Jak dzielić pisemnie: przykłady rozpisane krok po kroku

Co dziecko musi umieć przed dzieleniem pisemnym?

Dziecko jest gotowe na dzielenie pisemne, gdy pewnie opanowało trzy umiejętności: tabliczkę mnożenia i dzielenia, system dziesiątkowy oraz odejmowanie z przekraczaniem progu. Dzielenie pisemne łączy je wiele razy w jednym działaniu, więc luka w którejkolwiek z nich wygląda jak kłopot z samym dzieleniem.

1. Tabliczka dzielenia. Dziecko powinno odpowiadać na 42 : 7 czy 56 : 8 bez liczenia na palcach. Amerykańskie standardy Common Core oczekują, że pod koniec klasy 3 dziecko „zna z pamięci wszystkie iloczyny dwóch liczb jednocyfrowych" (3.OA.7), rok przed startem dzielenia pisemnego. Jeśli tabliczka idzie wolno, najpierw przyda się poradnik o tym, jak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia.
2. System dziesiątkowy. Dziecko powinno wiedzieć, że 9 w liczbie 952 oznacza 9 setek. Tę umiejętność ćwiczy gra o wartości pozycyjnej cyfr.
3. Odejmowanie z przekraczaniem progu. Każda runda kończy się odejmowaniem, np. 25 − 21 albo 144 − 144, a jedna pomyłka przy „pożyczaniu" psuje resztę działania.

Jak dzielić pisemnie krok po kroku?

Dzielenie pisemne to cztery kroki: dzielimy, mnożymy, odejmujemy, spisujemy kolejną cyfrę, powtarzane, aż zostaną wykorzystane wszystkie cyfry dzielnej. W polskim zapisie dzielną i dzielnik pisze się w jednej linii, na przykład 952 : 7, wynik powstaje nad kreską nad dzielną, a odejmowania schodzą pod nią w słupku. Wiele dzieci powtarza kroki na głos jak rymowankę: „dziel, mnóż, odejmij, spisz".

1. Dzielimy bieżącą liczbę przez dzielnik i wpisujemy wynik całkowity nad kreską.
2. Mnożymy tę cyfrę ilorazu przez dzielnik.
3. Odejmujemy iloczyn od bieżącej liczby.
4. Spisujemy kolejną cyfrę dzielnej i zaczynamy od nowa.

Przykład: 952 : 7

Działanie 952 : 7 to dzielenie liczby trzycyfrowej przez jednocyfrową bez reszty.

1. Dzielimy: 9 : 7 = 1. Wpisujemy 1 nad kreską, nad cyfrą 9.
2. Mnożymy: 1 × 7 = 7. Odejmujemy: 9 − 7 = 2.
3. Spisujemy 5, powstaje 25. Dzielimy: 25 : 7 = 3. Wpisujemy 3 nad cyfrą 5.
4. Mnożymy: 3 × 7 = 21. Odejmujemy: 25 − 21 = 4.
5. Spisujemy 2, powstaje 42. Dzielimy: 42 : 7 = 6. Wpisujemy 6 nad cyfrą 2.
6. Mnożymy: 6 × 7 = 42. Odejmujemy: 42 − 42 = 0. Nie zostały żadne cyfry.

Wynik: 952 : 7 = 136.

Przykład z resztą: 745 : 6

Działanie 745 : 6 kończy się liczbą za małą, żeby ją podzielić, i ta liczba jest resztą.

1. Dzielimy: 7 : 6 = 1. Mnożymy: 1 × 6 = 6. Odejmujemy: 7 − 6 = 1.
2. Spisujemy 4, powstaje 14. Dzielimy: 14 : 6 = 2. Mnożymy: 2 × 6 = 12. Odejmujemy: 14 − 12 = 2.
3. Spisujemy 5, powstaje 25. Dzielimy: 25 : 6 = 4. Mnożymy: 4 × 6 = 24. Odejmujemy: 25 − 24 = 1.
4. Nie zostały żadne cyfry, a 1 jest mniejsze od 6.

Wynik: 745 : 6 = 124 r. 1.

