数学里的商是什么？

商是除法算式的得数，所以在 20 ÷ 4 = 5 里，商是 5。被分的数 20 叫被除数，用来除的数 4 叫除数，分不完剩下的叫余数。其他运算的得数也有名字：加法的得数叫和，减法的得数叫差，乘法的得数叫积。

除法的得数叫什么？

除法的得数叫作商。在 35 ÷ 5 = 7 里，商是 7，被除数是 35，除数是 5。除不尽的时候，得到的整数部分仍然叫商，剩下的部分叫余数。

积是乘法的得数还是加法的得数？

积是乘法的得数，从来不是加法的得数。在 6 × 4 = 24 里，积是 24，6 和 4 都是因数。加法的得数叫和，所以 6 + 4 = 10，和是 10。

数学里的差是什么？

数学里的差是减法的得数。在 12 − 4 = 8 里，差是 8。顺序很重要：“12 和 4 的差”表示 12 − 4，先说的数减后说的数，所以孩子要按题目里说的顺序写数。

被除数和除数是什么？

被除数是被分的那个数，除数是用来除的数。在 24 ÷ 4 = 6 里，被除数是 24，除数是 4，商是 6。写成分数 24/4 时，被除数在上面作分子，除数在下面作分母。

除法里的余数是什么？

余数是一个数不能正好平均分完时剩下的部分。23 除以 4，可以分成 5 个 4，用掉 20，还剩 3，所以商是 5，余数是 3。余数总是比除数小。

商是什么？和、差、积、商

孩子的练习单上写着“求 56 和 8 的商”，你一时拿不准是该乘还是该除。商是什么？它和积、和、差有什么不同？作业里这些词，每一个都是一种运算的得数的名字，所以四个都弄清楚以后，大多数题目要求都能变成一个短短的算式。

商是什么？

商是一个数除以另一个数得到的结果。在 20 ÷ 4 = 5 里，商是 5。OpenStax《Prealgebra》说得很直白：看到“商”这个词，就是要做除法。

同一个除法有三种写法：20 ÷ 4，写成分数 20/4，或者列除法竖式。三种写法的商都是 5；写成分数时，被除数在上面，除数在下面。

被除数、除数和余数

被除数是被分的那个数，除数是用来除的数。在 20 ÷ 4 = 5 里，被除数是 20，除数是 4，商是 5。

除不尽的时候会剩下一些，剩下的就是余数。把 23 块饼干分到 4 个盘子里：每盘 5 块，用掉 4 × 5 = 20 块，还剩 3 块。商是 5，余数是 3，因为 23 = 4 × 5 + 3。

23 个圆点分成 5 组蓝色的 4 个，另有一组虚线框住剩下的 3 个，上方是除法 23 ÷ 4，下方用 23 = 4 × 5 + 3 验算。

教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求第一学段（一、二年级）的学生知道除法是乘法的逆运算，能熟练口算表内乘除法；国内常见教材在二年级下学期学除法各部分的名称和有余数的除法。美国的共同核心州立数学标准 4.NBT.B.6 要求四年级学生求被除数最多四位、除数是一位数的整数商和余数。怎么教竖式除法讲了数大时的笔算方法。

为什么作业里的数学词很重要

数学词很重要，因为它们告诉你该用哪种运算、按什么顺序算。孩子把“56 和 8 的商”读成乘法，就会得到 448 而不是 7，哪怕每一步计算都没错。

这些词来得也很早。

美国的标准 3.OA.A.2 要求三年级学生理解整数除以整数的商，比如 56 个东西平均分成 8 份，56 ÷ 8 就是每份有多少。到了六年级，标准 6.EE.A.2b 要求学生用数学术语（和、项、积、因数、商、系数）说出算式的各个部分。各年级应该掌握哪些数学这篇总览，说明了这些技能所处的位置。

为什么“关键词表”会误导孩子

“多就用加”“剩就用减”这样的关键词表，碰到真正的应用题就失灵了。“小美有 12 张贴纸，比小明多 4 张。小明有几张？”题里有“多”，答案却是 12 − 4 = 8。

表示得数的词和这些提示词不一样。和、差、积、商每一个都只对应一种运算，从不例外；而故事里的词要看具体情境。What Works Clearinghouse 的问题解决实践指南建议教师帮助学生认识并说出数学概念和符号，数学应用题怎么解讲了怎样从故事本身去推理。

怎样一步步读懂数学题的要求

一道题的要求，五步就能变成算式，而得数的名称干了大部分的活。

找出得数的名称。 圈出和、差、积或商。每一个都对应一种运算：加、减、乘、除。
找出两个数。 OpenStax 建议看“的”和“和”这两个字：在“56 和 8 的商”里，两个数是 56 和 8。
数的顺序和句子保持一致。 先说的数在算式里也写在前面，所以 56 和 8 的商是 56 ÷ 8，绝不是 8 ÷ 56。
先写算式，再计算。 纸上写出 56 ÷ 8 = ?，老师和你都能看出题目读对了。
计算，再用相反的运算验算。 56 ÷ 8 = 7，用 8 × 7 = 56 来验证。差也一样验算：12 − 4 = 8，因为 8 + 4 = 12。

哪些地方顺序重要，哪些不重要

求差和求商时顺序重要，求和与求积时不重要。8 和 4 的和，怎么算都是 12；6 和 4 的积，怎么算都是 24。

12 和 4 的差是 12 − 4 = 8，而 4 − 12 得 −8。OpenStax 提醒，在“13 和 8 的差”里，数的顺序和短语里一样。中文还有一个特有的陷阱：“除”和“除以”顺序相反。“56 除以 8”是 56 ÷ 8，“8 除 56”也是 56 ÷ 8，读题时要看清是哪一个。

和、差、积、商对比

和、差、积、商是四个表示得数的词，每种运算参与计算的数也各有名字。和来自加数，差来自被减数和减数，积来自因数，商来自被除数和除数。

运算	符号	各部分名称	例子	生活里的说法
加法	+	加数 + 加数 = 和	8 + 4 = 12	“一共”“总共”“合起来”
减法	−	被减数 − 减数 = 差	12 − 4 = 8	“还剩多少”“多多少”
乘法	×	因数 × 因数 = 积	6 × 4 = 24	“几个几”“每个”“几倍”
除法	÷	被除数 ÷ 除数 = 商（……余数）	24 ÷ 4 = 6	“平均分”“每份有几个”