Hoe bereken je de inhoud van een figuur?

Inhoud is de ruimte binnen een ruimtefiguur, gemeten in kubieke eenheden. De inhoud van een balk bereken je met lengte × breedte × hoogte: een doos van 6 cm lang, 4 cm breed en 3 cm hoog heeft een inhoud van 6 × 4 × 3 = 72 cm³. Bij een kubus is het ribbe × ribbe × ribbe, en bij een cilinder π × straal × straal × hoogte.

Hoe bereken je de inhoud van een cilinder?

De inhoud van een cilinder bereken je met I = π × r × r × h, waarbij r de straal van de cirkel aan het uiteinde is en h de hoogte. Bereken eerst de oppervlakte van de cirkel en vermenigvuldig die met de hoogte. Een blik met een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm heeft ongeveer 3,14 × 3 × 3 × 10 = 282,6 cm³.

Wat is de inhoud van een kubus?

De inhoud van een kubus is de ribbe drie keer met zichzelf vermenigvuldigd, geschreven als I = r³. Een kubus met ribben van 5 cm heeft een inhoud van 5 × 5 × 5 = 125 cm³, en een kubus met ribben van 3 dm heeft een inhoud van 27 dm³, dus precies 27 liter.

Wat is het verschil tussen oppervlakte en inhoud?

Oppervlakte meet hoeveel plat vlak een figuur bedekt, en inhoud meet hoeveel ruimte een ruimtefiguur inneemt. Oppervlakte telt vierkantjes en gebruikt vierkante eenheden zoals cm², inhoud telt kubusjes en gebruikt kubieke eenheden zoals cm³. De bodem van een pak hagelslag heeft een oppervlakte; het hele pak heeft een inhoud.

Hoe bereken je de inhoud met ribben die een breuk zijn?

De inhoud met ribben die een breuk zijn, bereken je met dezelfde formule, lengte × breedte × hoogte. Een kist van 1/2 m bij 3 m bij 4 m heeft een inhoud van 1/2 × 3 × 4 = 6 m³. Common Core-standaard 6.G.A.2 controleert dit door de kist te vullen met kubusjes met ribben van 1/2: 48 stuks van elk 1/8 m³ maken ook 6 m³.

Hoe bereken je de inhoud in liters?

De inhoud in liters vind je door in centimeters te meten, te vermenigvuldigen tot kubieke centimeters en door 1000 te delen, want 1 liter is 1000 cm³. Een aquarium van 60 cm lang, 30 cm breed en 40 cm hoog heeft 60 × 30 × 40 = 72.000 cm³, en dat is 72 liter. Meet je in decimeters, dan is elke dm³ meteen een liter.

Inhoud berekenen: balk, kubus en cilinder

Je kind in groep 7 vult een verhuisdoos met speelgoedblokken en vraagt hoeveel er passen. Die vraag gaat over inhoud, en het antwoord komt uit drie metingen en twee keer vermenigvuldigen. Inhoud berekenen begint met een doos en een stapel kleine kubusjes, en aan het eind van de basisschool kunnen de meeste kinderen de inhoud van een balk uit alleen een tekening berekenen.

Wat is inhoud?

Inhoud is de hoeveelheid ruimte binnen een ruimtefiguur. OpenStax Prealgebra noemt de ruimte binnen een krat "het volume, een kubieke maat", en die krat is een goed model voor elke doos in je keuken. Op de Nederlandse basisschool heet het inhoud: de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO gebruiken "alleen het begrip inhoud", en volume hoort bij het leergebied mens en natuur.

Een pak hagelslag, een aquarium en een schoenendoos hebben allemaal een inhoud, want elk heeft een lengte, een breedte en een hoogte. Een vel papier heeft een oppervlakte maar bijna geen inhoud, omdat het bijna geen hoogte heeft. De gids over oppervlakte en omtrek behandelt de platte maten; inhoud voegt de derde richting toe.

Waarom inhoud kubieke eenheden gebruikt

Inhoud gebruikt kubieke eenheden omdat je telt hoeveel kleine kubusjes een figuur vullen. De Common Core-standaard 5.MD.C.3 zegt dat "een kubus met ribben van 1 eenheid, een 'eenheidskubus', een inhoud heeft van 'één kubieke eenheid'", en dat een figuur die "zonder gaten of overlap gevuld is met n eenheidskubussen een inhoud heeft van n kubieke eenheden".

