Volum av prisme, kube og sylinder: slik regner du det ut

Barnet ditt på mellomtrinnet pakker en flytteeske med lekeklosser og spør hvor mange som får plass. Det spørsmålet handler om volum, og svaret kommer fra tre mål og to gangestykker. Å lære å regne ut volum starter med en eske og en haug med små terninger, og etter hvert klarer barnet å finne volumet av en eske bare ut fra en tegning.

Hva er volum?

Volum er hvor mye plass det er inni en tredimensjonal figur. OpenStax Prealgebra beskriver plassen inni en kasse som «volumet, et kubikkmål», og den kassen er en god modell for hver eske på kjøkkenet ditt.

En frokostblandingseske, et akvarium og en skoeske har alle volum, fordi hver av dem har lengde, bredde og høyde. Et papirark har areal, men nesten ikke noe volum, fordi det nesten ikke har noen høyde. Guiden om areal og omkrets dekker de flate målene, og volum legger til den tredje retningen.

Hvorfor volum bruker kubikkenheter

Volum bruker kubikkenheter fordi det teller hvor mange små kuber som fyller en figur. Common Core-standarden 5.MD.C.3 sier at «en kube med sidelengde 1 enhet, kalt en enhetskube, har volumet én kubikkenhet», og at en figur som er «fylt uten hull eller overlapp med n enhetskuber, har volumet n kubikkenheter».

En kube med kant 1 cm er én kubikkcentimeter, skrevet 1 cm³. Areal teller kvadrater (cm²), og volum teller kuber (cm³). Det lille hevede 3-tallet betyr at tre lengder er ganget sammen, og guiden om potenser forklarer hvorfor «i tredje» og det hevede 3-tallet betyr det samme.

I Norge skal eleven etter 4. trinn kunne «måle volum i praktiske situasjoner med ikke-standardiserte og standardiserte måleenheter og samtale om resultatene», ifølge kompetansemålene etter 4. trinn i LK20, så de første timene handler om å telle og måle med hendene. Common Core-standarden 5.MD.C.4 ber på samme måte elevene «måle volum ved å telle enhetskuber, med kubikkcentimeter, kubikktommer, kubikkfot og improviserte enheter».

Slik regner du ut volumet av et prisme, steg for steg

Volumet av et rett prisme formet som en eske er lengde × bredde × høyde, skrevet V = l × b × h. Common Core-standarden 5.MD.C.5b ber elevene «bruke formlene V = l × w × h og V = b × h for rette prismer», der b er arealet av grunnflaten. Ta en eske som er 6 cm lang, 4 cm bred og 3 cm høy.

1. Mål de tre kantene. Skriv ned lengden (6 cm), bredden (4 cm) og høyden (3 cm). Hvilken som helst kant kan være lengden, og svaret blir det samme.
2. Gjør alle kantene om til samme enhet. En eske som er 2 m lang og 50 cm bred, trenger 200 cm og 50 cm før du ganger.
3. Finn arealet av grunnflaten. Gang lengde × bredde: 6 × 4 = 24 cm². Så mange terninger dekker bunnen av esken i ett lag.
4. Gang med høyden. Tre lag med 24 terninger blir 24 × 3 = 72. Dette er formelen V = G × h, grunnflate × høyde.
5. Kontroller med en annen rekkefølge. Gang 4 × 3 = 12 først, og så 12 × 6 = 72. Produktet endrer seg ikke, og det er den assosiative loven som standard 5.MD.C.5a nevner.
6. Skriv svaret i kubikkenheter. Volumet er 72 cm³, eller 72 kubikkcentimeter.

Større esker bruker de samme stegene, med større gangestykker. En flytteeske som er 60 cm lang, 40 cm bred og 40 cm høy, rommer 60 × 40 × 40 = 96 000 cm³, altså 96 liter, og guiden om hvordan du lærer bort skriftlig multiplikasjon hjelper når kantene får to sifre.

