孩子的数学作业变样了：每种新算法各管什么用

什么是美国的共同核心数学？

美国的共同核心数学（Common Core）是一套标准：按年级列出孩子应该理解什么、会做什么。它不是教材，也不是某一种教法。标准文件写得很直白：“本标准不规定课程内容的编排或教学方法。”

这一句话解释了饭桌上的许多困惑。标准只规定孩子在二年级末或四年级末要达到什么；学区选定的教材决定怎么教，数的分与合、十格阵、空白数线都是从教材里来的。国内的情况很像：教育部的《义务教育数学课程标准（2022年版）》按学段写出“内容要求”和“学业要求”，人教版、北师大版、苏教版等教材再各自决定怎么讲。

共同核心在美国也是一下子铺开的。起初只有五个州没有采用，此后不少州审查、修订过，或者给自己的版本改了名字。不管今天叫什么，作业纸上的方法看起来都差不多，而且和国内一年级课本上的凑十法、破十法是同一个思路。

为什么现在的数学和我们小时候学的不一样？

现在的数学不一样，是因为课程先讲清位值，再练快速的笔算。孩子照样要学进位和退位，只是先看明白这些步骤为什么成立，再去用它们。

国内课标把这件事说成“算理”和“算法”：第一学段（一、二年级）的内容要求就是“探索加法和减法的算理与算法”。美国的标准则把理解描述为能够解释“一个数学结论为什么成立，或者一条规则从哪里来”，并且说理解和计算技能“同样重要”。想想满十进一。那个“一”其实是一个十。知道这一点的孩子能自己检查答案；只记得“在上面写个小1”的孩子，数一变大就没有东西可以用来检查。

美国全国数学教师理事会（NCTM）在关于程序性熟练的立场声明里也有类似的主张：熟练意味着“高效、灵活、准确”地使用算法，每个学生都应该学会不止一种方法，才能挑出最适合这道题的那一种。比如98 + 35，灵活的做法是100 + 35 − 2 = 133，根本不用列竖式。

凑十法、数的分与合这些新方法是什么意思？

这些新方法都是把数拆成好算的几块，通常是几个十和几个一，让孩子一步一步看得见计算过程。每一种都对应一种家长早就会的老方法。

表里的年级按美国的安排；国内一年级就学数的分与合和20以内的进位加法、退位减法。

数的分与合。 数的分与合的图，上面一个圈写一个数，下面两个圈写它的两部分。共同核心的幼儿园标准要求孩子把10以内的数用不止一种方式分成两部分，比如5 = 2 + 3，5 = 4 + 1。凑成10的数对最重要，因为后面所有方法都靠它们。玩几轮数的分与合练习，这些数对就能脱口而出。

凑十法和破十法。 凑十法把一道难题变成简单题。8 + 5里，8再要2就是10，所以把5分成2和3：8 + 2 = 10，10 + 3 = 13。美国一年级的标准点名了这个方法，例子几乎一样：8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14。减法里对应的是破十法：13 − 8，把13分成10和3，10 − 8 = 2，2 + 3 = 5。等孩子后来在48 + 35里进一个十，纸上做的就是同一个动作。

空白数线。 空白数线是一条没有刻度的线，上面画出一次次跳跃。算53 − 27，从27出发，往上跳好算的步子：跳3到30，跳20到50，再跳3到53。三次跳跃加起来是3 + 20 + 3 = 26，所以53 − 27 = 26。美国二年级要求孩子在数线图上表示100以内的加减法。美国教育部下属的有效教育策略资料中心（What Works Clearinghouse）为学习吃力的学生编写的实践指南《帮助数学困难的学生》推荐把数线当作学习概念和算法的工具。退位一旦想通，进位加法练习是很好的巩固。

面积模型。 面积模型把乘法画成一个切成几块的长方形。算23 × 14，把23分成20和3，把14分成10和4。四个格子里是20 × 10 = 200、20 × 4 = 80、3 × 10 = 30、3 × 4 = 12，200 + 80 + 30 + 12 = 322。竖着写成一列，这四个数叫部分积。老方法在两行里找到的正是这些块：23 × 4 = 92，23 × 10 = 230，92 + 230 = 322。美国四年级要求孩子用算式、矩形阵列和面积模型解释乘法。

部分商。 部分商让孩子按自己有把握的大块来除。算372 ÷ 6，先拿走50个6（300），剩72；再拿走12个6（72），什么都不剩。答案是50 + 12 = 62，用6 × 62 = 372验算。

共同核心数学禁止列竖式吗？

共同核心数学不禁止竖式，反而在标准里三次点名要求标准算法。美国共同核心数学标准写的是：

• 四年级（4.NBT.B.4）： “用标准算法熟练地进行多位整数的加减法。”
• 五年级（5.NBT.B.5）： “用标准算法熟练地进行多位整数的乘法。”
• 六年级（6.NS.B.2）： “用标准算法熟练地进行多位数的除法。”

所以进位和退位迟早要来，变的只是时间。一到三年级，标准要求“基于位值”的方法，并要求孩子“把方法和书面算法联系起来”。画图是桥，书面算法一旦想明白，图通常就慢慢不画了。国内课标的节奏更快：一、二年级学完时就要“能计算两位数和三位数的加减法”。一个画跳跃的二年级孩子进度正常；一个五年级还没见过加法竖式的孩子，就该去问问老师了。

孩子数学作业看不懂，家长怎么辅导？

最有用的辅导是让孩子把方法讲给您听。把一种方法说出来，正是这份作业在练的本事。

1. 先问，再教。 “老师这道题是怎么做的？”大多数孩子能把半懂的方法讲出来，边讲边就想通了。
2. 找到例题。 作业纸和课本通常先给一道示范题。下一题照着它的格式一步一步写。
3. 换成几个十、几个一。 不管是什么图，都问一句“有几个十，几个一？”这个问题对数的分与合、数线和面积模型都适用。
4. 捷径晚点再教。 如果作业要求画数线，跳过它的捷径只会换来一个叉和一个糊涂的孩子。做完之后再拿您的方法来验算。
5. 写张便条。 两个人都解不开这一页时，给老师写一句“我们卡在空白数线上了”，对下一节课很有用。

正在纸上练进位的二年级孩子，可以用这份二年级加法练习题，附有答案。想看每一年都学些什么，可以读每个年级应该掌握哪些数学。

口算和基本算术事实放在哪里？

口算仍然要练到脱口而出，而且标准给了明确的期限。上面每一种方法，在小数字的得数不用再数的时候都会快得多。

• 美国二年级（2.OA.B.2）： “二年级末，凭记忆知道所有两个一位数的和。”
• 美国三年级（3.OA.C.7）： “三年级末，凭记忆知道所有两个一位数的积。”

这两条都在美国共同核心数学标准里。国内课标把两件事都放在第一学段：二年级学完时要“能熟练口算20以内数的加减法和表内乘除法”，乘法比美国早一年。方法是帮孩子走到这一步的。NCTM的程序性熟练声明建议通过凑十这样的数量关系来教基本算术事实，What Works Clearinghouse的指南《帮助数学困难的学生》则建议，在孩子理解了之后，用经常性的简短限时练习来培养熟练度。

在家里，每天几分钟比周末一次长时间练习更管用。先练凑成10的数对，再练相同数相加，然后是其余的加法。到了学乘法的时候，怎样快速背熟乘法口诀给出了一个顺序，把整张表缩到只剩十句难点。MathIt 是一款免费的 iOS 和 Android 应用，有大约 90 种游戏玩法，难度会自动调整；家长和孩子一起玩的数学游戏能把口算练习变成饭桌上一局简短的双人对战。

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