Como calcular o volume: paralelepípedo, cubo e cilindro

Seu filho do 5º ano está enchendo uma caixa de mudança com blocos de brinquedo e pergunta quantos vão caber. Essa pergunta é sobre volume, e a resposta sai de três medidas e duas multiplicações. Aprender a calcular volume começa com uma caixa e um monte de cubinhos: no 5º ano a criança mede o volume empilhando cubos, e no 7º ano já calcula o volume de um bloco retangular só pelo desenho.

O que é volume?

Volume é a quantidade de espaço dentro de um sólido. O OpenStax Prealgebra chama o espaço dentro de um caixote de volume, uma medida cúbica, e esse caixote é um bom modelo para qualquer caixa da sua cozinha.

Uma caixa de cereal, um aquário e uma caixa de sapatos têm volume, porque cada um tem comprimento, largura e altura. Uma folha de papel tem área, mas quase nenhum volume, porque quase não tem altura. O guia de área e perímetro trata das medidas planas; o volume acrescenta a terceira direção.

Por que o volume usa unidades cúbicas

O volume usa unidades cúbicas porque conta quantos cubinhos enchem um sólido. O padrão 5.MD.C.3 do Common Core diz que um cubo com aresta de 1 unidade, chamado cubo unitário, tem uma unidade cúbica de volume, e que um sólido preenchido sem espaços nem sobreposições por n cubos unitários tem volume de n unidades cúbicas.

Um cubo com 1 cm de aresta é um centímetro cúbico, escrito 1 cm³. A área conta quadrados (cm²) e o volume conta cubos (cm³). O 3 pequeno no alto quer dizer que três medidas foram multiplicadas, e o guia de potenciação explica por que "ao cubo" e o 3 no alto querem dizer a mesma coisa.

No Brasil, a BNCC pede no 5º ano "reconhecer volume como grandeza associada a sólidos geométricos e medir volumes por meio de empilhamento de cubos, utilizando, preferencialmente, objetos concretos" (EF05MA21), então as primeiras aulas são contagem com as mãos.

Como calcular o volume do paralelepípedo, passo a passo

O volume do paralelepípedo é comprimento × largura × altura, escrito V = c × l × h. A BNCC pede no 7º ano "resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico)" (EF07MA30). A fórmula também se escreve V = B × h, em que B é a área da base. Pegue uma caixa de 6 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura.

1. Meça as três arestas. Anote o comprimento (6 cm), a largura (4 cm) e a altura (3 cm). Qualquer aresta pode ser o comprimento; o resultado não muda.
2. Ponha todas as arestas na mesma unidade. Uma caixa de 2 m de comprimento e 50 cm de largura precisa virar 200 cm e 50 cm antes de multiplicar.
3. Calcule a área da base. Multiplique comprimento × largura: 6 × 4 = 24 cm². É quantos cubinhos cobrem o fundo da caixa numa camada.
4. Multiplique pela altura. Três camadas de 24 cubinhos dão 24 × 3 = 72. Essa é a fórmula V = B × h, área da base × altura.
5. Confira em outra ordem. Multiplique primeiro 4 × 3 = 12 e depois 12 × 6 = 72. O produto não muda: é a propriedade associativa da multiplicação.
6. Escreva a resposta em unidades cúbicas. O volume é 72 cm³, ou 72 centímetros cúbicos.

Caixas maiores seguem os mesmos passos, com multiplicações maiores. Uma caixa de mudança de 50 cm de comprimento, 40 cm de largura e 40 cm de altura tem 50 × 40 × 40 = 80.000 cm³, ou 80 litros, e o guia sobre como ensinar a multiplicação com dois algarismos ajuda quando as arestas passam de um algarismo.

