除法竖式一步一步教：从一位数除数到两位数除数

学除法竖式之前，孩子要会什么？

孩子准备好学除法竖式的标志，是三项本领已经扎实：表内除法、数位和退位减法。一道除法竖式会把这三样反复用上好几遍，所以任何一样有漏洞，看上去都像是竖式没学会。

1. 表内除法。 孩子应该不用数手指就答出 42 ÷ 7 或 56 ÷ 8。美国的共同核心数学标准要求三年级结束时“能背出所有两个一位数的乘积”（3.OA.7），比开始学除法竖式早一年。中国孩子在二年级背九九乘法口诀，道理相同。如果口算还慢，先读怎样快速背会乘法口诀。
2. 数位。 孩子应该知道 952 里的 9 表示 9 个百。数位游戏专练这种读数。
3. 退位减法。 每一轮都以一次减法结束，比如 25 − 21 或 144 − 144，一次借位出错，后面就全错了。

除法竖式的步骤是什么？

除法竖式的步骤是一商、二乘、三减、四比、五落，一直重复到被除数的每一位都用完。很多中国课堂就用这句顺口溜来记。

1. 商：用当前的数除以除数，把整数商写在这一位的上面。
2. 乘：用这一位商乘除数。
3. 减：从当前的数里减去这个积。
4. 比：把减得的数和除数比一比，它必须比除数小。
5. 落：把被除数的下一位落下来，再从第一步开始。

例题：952 ÷ 7

952 ÷ 7 是三位数除以一位数，没有余数。

1. 商：9 ÷ 7 商 1，把 1 写在 9 的上面。
2. 乘：1 × 7 = 7。减：9 − 7 = 2。
3. 落下 5，得到 25。商：25 ÷ 7 商 3，把 3 写在 5 的上面。
4. 乘：3 × 7 = 21。减：25 − 21 = 4。
5. 落下 2，得到 42。商：42 ÷ 7 = 6，把 6 写在 2 的上面。
6. 乘：6 × 7 = 42。减：42 − 42 = 0。没有数位可落了。

答案：952 ÷ 7 = 136。

有余数的除法：745 ÷ 6

745 ÷ 6 最后剩下一个不够除的数，这个数就是余数。

1. 商：7 ÷ 6 商 1。乘：1 × 6 = 6。减：7 − 6 = 1。
2. 落下 4，得到 14。商：14 ÷ 6 商 2。乘：2 × 6 = 12。减：14 − 12 = 2。
3. 落下 5，得到 25。商：25 ÷ 6 商 4。乘：4 × 6 = 24。减：25 − 24 = 1。
4. 没有数位可落了，而 1 比 6 小。

答案：745 ÷ 6 = 124……1，也就是商 124，余数 1。

两位数除法竖式：864 ÷ 24

864 ÷ 24 是除数是两位数的除法，新本领是试商。

1. 第一位 8 比 24 小，所以先看前两位 86。试商：把 24 看作 20，86 ÷ 20 大约是 4。检验：4 × 24 = 96，比 86 大，所以改商 3。
2. 乘：3 × 24 = 72。减：86 − 72 = 14。
3. 落下 4，得到 144。试商：144 ÷ 24 大约是 6。乘：6 × 24 = 144。减：0。

答案：864 ÷ 24 = 36。试商偏大一点很正常，把商改小 1，再乘一次就行。

美国学校教的部分商法是什么？

部分商法（partial quotients）是一种美国学校常用的除法方法：每次从被除数里拿走除数的一个好算的倍数，比如 10 倍、20 倍或 100 倍，最后把拿走的倍数加起来。中国课堂不教这种方法，但在国际学校或英文教材里常会遇到。

美国学校教部分商法，是因为共同核心标准 4.NBT.B.6 要求四年级学生在“被除数最多四位、除数是一位数”时求商和余数，并且“使用基于数位、运算性质和（或）乘除关系的策略”。五年级（5.NBT.B.6）把同样的要求扩展到两位数除数。直到六年级（6.NS.B.2），标准才要求学生“用标准算法熟练地做多位数除法”。在前两年，很多美国学校用的就是部分商法这种基于数位的策略。

部分商法：952 ÷ 7

同一道 952 ÷ 7，用部分商法分三块就能算完。

1. 100 × 7 = 700。减：952 − 700 = 252。在旁边写 100。
2. 30 × 7 = 210。减：252 − 210 = 42。在旁边写 30。
3. 6 × 7 = 42。减：42 − 42 = 0。在旁边写 6。
4. 把旁边的数加起来：100 + 30 + 6 = 136。

谨慎的孩子可以拿小一点的块：先 100，再 20（140，剩 112），再 10（70，剩 42），最后 6。加起来还是 136。块小只是多写几行，所以这种方法适合一动笔就卡住的孩子。

学过竖式的家长不必让孩子换方法。先问清楚班里用的是哪一种，在家就跟着练，等班上的方法稳了，再介绍另一种。

除法竖式的常见错误

除法竖式的错答案大多来自四种错误，每一种都有一个快速的自查办法。

1. 商中间漏写 0。 在 612 ÷ 6 里，孩子先算 6 ÷ 6 商 1，落下 1，发现 1 ÷ 6 不够商，就什么也不写接着往下算，结果得到 12。正确的商是 102：当前的数不够除时，要在这一位上商 0，再落下下一位。自查：12 × 6 = 72，和 612 差得很远。
2. 数位没对齐。 一位商写偏一格，答案就差十倍。用方格纸能让每个数字待在自己的那一列。
3. 余数比除数大。 在 745 ÷ 6 里，如果 14 ÷ 6 商 1，剩下 14 − 6 = 8，而 8 比 6 大。减完剩下的数必须比除数小；不小，就把这一位商改大。
4. 忘了落下一位。 商会少一位。自查：数一数落下了几位，再用估算比较答案的大小，比如 952 ÷ 7 约等于 1000 ÷ 7，略大于 140。

除法竖式怎么验算？

除法竖式的验算方法是用商乘除数，再加上余数：结果必须等于被除数。

验算让孩子不用大人帮忙，也能自己找出漏写 0 的错误。别的国家的课程也要求同样的习惯：英格兰的数学国家课程要求六年级（Year 6）学生“用长除法的正式笔算方法”把最多四位的数除以两位数，并且“把余数解释为整数余数、分数或通过四舍五入处理”。中国的《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“探索并掌握多位数的乘除法”放在第二学段（三、四年级），学业要求是“能计算两位数乘除三位数”。

每天 15 分钟的练习方法

每天一段短练习，比周末一口气练很久更能把除法竖式练熟。

1. 五分钟表内除法。 口算快了，注意力才能留给竖式的步骤。美国有效教育策略资料中心（What Works Clearinghouse）关于帮助数学学习困难学生的实践指南建议教师“定期安排限时活动，作为培养数学流畅性的一种方式”。除法口算游戏和四年级除法游戏可以完成这一部分。
2. 两道例题，边写边说。 孩子每写一步就说出这一步的名字（商、乘、减、比、落）。其中一道要有商中间的 0，比如 612 ÷ 6 或 824 ÷ 4 = 206。
3. 三道独立题，每道都验算。 可打印的四年级除法练习题附有答案；五年级除法练习题换成了更大的数。
4. 一分钟看错题。 把每个错误开始的那一步圈出来；同一步错两次，就是明天要练的内容。

三位数除以一位数能算对、验算也干净之后，再从一位数除数换到两位数除数。每个年级该学哪些数学这篇总览说明了除法竖式和分数、小数在各年级的位置。

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