Een kubus van 1 cm aan elke kant is één kubieke centimeter, geschreven als 1 cm³. Oppervlakte telt vierkantjes (cm²), inhoud telt kubusjes (cm³). Het kleine 3'tje betekent dat er drie lengtes vermenigvuldigd zijn, en de gids over machten legt uit waarom "tot de derde macht" en het kleine 3'tje hetzelfde betekenen.

Standaard 5.MD.C.4 vraagt kinderen "inhoud te meten door eenheidskubussen te tellen, in kubieke cm, kubieke inch, kubieke voet en zelfbedachte eenheden", dus de eerste lessen zijn tellen met echte blokjes.

De inhoud van een balk berekenen, stap voor stap

De inhoud van een balk is lengte × breedte × hoogte, geschreven als I = l × b × h. Standaard 5.MD.C.5b vraagt kinderen "de formules V = l × w × h en V = b × h toe te passen voor balken", waarbij b de oppervlakte van het grondvlak is. Neem een doos van 6 cm lang, 4 cm breed en 3 cm hoog.

Meet de drie ribben. Schrijf de lengte (6 cm), de breedte (4 cm) en de hoogte (3 cm) op. Elke ribbe mag de lengte zijn; het antwoord blijft hetzelfde.
Zet elke ribbe in dezelfde eenheid. Een doos van 2 m lang en 50 cm breed vraagt eerst 200 cm en 50 cm voordat je vermenigvuldigt.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak. Vermenigvuldig lengte × breedte: 6 × 4 = 24 cm². Zoveel kubusjes bedekken de bodem van de doos in één laag.
Vermenigvuldig met de hoogte. Drie lagen van 24 kubusjes geven 24 × 3 = 72. Dit is de formule I = G × h, grondvlak × hoogte.
Controleer in een andere volgorde. Reken eerst 4 × 3 = 12, dan 12 × 6 = 72. Het product verandert niet, en dat is de schakeleigenschap die standaard 5.MD.C.5a noemt.
Schrijf het antwoord in kubieke eenheden. De inhoud is 72 cm³, of 72 kubieke centimeter.

Een balk van 6 kubusjes lang, 4 kubusjes breed en 3 kubusjes hoog, met elk van de drie lagen in een andere kleur, en 6 × 4 = 24 en 24 × 3 = 72.

Grotere dozen gaan met dezelfde stappen, alleen met grotere sommen. Een verhuisdoos van 50 cm lang, 40 cm breed en 40 cm hoog heeft een inhoud van 50 × 40 × 40 = 80.000 cm³, en dat is 80 liter. De gids over cijferend vermenigvuldigen uitleggen helpt als de ribben twee cijfers krijgen.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 7Werkblad · PDF

Waar het misgaat

Het meest gegeven foute antwoord telt de ribben op in plaats van ze te vermenigvuldigen. Een kind dat 6 + 4 + 3 = 13 schrijft, heeft een lengte gevonden, en een doos waar 13 kubusjes in passen, zou veel kleiner zijn dan de tekening. Vraag "hoeveel kubusjes in één laag, en hoeveel lagen?" en het vermenigvuldigen volgt vanzelf.

De tweede fout is eenheden door elkaar gebruiken. Een bak van 2 m lang, 50 cm breed en 40 cm hoog is 200 × 50 × 40 = 400.000 cm³, en dat is 400 liter. Reken je 2 × 50 × 40 = 4000, dan krijg je een getal zonder eenheid.

Inhoud berekenen van andere figuren: de formules naast elkaar

De inhoud van andere ruimtefiguren bereken je met hetzelfde idee als bij de doos: zoek de oppervlakte van het grondvlak en vermenigvuldig met de hoogte. OpenStax geeft de kubus als I = r³, de cilinder als I = π r² h of I = G h, de kegel als een derde van een cilinder en de bol als I = 4/3 π r³.

