体積の求め方：直方体の体積から円柱・角柱の公式まで

引っこしの段ボール箱に積み木をつめながら、小5のお子さんが「何個入るかな」と聞いてきました。これが体積の問題で、答えは3つの長さと2回のかけ算で出ます。体積の求め方は箱と小さな立方体から始まり、小5の終わりには、たいていの子どもが図を見るだけで直方体の体積を求められるようになります。

体積とは？

体積は、立体の中にある空間の大きさです。OpenStaxの初等代数は木箱の中の空間を「体積、立方の量」と説明していて、この木箱は台所にあるどの箱のモデルにもなります。

シリアルの箱、水そう、くつの箱には、どれもたて・横・高さがあるので体積があります。紙1枚には面積がありますが、高さがほとんどないので体積はほとんどありません。平らな図形の測り方は面積と周りの長さの解説にあり、体積は3つ目の向きを加えたものです。

体積に立方の単位を使う理由

体積に立方の単位を使うのは、小さな立方体がいくつで立体がいっぱいになるかを数えるからです。日本では体積を小5で学び、小学校学習指導要領は第5学年で「体積の単位（立方センチメートル（cm3），立方メートル（m3））」と「立方体及び直方体の体積の計算による求め方」を理解することを求めています。アメリカの州共通基礎スタンダード 5.MD.C.3も、1辺が1の立方体を「単位立方体」と呼び、すき間なくn個つめた立体の体積をn立方単位としています。

1辺1 cmの立方体の体積が1立方センチメートルで、1 cm³と書きます。面積は正方形（cm²）を数え、体積は立方体（cm³）を数えます。右上の小さな3は長さを3回かけたという意味で、累乗（指数）の解説では「3乗」と右上の3が同じ意味であることを説明しています。

アメリカのスタンダード5.MD.C.4は、cm³などの単位や「その場で決めた単位」で立方体を数えて体積を測ることを求めていて、最初の授業は手を動かして数えることから始まります。

直方体の体積の求め方を順番に

直方体の体積は「たて × 横 × 高さ」で求めます。底面積を使って「底面積 × 高さ」とも表せます。たて6 cm、横4 cm、高さ3 cmの箱で考えましょう。

1. 3つの辺の長さを測る。 たて（6 cm）、横（4 cm）、高さ（3 cm）を書きます。どの辺をたてにしても、答えは変わりません。
2. すべての長さを同じ単位にそろえる。 たて2 m、横50 cmの箱なら、かける前に200 cmと50 cmにします。
3. 底面積を求める。 たて × 横で6 × 4 = 24 cm²です。これが、箱の底に1段しきつめた立方体の数です。
4. 高さをかける。 24個の段が3段で24 × 3 = 72です。これが「底面積 × 高さ」の公式です。
5. ちがう順番で確かめる。 先に4 × 3 = 12、次に12 × 6 = 72とします。積は変わらず、これはアメリカのスタンダード5.MD.C.5aにも出てくる結合法則です。
6. 答えを立方の単位で書く。 体積は72 cm³、つまり72立方センチメートルです。

大きな箱も同じ手順で、かけ算が大きくなるだけです。たて40 cm、横30 cm、高さ30 cmの引っこし用の箱は40 × 30 × 30 = 36,000 cm³で、36 Lです。辺が2けたになったら、筆算のかけ算の教え方が役に立ちます。

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つまずきやすいところ

いちばん多い間違いは、辺の長さをかけずにたしてしまうことです。6 + 4 + 3 = 13と書いた子どもは長さを出していて、13個しか入らない箱は図よりずっと小さくなります。「1段に何個？　それが何段？」と聞けば、かけ算が出てきます。

2つ目の間違いは単位をまぜることです。たて2 m、横50 cm、高さ40 cmの水そうは200 × 50 × 40 = 400,000 cm³で、400 Lです。2 × 50 × 40 = 4,000としても、単位のない数になってしまいます。

いろいろな立体の体積の求め方：公式をくらべる

ほかの立体の体積の求め方も、箱と同じ考え方です。底面積を出して、高さをかけます。OpenStaxは立方体をV = s³、円柱をV = πr²hまたはV = Bh、円すいを円柱の3分の1、球をV = 4/3 πr³としています。

表の円柱と円すいは、どちらも半径3 cm、高さ10 cmなので、円すいには円柱の3分の1が入ります。円周率を3.14として計算しているので、答えは正確な値に近い数です。3.14 × 90のような計算は、小数のかけ算とわり算の解説が役に立ちます。

何年生でどの体積の公式を学ぶか

お子さんに必要な体積の公式は学年で決まり、日本では順番がはっきりしています。小5で直方体と立方体、小6で角柱と円柱を学び、学習指導要領は第6学年で「基本的な角柱及び円柱の体積の計算による求め方」を理解することを求めています。円周率は3.14を使います。

中1では、学習指導要領が「基本的な柱体や錐体，球の表面積と体積を求めること」をあげていて、円すいや球が加わり、円周率もπの文字で表すようになります。アメリカでは5年生で直方体、6年生で辺が分数の直方体（スタンダード 6.G.A.2）、8年生で円すい・円柱・球と進みます。

