Jak obliczyć objętość: prostopadłościan, sześcian, walec i inne bryły

Twój piątoklasista pakuje klocki do kartonu przed przeprowadzką i pyta, ile się ich zmieści. To pytanie o objętość, a odpowiedź daje trzy pomiary i dwa mnożenia. Nauka obliczania objętości zaczyna się od pudełka i garści małych sześcianów, a pod koniec klasy 6 dziecko potrafi obliczyć objętość prostopadłościanu z samego rysunku.

Co to jest objętość?

Objętość to ilość miejsca wewnątrz bryły. Podręcznik OpenStax Prealgebra opisuje miejsce wewnątrz skrzyni jako objętość, czyli miarę sześcienną, a ta skrzynia jest dobrym modelem każdego pudełka w twojej kuchni.

Pudełko płatków, akwarium i pudełko po butach mają objętość, bo każde ma długość, szerokość i wysokość. Kartka papieru ma pole, ale prawie żadnej objętości, bo prawie nie ma wysokości. Poradnik o polu i obwodzie omawia płaskie pomiary, a objętość dodaje trzeci kierunek.

Dlaczego objętość mierzy się w jednostkach sześciennych

Objętość mierzy się w jednostkach sześciennych, bo liczy, ile małych sześcianów wypełnia bryłę. Standard Common Core 5.MD.C.3 mówi, że sześcian o krawędzi 1 jednostki, nazywany sześcianem jednostkowym, ma objętość jednej jednostki sześciennej, a bryła wypełniona bez luk i nakładania n sześcianami jednostkowymi ma objętość n jednostek sześciennych.

Sześcian o krawędzi 1 cm to jeden centymetr sześcienny, zapisywany 1 cm³. Pole liczy kwadraty (cm²), a objętość liczy sześciany (cm³). Mała trójka u góry znaczy, że pomnożono trzy długości, a poradnik o potęgach wyjaśnia, dlaczego „do sześcianu” i mała trójka znaczą to samo.

Standard 5.MD.C.4 prosi dzieci o mierzenie objętości przez liczenie sześcianów jednostkowych, także w jednostkach wymyślonych na potrzeby zadania, więc pierwsze lekcje to liczenie z sześcianami w ręku.

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu krok po kroku

Objętość prostopadłościanu to długość × szerokość × wysokość, zapisywana V = a × b × c. Standard 5.MD.C.5b prosi dzieci o stosowanie wzorów V = l × w × h oraz V = b × h, gdzie b to pole podstawy. Weź pudełko o długości 6 cm, szerokości 4 cm i wysokości 3 cm.

1. Zmierz trzy krawędzie. Zapisz długość (6 cm), szerokość (4 cm) i wysokość (3 cm). Każda krawędź może być długością; wynik się nie zmienia.
2. Wyraź każdą krawędź w tej samej jednostce. Pudełko o długości 2 m i szerokości 50 cm wymaga 200 cm i 50 cm przed mnożeniem.
3. Oblicz pole podstawy. Pomnóż długość × szerokość: 6 × 4 = 24 cm². Tyle sześcianów przykrywa dno pudełka w jednej warstwie.
4. Pomnóż przez wysokość. Trzy warstwy po 24 sześciany to 24 × 3 = 72. To wzór V = Pp × h, pole podstawy × wysokość.
5. Sprawdź w innej kolejności. Najpierw pomnóż 4 × 3 = 12, potem 12 × 6 = 72. Iloczyn się nie zmienia, a to łączność mnożenia, o której wspomina standard 5.MD.C.5a.
6. Zapisz wynik w jednostkach sześciennych. Objętość wynosi 72 cm³, czyli 72 centymetry sześcienne.

Większe pudła liczy się tymi samymi krokami, tylko mnożenia są większe. Karton do przeprowadzki o wymiarach 40 cm × 30 cm × 25 cm mieści 40 × 30 × 25 = 30 000 cm³, czyli 30 litrów, a poradnik jak uczyć mnożenia pisemnego pomaga, gdy krawędzie mają dwie cyfry.

Darmowa karta pracy do drukuMnożenie — uczniów 5. klasyKarta pracy · PDF

Gdzie pojawia się błąd

Najczęstsza zła odpowiedź dodaje krawędzie zamiast je mnożyć. Dziecko, które pisze 6 + 4 + 3 = 13, obliczyło długość, a pudełko na 13 sześcianów byłoby dużo mniejsze niż na rysunku. Zapytaj: „ile sześcianów jest w jednej warstwie i ile jest warstw?”, a mnożenie pojawi się samo.