Gratis utskriftsarkMultiplikasjon — 5.-klassingerArbeidsark · PDF

Delen mange gjør feil

Det vanligste gale svaret legger sammen kantene i stedet for å gange dem. Et barn som skriver 6 + 4 + 3 = 13, har funnet en lengde, og en eske som rommer 13 terninger, ville vært langt mindre enn tegningen. Spør «hvor mange terninger er det i ett lag, og hvor mange lag er det?», så følger gangingen av seg selv.

Den andre feilen er å blande enheter. Et akvarium som er 2 m langt, 50 cm bredt og 40 cm høyt, er 200 × 50 × 40 = 400 000 cm³, som er 400 liter. Å gange 2 × 50 × 40 = 4 000 gir et tall uten noen enhet i det hele tatt.

Slik regner du ut volum for andre figurer: formlene side om side

Volumet av andre tredimensjonale figurer følger den samme ideen som esken: finn arealet av grunnflaten, og gang med høyden. OpenStax gir kuben som V = s³, sylinderen som V = π r² h eller V = G h, kjeglen som en tredjedel av en sylinder og kula som V = 4/3 π r³.

Sylinderen og kjeglen i tabellen har begge radius 3 cm og høyde 10 cm, så kjeglen rommer en tredjedel av det sylinderen rommer. Verdiene bruker π ≈ 3,14, så hvert svar ligger nær den nøyaktige verdien. Guiden om å gange og dele desimaltall dekker steget 3,14 × 90.

Hvilken volumformel barnet ditt trenger på hvilket trinn

Hvilken volumformel et barn trenger, avhenger av trinnet. I Norge skal eleven etter 6. trinn kunne «utforske arealer og volum i praktiske situasjoner og bruke hensiktsmessige måleenheter» (kompetansemålene etter 6. trinn), og etter 9. trinn «bruke og argumentere for formler for overflateareal og volum av tredimensjonale figurer» (kompetansemålene etter 9. trinn).

Amerikanske skoler innfører formlene i en tydelig rekkefølge. Femte skoleår dekker esker med hele tall som kantlengder (5.MD.C.5), og sjette skoleår går videre til brøker: standard 6.G.A.2 ber elevene «finne volumet av et rett prisme med brøker som kantlengder». Sjuende skoleår legger til andre rette prismer (7.G.B.6), og åttende skoleår ber elevene «kunne formlene for volumet av kjegler, sylindre og kuler» (8.G.C.9).

Et barn på mellomtrinnet trenger ikke π ennå. Oversikten over hva barnet skal kunne i matte på hvert trinn viser hvor volum hører hjemme ved siden av brøk og desimaltall.

Aktiviteter med volum ved kjøkkenbordet

Aktiviteter med volum ved kjøkkenbordet gjør formelen om til noe barnet kan holde i hånden. Hver av dem tar ti minutter og bruker ting du allerede har.

• Bygg esken av terninger: Bruk enhetskuber, klosser eller sukkerbiter. Bygg ett lag på 4 × 3 terninger, tell 12, og stable så lag og tell i tolvere. Sukkerbiter er en «improvisert enhet» med ordene i 5.MD.C.4, så svaret blir i sukkerbiter, ikke i cm³.
• Mål en frokostblandingseske: En eske som er 30 cm høy, 20 cm bred og 7 cm dyp, rommer 30 × 20 × 7 = 4 200 cm³. Mål din egen og sammenlign med en mindre eske fra skapet.
• Fyll en beholder med vann: Mål en matboks i plast, gjett volumet og hell så vann i fra en målekanne og les av hvor mange milliliter det gikk med.
• Sammenlign to esker: Spør hvilken av to esker som rommer mest, før dere måler. En høy, smal eske lurer ofte øyet.

Liter, milliliter og kubikkcentimeter

Liter og kubikkcentimeter måler det samme, så en målekanne kan kontrollere en utregning. National Institute of Standards and Technology skriver at «1 cm3 = 1 milliliter (mL)» og «1000 cm3 = 1 kubikkdesimeter (dm3)», som er 1 liter.