Atividade grátis para imprimirMultiplicação — Alunos do 5.º anoFicha · PDF

O erro mais comum

A resposta errada mais comum soma as arestas em vez de multiplicá-las. A criança que escreve 6 + 4 + 3 = 13 encontrou um comprimento, e uma caixa com 13 cubinhos seria muito menor que a do desenho. Pergunte "quantos cubinhos numa camada, e quantas camadas?" e a multiplicação aparece.

O segundo erro é misturar unidades. Um tanque de 2 m de comprimento, 50 cm de largura e 40 cm de altura tem 200 × 50 × 40 = 400.000 cm³, que são 400 litros. Multiplicar 2 × 50 × 40 = 4.000 dá um número sem unidade nenhuma.

Como calcular o volume de outros sólidos: fórmulas lado a lado

O volume de outros sólidos segue a mesma ideia da caixa: calcule a área da base e multiplique pela altura. O OpenStax dá o cubo como V = a³, o cilindro como V = π r² h ou V = B h, o cone como um terço do cilindro e a esfera como V = 4/3 π r³.

O cilindro e o cone da tabela têm o mesmo raio de 3 cm e a mesma altura de 10 cm, então o cone guarda um terço do que o cilindro guarda. Os valores usam π ≈ 3,14, então cada resposta é próxima do valor exato. O guia de multiplicação e divisão de números decimais explica o passo 3,14 × 90.

Qual fórmula de volume seu filho precisa em cada ano

A fórmula de volume que a criança precisa depende do ano escolar, e a BNCC apresenta as fórmulas numa ordem clara. O 5º ano mede volumes empilhando cubos (EF05MA21). O 6º ano resolve problemas de volume de sólidos formados por blocos retangulares "sem uso de fórmulas" (EF06MA24). O 7º ano calcula o volume de blocos retangulares em m³, dm³ e cm³ (EF07MA30), e o 8º ano liga o litro ao decímetro cúbico (EF08MA20).

O 9º ano chega aos prismas e aos cilindros retos, "inclusive com uso de expressões de cálculo" (EF09MA19). Nos Estados Unidos, o padrão 6.G.A.2 já pede no 6º ano americano o volume de um prisma retangular com arestas fracionárias.

Uma criança do 5º ano ainda não precisa de π. O panorama do que a criança deve saber de matemática em cada ano mostra onde o volume fica ao lado das frações e dos números decimais.

Atividades de volume na mesa da cozinha

As atividades de volume na mesa da cozinha transformam a fórmula em algo que a criança pode segurar. Cada uma leva dez minutos e usa coisas que você já tem em casa.

• Monte a caixa com cubinhos: Use cubinhos do material dourado, blocos de encaixar ou cubos de açúcar. Monte uma camada de 4 cubinhos por 3, conte 12, depois empilhe camadas e conte de 12 em 12. Cubos de açúcar são uma unidade improvisada, então a resposta fica em cubos de açúcar, não em cm³.
• Meça uma caixa de cereal: Uma caixa de 30 cm de altura, 20 cm de largura e 7 cm de profundidade tem 30 × 20 × 7 = 4.200 cm³. Meça a sua e compare com uma caixa menor da despensa.
• Encha um pote com água: Meça um pote plástico de comida, estime o volume e depois despeje água de uma jarra medidora e veja quantos mililitros couberam.
• Compare duas caixas: Pergunte qual de duas caixas cabe mais antes de medir. Uma caixa alta e estreita costuma enganar os olhos.

Litros, mililitros e centímetros cúbicos

Litros e centímetros cúbicos medem a mesma coisa, então uma jarra medidora confere uma conta. O National Institute of Standards and Technology afirma que 1 cm³ = 1 mililitro (mL) e que 1.000 cm³ = 1 decímetro cúbico (dm³), que é 1 litro.

Um pote de 10 cm × 10 cm × 10 cm tem 1.000 cm³, então cabe exatamente 1 litro de água. Um aquário de 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura tem 60 × 30 × 40 = 72.000 cm³, que são 72 litros. A criança que vê a jarra se esvaziar dentro da caixa lembra da conversão por muito mais tempo do que de uma regra numa folha de exercícios.