Figuur	Formule	Uitgewerkt voorbeeld	In de VS (Common Core)
Balk	I = l × b × h, of I = G × h	6 × 4 × 3 = 72 cm³	Grade 5, ongeveer groep 7 (5.MD.C.5b)
Kubus	I = r × r × r = r³	5 × 5 × 5 = 125 cm³	Grade 5 met hele getallen; r³ in grade 6 (6.EE.A.2c)
Driezijdig prisma	I = (oppervlakte driehoek) × lengte	(4 × 3 : 2) × 10 = 6 × 10 = 60 cm³	Grade 7, ongeveer de brugklas (7.G.B.6)
Cilinder	I = π × r² × h	3,14 × 3 × 3 × 10 = 282,6 cm³	Grade 8 (8.G.C.9)
Kegel	I = π × r² × h : 3	282,6 : 3 = 94,2 cm³	Grade 8 (8.G.C.9)
Bol	I = 4/3 × π × r³	4/3 × 3,14 × 27 = 113,04 cm³	Grade 8 (8.G.C.9)

De cilinder en de kegel in de tabel hebben allebei een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm, dus de kegel bevat een derde van wat de cilinder bevat. De waarden gebruiken π ≈ 3,14, dus elk antwoord ligt dicht bij de exacte waarde. De gids over kommagetallen vermenigvuldigen en delen behandelt de stap 3,14 × 90.

Welke inhoudsformule je kind in welk leerjaar nodig heeft

Welke inhoudsformule een kind nodig heeft, hangt af van het leerjaar. In Nederland noemt de uitwerking van kerndoel 33 bij SLO voor groep 7 en 8 de "kubieke maten" dm³, cm³ en m³ en de inhoud van een balk als "lengte x breedte x hoogte". In de VS komen balken met hele ribben in grade 5 (5.MD.C.5), en grade 6 gaat verder met ribben die een breuk zijn: standaard 6.G.A.2 vraagt kinderen "de inhoud te vinden van een rechte balk met ribben die een breuk zijn".

Grade 7 voegt andere rechte prisma's toe (7.G.B.6), en grade 8 vraagt leerlingen "de formules te kennen voor de inhoud van kegels, cilinders en bollen" (8.G.C.9).

Een kind in groep 7 heeft π nog niet nodig. Het overzicht van wat je kind per leerjaar moet kunnen laat zien waar inhoud staat naast breuken en kommagetallen.

Inhoud aan de keukentafel

Proefjes met inhoud aan de keukentafel maken van de formule iets wat een kind kan vastpakken. Elk proefje duurt tien minuten en gebruikt spullen die je al hebt.

Bouw de doos uit kubusjes: Gebruik MAB-blokjes, insteekblokjes of suikerklontjes. Bouw één laag van 4 bij 3 kubusjes, tel 12, stapel dan lagen en tel met sprongen van twaalf. Suikerklontjes zijn een "zelfbedachte eenheid" in de woorden van 5.MD.C.4, dus het antwoord is in suikerklontjes, niet in cm³.
Meet een pak hagelslag of cornflakes: Een doos van 30 cm hoog, 20 cm breed en 7 cm diep heeft 30 × 20 × 7 = 4200 cm³. Meet die van jullie en vergelijk met een kleiner pak uit de kast.
Vul een bakje met water: Meet een plastic vershoudbakje op, voorspel de inhoud, schenk er water in vanuit een maatbeker en lees af hoeveel milliliter het kostte.
Vergelijk twee dozen: Vraag welke van twee dozen meer bevat voordat je meet. Een hoge, smalle doos bedriegt vaak het oog.

Liters, milliliters en kubieke centimeters

Liters en kubieke centimeters meten hetzelfde, dus een maatbeker controleert een berekening. Het National Institute of Standards and Technology zegt dat "1 cm3 = 1 milliliter (mL)" en "1000 cm3 = 1 kubieke decimeter (dm3)", en dat is 1 liter. De SLO-uitwerking van kerndoel 33 legt in groep 7 en 8 dezelfde verbanden: "1 cm³ met 1 milliliter, 1 m³ met 1000 liter".

Een bak van 10 cm × 10 cm × 10 cm heeft 1000 cm³, dus er past precies 1 liter water in. Een aquarium van 60 cm lang, 30 cm breed en 40 cm hoog heeft 60 × 30 × 40 = 72.000 cm³, en dat is 72 liter. Kinderen die de maatbeker in de doos zien leeglopen, onthouden de omrekening veel langer dan een regel op een werkblad.

Zo controleer je de vooruitgang met inhoud

Vijf korte vragen laten zien of een kind inhoud begrijpt of een formule herhaalt.