En beholder på 10 cm × 10 cm × 10 cm rommer 1 000 cm³, så den rommer nøyaktig 1 liter vann. Et akvarium som er 60 cm langt, 30 cm bredt og 40 cm høyt, rommer 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³, som er 72 liter. Barn som ser kannen tømmes i esken, husker sammenhengen mye lenger enn en regel på et oppgaveark.

Slik sjekker du framgangen med volum

Fem korte spørsmål viser om et barn forstår volum eller bare gjentar en formel.

• Sorteringsspørsmålet: Spør om det å fylle et basseng, male en vegg og pakke inn en gave er jobber for areal eller volum. Å fylle bassenget er volum, og veggen og gavepapiret er areal.
• Den enkle esken: Gi en eske på 5 × 3 × 2. Volumet er 30 kubikkenheter, og barnet bør si enheten.
• Lagspørsmålet: Vis en eske på 4 × 5 terninger med 3 lag. Et barn som sier «20 i hvert lag, så 60», forstår V = G × h.
• Kanten som mangler: Gi volumet 60 cm³, lengden 5 cm og bredden 4 cm. Høyden er 60 : 20 = 3 cm.
• Omgjøringen: Spør hvor mange liter en eske på 20 cm × 10 cm × 10 cm rommer. Volumet er 2 000 cm³, som er 2 liter.

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet

En volumtest på fem minutter blander tre typer spørsmål: én eske å regne ut, én kant som mangler og én omgjøring til liter. Be barnet si «lag, så høyde» høyt før det ganger.

Et barn som kan metoden, men stopper opp ved 6 × 4 eller 24 × 3, trenger gangefaktaene mer enn geometrien. Gangetabellspillet driller de faktaene i nettleseren, og mattespillet for 5. trinn dekker tallarbeidet som hver volumoppgave lener seg på.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

Vanlige feil med volum og spesialtilfeller

Fire feil står bak de fleste gale svarene med volum, og hver av dem har en kort løsning.

• Å legge sammen kantene: En eske på 6 × 4 × 3 får 13 i stedet for 72. Spør «hvor mange er det i ett lag?» før du regner noe.
• Å bruke arealenheter: Svaret 72 cm² beskriver en flat figur. Volum bruker alltid kubikkenheter: cm³, dm³ eller m³.
• Å blande enheter: En eske på 1 m × 20 cm × 10 cm er 100 × 20 × 10 = 20 000 cm³, eller 20 liter. Gjør om hver kant før du ganger.
• Å glemme en del av en sammensatt figur: En L-formet figur er to esker. Standard 5.MD.C.5c ber elevene «finne volumet av figurer satt sammen av to rette prismer som ikke overlapper, ved å legge sammen volumene av delene». Et trinn på 5 × 3 × 2 = 30 terninger ved siden av en kloss på 2 × 3 × 4 = 24 terninger blir 30 + 24 = 54 terninger.

Spesialtilfelle: dobler du hver kant, blir volumet 8 ganger så stort

Dobler du hver kant i en eske, blir volumet 8 ganger så stort, fordi 2-tallet kommer tre ganger: 2 × 2 × 2 = 8. En eske på 3 × 1 × 2 rommer 6 terninger, og en eske på 6 × 2 × 4 rommer 48 terninger, som er 8 ganger så mange.

Arealet blir 4 ganger så stort når sidene dobles, og volumet blir 8 ganger så stort. En eske på 2 × 3 × 4 = 24 blir 4 × 6 × 8 = 192, og 192 : 24 = 8. Den samme regelen gjelder for en kasserolle: dobbelt så bred og dobbelt så høy betyr 8 ganger så mye suppe.

Sjekklisten din for volum, og neste steg

• Tre kanter: mål lengden, bredden og høyden på hver eske.
• Én enhet: gjør om hver kant til samme enhet før du ganger.
• Lag, så høyde: finn arealet av grunnflaten, og gang med antall lag.
• Kubikkenheter: skriv cm³, dm³ eller m³ på hvert svar.
• Liter: del cm³ på 1 000 for å få liter, og kontroller med en målekanne.
• Sammensatte figurer: del en L-formet figur i to esker og legg sammen volumene.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving som bygger gangefaktaene bak hver volumoppgave. Barn kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.