小5のお子さんには、まだ円周率は必要ありません。体積が分数や小数とどう並んでいるかは、学年ごとに身につけたい算数で確かめられます。

家でできる体積の活動

台所でできる体積の活動は、公式を手でさわれるものに変えてくれます。どれも10分ほどで、家にあるもので始められます。

• 立方体で箱を作る： 算数セットの立方体やブロック、角砂糖を使います。4個 × 3個で1段作って12個と数え、段を重ねて12ずつ数えます。角砂糖で測ったときの答えは「角砂糖何個分」で、cm³ではありません。
• お菓子の箱を測る： 高さ30 cm、横20 cm、おく行き7 cmの箱は30 × 20 × 7 = 4,200 cm³です。家の箱を測って、もっと小さい箱とくらべます。
• 入れ物に水を入れる： 保存容器を測って体積を予想し、計量カップから水を入れて何mL入ったかを読みます。
• 2つの箱をくらべる： 測る前に、どちらの箱が多く入るかを聞きます。細長くて背の高い箱は、目をだましがちです。

L、mL、cm³の関係

リットルと立方センチメートルは同じものを測っているので、計量カップで計算を確かめられます。アメリカ国立標準技術研究所（NIST）は「1 cm³ = 1ミリリットル（mL）」、「1000 cm³ = 1立方デシメートル（dm³）」と書いていて、1 dm³は1 Lです。

10 cm × 10 cm × 10 cmの入れ物は1,000 cm³なので、ちょうど1 Lの水が入ります。たて60 cm、横30 cm、高さ40 cmの水そうは60 × 30 × 40 = 72,000 cm³で、72 Lです。計量カップの水が箱に移るのを見た子どもは、プリントのきまりよりずっと長くこの関係を覚えています。

体積が身についたかを確かめるには

5つの短い問いで、お子さんが体積を分かっているのか、公式をくり返しているだけなのかが分かります。

• 仲間分け： プールに水を入れる、かべをぬる、プレゼントを包むのは、面積と体積のどちらの仕事かを聞きます。プールは体積、かべと包み紙は面積です。
• 基本の箱： 5 × 3 × 2の箱を出します。体積は30で、単位も言えるかを見ます。
• 段の問い： 1段が4個 × 5個で3段の箱を見せます。「1段に20個だから60個」と言えれば、底面積 × 高さが分かっています。
• 足りない辺： 体積60 cm³、たて5 cm、横4 cmの箱の高さを聞きます。60 ÷ 20 = 3 cmです。
• 単位の変換： 20 cm × 10 cm × 10 cmの箱に何L入るかを聞きます。2,000 cm³なので2 Lです。

家でできる5分の確認

5分の確認では、箱の計算を1問、足りない辺を1問、Lへの変換を1問まぜます。かける前に「1段、それから高さ」と声に出してもらいましょう。

やり方は分かっているのに6 × 4や24 × 3で止まる子どもには、図形よりかけ算の練習が必要です。九九のゲームはブラウザでその練習ができ、5年生向けの算数ゲームは体積の問題を支える小5の計算をカバーしています。

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体積でよくある間違いとまぎらわしい場合

体積の誤答のほとんどは4つの間違いから来ていて、どれも短く直せます。

• 辺の長さをたす： 6 × 4 × 3の箱が72ではなく13になります。計算の前に「1段に何個？」と聞きます。
• 面積の単位を使う： 72 cm²は平らな図形の大きさです。体積にはいつもcm³やm³のような立方の単位を使います。
• 単位をまぜる： 1 m × 20 cm × 10 cmの箱は100 × 20 × 10 = 20,000 cm³で、20 Lです。かける前にすべての辺の単位をそろえます。
• 組み合わせた形の一部を忘れる： L字形の立体は2つの直方体です。5 × 3 × 2 = 30個の段と、そのとなりの2 × 3 × 4 = 24個のブロックを合わせて、30 + 24 = 54個になります。大きな直方体から欠けた部分を引いて求めることもできます。

まぎらわしい場合：すべての辺を2倍にすると体積は8倍

箱のすべての辺を2倍にすると、2が3回かかるので体積は2 × 2 × 2 = 8倍になります。3 × 1 × 2の箱には6個、6 × 2 × 4の箱には48個の立方体が入り、ちょうど8倍です。

辺を2倍にすると面積は4倍、体積は8倍になります。2 × 3 × 4 = 24の箱は4 × 6 × 8 = 192になり、192 ÷ 24 = 8です。なべも同じで、はばも高さも2倍なら、スープは8倍入ります。

体積のチェックリストと次の一歩

• 3つの長さ： どの箱もたて・横・高さを測る。
• 単位をそろえる： かける前にすべての長さを同じ単位にする。
• 1段、それから高さ： 底面積を出して、段の数をかける。
• 立方の単位： 答えにはcm³やm³を書く。
• リットル： cm³を1,000でわってLにし、計量カップで確かめる。
• 組み合わせた形： L字形の立体は2つの箱に分けて、体積をたす。

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