Como acompanhar o progresso com volume

Cinco perguntas curtas mostram se a criança entende volume ou só repete uma fórmula.

• A pergunta de separar: Pergunte se encher uma piscina, pintar uma parede e embrulhar um presente são tarefas de área ou de volume. Encher a piscina é volume; a parede e o papel de presente são área.
• A caixa básica: Dê uma caixa de 5 por 3 por 2. O volume é 30 unidades cúbicas, e a criança deve dizer a unidade.
• A pergunta das camadas: Mostre uma caixa de 4 cubinhos por 5 com 3 camadas. A criança que diz "20 numa camada, então 60" entende V = B × h.
• A aresta que falta: Dê um volume de 60 cm³, um comprimento de 5 cm e uma largura de 4 cm. A altura é 60 ÷ 20 = 3 cm.
• A conversão: Pergunte quantos litros cabem numa caixa de 20 cm × 10 cm × 10 cm. O volume é 2.000 cm³, que são 2 litros.

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha

Um teste de volume de cinco minutos mistura três tipos de pergunta: uma caixa para calcular, uma aresta que falta e uma conversão para litros. Peça que a criança diga "camada, depois altura" em voz alta antes de multiplicar.

A criança que sabe o método mas trava em 6 × 4 ou 24 × 3 precisa mais da tabuada que da geometria. O jogo da tabuada treina esses fatos no navegador, e o jogo de matemática para o 5º ano cobre os cálculos do 5º ano em que todo problema de volume se apoia.

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Erros comuns de volume e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas de volume, e cada um tem uma correção curta.

• Somar as arestas: Uma caixa de 6 × 4 × 3 recebe 13 em vez de 72. Pergunte "quantos numa camada?" antes de qualquer conta.
• Usar unidades de área: Uma resposta de 72 cm² descreve uma figura plana. O volume sempre usa unidades cúbicas: cm³, dm³ ou m³.
• Misturar unidades: Uma caixa de 1 m por 20 cm por 10 cm tem 100 × 20 × 10 = 20.000 cm³, ou 20 litros. Converta todas as arestas antes de multiplicar.
• Esquecer uma parte de um sólido composto: Um sólido em forma de L são duas caixas. O padrão 5.MD.C.5c do Common Core pede calcular o volume de sólidos formados por dois prismas retangulares sem sobreposição somando os volumes das partes. Um degrau de 5 × 3 × 2 = 30 cubinhos ao lado de um bloco de 2 × 3 × 4 = 24 cubinhos dá 30 + 24 = 54 cubinhos.

Caso especial: dobrar todas as arestas multiplica o volume por 8

Dobrar todas as arestas de uma caixa multiplica o volume por 8, porque o 2 aparece três vezes: 2 × 2 × 2 = 8. Uma caixa de 3 por 1 por 2 tem 6 cubinhos, e uma caixa de 6 por 2 por 4 tem 48 cubinhos, que é 8 vezes mais.

A área cresce 4 vezes quando os lados dobram, e o volume cresce 8 vezes. Uma caixa de 2 × 3 × 4 = 24 vira 4 × 6 × 8 = 192, e 192 ÷ 24 = 8. A mesma regra vale para uma panela: duas vezes mais larga e duas vezes mais alta quer dizer 8 vezes mais sopa.

Sua lista de verificação de volume e próximos passos

• Três arestas: meça o comprimento, a largura e a altura de toda caixa.
• Uma unidade: converta todas as arestas para a mesma unidade antes de multiplicar.
• Camada, depois altura: calcule a área da base e multiplique pelo número de camadas.
• Unidades cúbicas: escreva cm³, dm³ ou m³ em toda resposta.
• Litros: divida os cm³ por 1.000 para obter litros e confira com uma jarra medidora.
• Sólidos compostos: divida um sólido em forma de L em duas caixas e some os volumes.

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