Drugi błąd to mieszanie jednostek. Akwarium o długości 2 m, szerokości 50 cm i wysokości 40 cm ma 200 × 50 × 40 = 400 000 cm³, czyli 400 litrów. Mnożenie 2 × 50 × 40 = 4000 daje liczbę bez żadnej jednostki.

Jak obliczyć objętość innych brył: wzory obok siebie

Objętość innych brył liczy się według tej samej myśli co w pudełku: oblicz pole podstawy, potem pomnóż przez wysokość. OpenStax podaje dla sześcianu V = s³, dla walca V = π r² h albo V = B h, dla stożka jedną trzecią walca, a dla kuli V = 4/3 π r³.

Walec i stożek w tabeli mają ten sam promień 3 cm i tę samą wysokość 10 cm, więc stożek mieści jedną trzecią tego, co walec. Wyniki używają π ≈ 3,14, więc każdy jest bliski dokładnej wartości. Poradnik o mnożeniu i dzieleniu ułamków dziesiętnych omawia krok 3,14 × 90.

Który wzór na objętość jest potrzebny w której klasie

Wzór na objętość, którego potrzebuje dziecko, zależy od klasy, a polska szkoła wprowadza je w jasnej kolejności. Podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej mówi, że w klasach 4–6 uczeń „oblicza objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi” i „stosuje jednostki objętości i pojemności: mililitr, litr, cm3, dm3, m3”.

W klasach 7–8 uczeń „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych, prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe” oraz objętości ostrosłupów. Walce, stożki i kule podstawa wymienia w klasach 4–6 tylko w wymaganiu, żeby uczeń je rozpoznawał w sytuacjach praktycznych; wzorów na ich objętość nie wymienia. W USA kolejność jest podobna: prostopadłościan w klasie 5, krawędzie ułamkowe w klasie 6 (standard 6.G.A.2), inne graniastosłupy w klasie 7, a walec, stożek i kula w klasie 8.

Uczeń klasy 5 nie potrzebuje jeszcze π. Przegląd czego uczy się matematyki w każdej klasie pokazuje, gdzie objętość stoi obok ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Zabawy z objętością przy kuchennym stole

Zabawy z objętością przy kuchennym stole zamieniają wzór w coś, co dziecko może wziąć do ręki. Każda trwa dziesięć minut i używa rzeczy, które masz w domu.

• Zbuduj pudełko z sześcianów: Użyj klocków jednostkowych, klocków łączonych albo kostek cukru. Zbuduj jedną warstwę 4 na 3 sześciany, policz 12, potem dokładaj warstwy i licz co dwanaście. Kostki cukru to jednostka wymyślona na potrzeby zadania, więc wynik jest w kostkach cukru, a nie w cm³.
• Zmierz pudełko płatków: Pudełko o wysokości 30 cm, szerokości 20 cm i głębokości 7 cm mieści 30 × 20 × 7 = 4200 cm³. Zmierz swoje i porównaj z mniejszym pudełkiem ze spiżarni.
• Napełnij pojemnik wodą: Zmierz plastikowy pojemnik na jedzenie, przewidź jego objętość, a potem nalej wody z dzbanka z miarką i odczytaj, ile mililitrów weszło.
• Porównaj dwa pudełka: Zapytaj, które z dwóch pudełek mieści więcej, zanim je zmierzysz. Wysokie, wąskie pudełko często oszukuje oko.

Litry, mililitry i centymetry sześcienne

Litry i centymetry sześcienne mierzą to samo, więc dzbanek z miarką sprawdza obliczenia. Amerykański instytut miar NIST podaje, że 1 cm³ = 1 mililitr (mL), a 1000 cm³ = 1 decymetr sześcienny (dm³), czyli 1 litr.

Pojemnik 10 cm × 10 cm × 10 cm ma 1000 cm³, więc mieści dokładnie 1 litr wody. Akwarium o długości 60 cm, szerokości 30 cm i wysokości 40 cm mieści 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³, czyli 72 litry. Dzieci, które widzą, jak woda z dzbanka wypełnia pudełko, pamiętają tę zamianę dużo dłużej niż regułkę z karty pracy.

Jak sprawdzić postępy z objętością

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy dziecko rozumie objętość, czy powtarza wzór.