De sorteervraag: Vraag of een zwembad vullen, een muur verven en een cadeau inpakken over oppervlakte of inhoud gaan. Het zwembad vullen is inhoud; de muur en het inpakpapier zijn oppervlakte.
De gewone doos: Geef een doos van 5 bij 3 bij 2. De inhoud is 30 kubieke eenheden, en je kind moet de eenheid noemen.
De lagenvraag: Laat een doos zien van 4 bij 5 kubusjes met 3 lagen. Een kind dat zegt "20 in een laag, dus 60" begrijpt I = G × h.
De ontbrekende ribbe: Geef een inhoud van 60 cm³, een lengte van 5 cm en een breedte van 4 cm. De hoogte is 60 : 20 = 3 cm.
De omrekening: Vraag hoeveel liter er in een doos van 20 cm × 10 cm × 10 cm past. De inhoud is 2000 cm³, en dat is 2 liter.

Een toets van vijf minuten aan de keukentafel

Een toets van vijf minuten mengt drie soorten vragen: één doos om uit te rekenen, één ontbrekende ribbe en één omrekening naar liters. Laat je kind "laag, dan hoogte" hardop zeggen voordat het vermenigvuldigt.

Een kind dat de methode kent maar vastloopt op 6 × 4 of 24 × 3, heeft de tafels harder nodig dan de meetkunde. Het tafelspel oefent die sommen in de browser, en het rekenspel voor groep 7 dekt het rekenwerk waar elke inhoudsopgave op leunt.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij inhoud

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij inhoud, en elke fout heeft een korte oplossing.

De ribben optellen: Een doos van 6 × 4 × 3 krijgt 13 in plaats van 72. Vraag "hoeveel in één laag?" voor je gaat rekenen.
Vierkante eenheden gebruiken: Een antwoord van 72 cm² beschrijft een plat vlak. Inhoud heeft altijd kubieke eenheden: cm³, dm³ of m³.
Eenheden door elkaar: Een doos van 1 m bij 20 cm bij 10 cm is 100 × 20 × 10 = 20.000 cm³, of 20 liter. Reken elke ribbe om voordat je vermenigvuldigt.
Een deel van een samengestelde figuur vergeten: Een L-vormige figuur bestaat uit twee balken. Standaard 5.MD.C.5c vraagt kinderen "de inhoud te vinden van figuren die uit twee niet-overlappende balken bestaan door de inhouden op te tellen". Een trede van 5 × 3 × 2 = 30 kubusjes naast een blok van 2 × 3 × 4 = 24 kubusjes maakt 30 + 24 = 54 kubusjes.

Randgeval: elke ribbe verdubbelen maakt de inhoud 8 keer zo groot

Als je elke ribbe van een doos verdubbelt, wordt de inhoud 8 keer zo groot, want de 2 komt drie keer voor: 2 × 2 × 2 = 8. Een doos van 3 bij 1 bij 2 bevat 6 kubusjes, en een doos van 6 bij 2 bij 4 bevat 48 kubusjes, 8 keer zoveel.

Een kleine doos van 3 bij 1 bij 2 met inhoud 6 naast een doos waarvan elke ribbe verdubbeld is, 6 bij 2 bij 4, met inhoud 48, en 6 × 8 = 48.

De oppervlakte wordt 4 keer zo groot als de zijden verdubbelen, de inhoud 8 keer. Een doos van 2 × 3 × 4 = 24 wordt 4 × 6 × 8 = 192, en 192 : 24 = 8. Dezelfde regel geldt voor een soeppan: twee keer zo breed en twee keer zo hoog betekent 8 keer zoveel soep.

Je checklist voor inhoud en de volgende stappen

Drie ribben: meet de lengte, de breedte en de hoogte van elke doos.
Eén eenheid: reken elke ribbe om naar dezelfde eenheid voordat je vermenigvuldigt.
Laag, dan hoogte: bereken het grondvlak en vermenigvuldig met het aantal lagen.
Kubieke eenheden: zet cm³, dm³ of m³ achter elk antwoord.
Liters: deel cm³ door 1000 voor liters, of reken in dm³, en controleer met een maatbeker.
Samengestelde figuren: splits een L-vormige figuur in twee balken en tel de inhouden op.

Oefen het in de MathIt-app

Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler en een korte dagelijkse oefening die de tafels achter elke inhoudsopgave traint. Kinderen kunnen het ook in live rekenwedstrijden opnemen tegen 1 tot 4 vrienden of familieleden, in elk van 33 talen.

Inhoud berekenen: de inhoud van een balk, een kubus en een cilinder

In het kort