte varje årskurs ska kunna visar var volym hamnar bredvid bråk och decimaltal.

Övningar med volym vid köksbordet

Övningar med volym vid köksbordet gör formeln till något ett barn kan hålla i. Var och en tar tio minuter och använder saker du redan har hemma.

• Bygg lådan av kuber: Använd entalskuber, klosskuber eller sockerbitar. Bygg ett lager på 4 gånger 3 kuber, räkna till 12 och stapla sedan lager och räkna i tolvor. Sockerbitar är en egen måttenhet, så svaret blir i sockerbitar och inte i cm³.
• Mät ett flingpaket: Ett paket som är 30 cm högt, 20 cm brett och 7 cm djupt rymmer 30 × 20 × 7 = 4 200 cm³. Mät ert och jämför med ett mindre paket i skafferiet.
• Fyll en burk med vatten: Mät en matlåda i plast, gissa volymen och häll sedan i vatten från en mätkanna och läs av hur många milliliter det gick åt.
• Jämför två lådor: Fråga vilken av två lådor som rymmer mest innan ni mäter. En hög och smal låda lurar ofta ögat.

Liter, milliliter och kubikcentimeter

Liter och kubikcentimeter mäter samma sak, så en mätkanna kan kontrollera en uträkning. National Institute of Standards and Technology anger att 1 cm³ = 1 milliliter (ml) och att 1 000 cm³ = 1 kubikdecimeter (dm³), vilket är 1 liter. Svenska recept mäter i deciliter, och 1 dl = 100 cm³.

En behållare på 10 cm × 10 cm × 10 cm rymmer 1 000 cm³, så den rymmer exakt 1 liter vatten. Ett akvarium som är 60 cm långt, 30 cm brett och 40 cm högt rymmer 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³, vilket är 72 liter. Barn som ser kannan tömmas i lådan minns sambandet mycket längre än en regel på ett arbetsblad.

Så kontrollerar du framstegen med volym

Fem korta frågor visar om ett barn förstår volym eller bara upprepar en formel.

• Sorteringsfrågan: Fråga om att fylla en pool, måla en vägg och slå in en present är uppgifter för area eller volym. Att fylla poolen är volym; väggen och presentpapperet är area.
• Grundlådan: Ge en låda på 5 gånger 3 gånger 2. Volymen är 30 kubikenheter, och barnet ska säga enheten.
• Lagerfrågan: Visa en låda på 4 gånger 5 kuber med 3 lager. Ett barn som säger ”20 i ett lager, alltså 60” förstår V = B × h.
• Den saknade kanten: Ge volymen 60 cm³, längden 5 cm och bredden 4 cm. Höjden är 60 : 20 = 3 cm.
• Omvandlingen: Fråga hur många liter en låda på 20 cm × 10 cm × 10 cm rymmer. Volymen är 2 000 cm³, vilket är 2 liter.

Ett test på fem minuter vid köksbordet

Ett test på fem minuter blandar tre sorters frågor: en låda att räkna ut, en saknad kant och en omvandling till liter. Be barnet säga ”lager, sedan höjd” högt innan det multiplicerar.

Ett barn som kan metoden men fastnar på 6 × 4 eller 24 × 3 behöver multiplikationstabellen mer än geometrin. Spelet för gångertabellen drillar de fakta i webbläsaren, och mattespel för årskurs 5 täcker det räknande som varje volymuppgift vilar på.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

Vanliga fel och gränsfall med volym

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren med volym, och vart och ett har en kort fix.

• Att addera kanterna: En låda på 6 × 4 × 3 får 13 i stället för 72. Fråga ”hur många i ett lager?” före varje uträkning.
• Att använda areaenheter: Svaret 72 cm² beskriver en platt figur. Volym har alltid kubikenheter: cm³, dm³ eller m³.
• Att blanda enheter: En låda på 1 m gånger 20 cm gånger 10 cm är 100 × 20 × 10 = 20 000 cm³, alltså 20 liter. Omvandla varje kant innan du multiplicerar.
• Att missa en del av en sammansatt kropp: En L-formad kropp är två lådor. Standarden 5.MD.C.5c ber barnen räkna ut volymen av kroppar som består av två rätblock som inte överlappar genom att addera delarnas volymer. Ett trappsteg på 5 × 3 × 2 = 30 kuber bredvid ett block på 2 × 3 × 4 = 24 kuber blir 30 + 24 = 54 kuber.

Gränsfall: dubbla kanter ger 8 gånger volymen

Om varje kant i en låda fördubblas blir volymen 8 gånger så stor, eftersom tvåan finns med tre gånger: 2 × 2 × 2 = 8. En låda på 3 gånger 1 gånger 2 rymmer 6 kuber, och en låda på 6 gånger 2 gånger 4 rymmer 48 kuber, vilket är 8 gånger så många.

Arean blir 4 gånger så stor när sidorna fördubblas, och volymen blir 8 gånger så stor. En låda på 2 × 3 × 4 = 24 blir 4 × 6 × 8 = 192, och 192 : 24 = 8. Samma regel gäller en kastrull: dubbelt så bred och dubbelt så hög betyder 8 gånger så mycket soppa.

Din checklista för volym och nästa steg

• Tre kanter: mät längden, bredden och höjden på varje låda.
• En enhet: omvandla varje kant till samma enhet innan du multiplicerar.
• Lager, sedan höjd: räkna ut basytans area och multiplicera med antalet lager.
• Kubikenheter: skriv cm³, dm³ eller m³ på varje svar.
• Liter: dela cm³ med 1 000 för att få liter, och kontrollera med en mätkanna.
• Sammansatta kroppar: dela en L-formad kropp i två lådor och addera volymerna.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning som bygger upp multiplikationstabellen bakom varje volymuppgift. Barn kan också utmana 1 till 4 vänner eller familjemedlemmar i matteduell i realtid, på något av 33 språk.