• Pytanie o rodzaj: Zapytaj, czy napełnienie basenu, pomalowanie ściany i zapakowanie prezentu to zadania na pole czy na objętość. Napełnienie basenu to objętość; ściana i papier do pakowania to pole.
• Proste pudełko: Daj pudełko 5 na 3 na 2. Objętość to 30 jednostek sześciennych, a dziecko powinno nazwać jednostkę.
• Pytanie o warstwy: Pokaż pudełko 4 na 5 sześcianów z 3 warstwami. Dziecko, które mówi „20 w warstwie, więc 60”, rozumie V = Pp × h.
• Brakująca krawędź: Podaj objętość 60 cm³, długość 5 cm i szerokość 4 cm. Wysokość to 60 : 20 = 3 cm.
• Zamiana jednostek: Zapytaj, ile litrów mieści pudełko 20 cm × 10 cm × 10 cm. Objętość to 2000 cm³, czyli 2 litry.

Pięciominutowy test przy kuchennym stole

Pięciominutowy test z objętości miesza trzy rodzaje pytań: jedno pudełko do obliczenia, jedną brakującą krawędź i jedną zamianę na litry. Poproś dziecko, żeby przed mnożeniem powiedziało na głos „warstwa, potem wysokość”.

Dziecko, które zna metodę, ale zatrzymuje się na 6 × 4 albo 24 × 3, potrzebuje bardziej tabliczki mnożenia niż geometrii. Gra w tabliczkę mnożenia ćwiczy te działania w przeglądarce, a gra matematyczna dla 5 klasy obejmuje rachunki z klasy 5, na których opiera się każde zadanie z objętości.

Zagraj za darmo w przeglądarceTabliczka mnożeniaKlasa 3+

Typowe błędy i przypadki szczególne przy objętości

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników przy objętości, a każdy ma krótkie lekarstwo.

• Dodawanie krawędzi: Pudełko 6 × 4 × 3 dostaje 13 zamiast 72. Przed obliczeniami zapytaj „ile jest w jednej warstwie?”.
• Jednostki pola: Wynik 72 cm² opisuje płaską figurę. Objętość zawsze ma jednostki sześcienne: cm³, dm³ albo m³.
• Mieszanie jednostek: Skrzynia 1 m na 20 cm na 10 cm to 100 × 20 × 10 = 20 000 cm³, czyli 20 litrów. Zamień każdą krawędź przed mnożeniem.
• Pominięcie części bryły złożonej: Bryła w kształcie litery L to dwa prostopadłościany. Standard 5.MD.C.5c prosi dzieci, żeby obliczały objętość brył złożonych z dwóch prostopadłościanów przez dodanie objętości części. Stopień 5 × 3 × 2 = 30 sześcianów obok bloku 2 × 3 × 4 = 24 sześciany daje 30 + 24 = 54 sześciany.

Przypadek szczególny: podwojenie krawędzi mnoży objętość przez 8

Podwojenie każdej krawędzi pudełka mnoży jego objętość przez 8, bo dwójka pojawia się trzy razy: 2 × 2 × 2 = 8. Pudełko 3 na 1 na 2 mieści 6 sześcianów, a pudełko 6 na 2 na 4 mieści 48 sześcianów, czyli 8 razy więcej.

Pole rośnie 4 razy, gdy boki się podwajają, a objętość rośnie 8 razy. Pudełko 2 × 3 × 4 = 24 staje się 4 × 6 × 8 = 192, a 192 : 24 = 8. Ta sama zasada działa dla garnka: dwa razy szerszy i dwa razy wyższy to 8 razy więcej zupy.

Twoja lista kontrolna objętości i następne kroki

• Trzy krawędzie: zmierz długość, szerokość i wysokość każdego pudełka.
• Jedna jednostka: zamień każdą krawędź na tę samą jednostkę przed mnożeniem.
• Warstwa, potem wysokość: oblicz pole podstawy, potem pomnóż przez liczbę warstw.
• Jednostki sześcienne: przy każdym wyniku zapisz cm³, dm³ albo m³.
• Litry: podziel cm³ przez 1000, żeby dostać litry, i sprawdź dzbankiem z miarką.
• Bryły złożone: podziel bryłę w kształcie litery L na dwa prostopadłościany i dodaj objętości.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami, które utrwalają tabliczkę mnożenia potrzebną w każdym zadaniu z objętości. Dzieci mogą też wyzwać od 1 do 4 przyjaciół albo członków rodziny na matematyczne pojedynki na żywo, w dowolnym z 33 języków.