Przykład z dzielnikiem dwucyfrowym: 864 : 24

Działanie 864 : 24 to materiał klasy 5, a nową umiejętnością jest szacowanie każdej cyfry ilorazu.

1. Pierwsza cyfra, 8, jest mniejsza od 24, więc zaczynamy od 86. Szacujemy: 24 to prawie 20, a 86 : 20 to około 4. Sprawdzamy: 4 × 24 = 96, więcej niż 86, więc bierzemy 3.
2. Mnożymy: 3 × 24 = 72. Odejmujemy: 86 − 72 = 14.
3. Spisujemy 4, powstaje 144. Szacujemy: 144 : 24 to około 6. Mnożymy: 6 × 24 = 144. Odejmujemy: 0.

Wynik: 864 : 24 = 36. Oszacowanie o jeden za duże to normalna sprawa; wystarczy zmniejszyć cyfrę i pomnożyć jeszcze raz.

Czym jest metoda ilorazów częściowych i dlaczego uczą jej szkoły w USA?

Metoda ilorazów częściowych dzieli, odejmując od dzielnej wygodne wielokrotności dzielnika, np. 10, 20 czy 100 dzielników naraz, i sumując, ile ich zabrano.

Amerykańskie szkoły uczą ilorazów częściowych z powodu standardu Common Core 4.NBT.B.6, który wymaga od czwartoklasistów wyznaczania ilorazów i reszt „dla dzielnych do czterech cyfr i dzielników jednocyfrowych, za pomocą strategii opartych na wartości pozycyjnej, własnościach działań lub związku między mnożeniem a dzieleniem". Klasa 5 (5.NBT.B.6) rozszerza to samo sformułowanie na dzielniki dwucyfrowe. Dopiero klasa 6 (6.NS.B.2) wymaga „płynnego dzielenia liczb wielocyfrowych standardowym algorytmem". W polskiej szkole metoda ta jest rzadka, ale bywa pomocna dla dziecka, które gubi się w klasycznym zapisie.

Ilorazy częściowe: 952 : 7

To samo działanie, 952 : 7, metodą ilorazów częściowych zajmuje trzy porcje.

1. 100 × 7 = 700. Odejmujemy: 952 − 700 = 252. Z boku zapisujemy 100.
2. 30 × 7 = 210. Odejmujemy: 252 − 210 = 42. Z boku zapisujemy 30.
3. 6 × 7 = 42. Odejmujemy: 42 − 42 = 0. Z boku zapisujemy 6.
4. Sumujemy liczby z boku: 100 + 30 + 6 = 136.

Ostrożne dziecko może brać mniejsze porcje: 100, potem 20 (140, zostaje 112), potem 10 (70, zostaje 42), potem 6. Suma to nadal 136. Mniejsze porcje tylko dokładają linijek, więc metoda pasuje do dziecka, które blokuje się już na pierwszym kroku.

Rodzic, który uczył się klasycznego dzielenia pisemnego, nie musi zmieniać metody dziecka. Zapytaj, jaką metodę stosuje klasa, trzymaj się jej w domu i pokaż drugą dopiero wtedy, gdy szkolna jest już opanowana.

Najczęstsze błędy w dzieleniu pisemnym

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników w dzieleniu pisemnym, a każdy ma szybką autokontrolę.

1. Brakujące zero w ilorazie. W 612 : 6 dziecko dzieli 6 : 6 = 1, spisuje 1, widzi, że 1 : 6 się nie da, i idzie dalej, nic nie wpisując. Wychodzi 12. Poprawny iloraz to 102: gdy dzielnik nie mieści się w bieżącej liczbie, wpisz 0 nad kreską i spisz kolejną cyfrę. Autokontrola: 12 × 6 = 72, daleko od 612.
2. Przesunięte kolumny. Cyfra ilorazu przesunięta o jedno miejsce zmienia wynik dziesięciokrotnie. Zeszyt w kratkę trzyma każdą cyfrę w jej kolumnie.
3. Reszta większa od dzielnika. W 745 : 6 wpisanie 1 dla 14 : 6 zostawia 14 − 6 = 8, a 8 to więcej niż 6. Liczba po odejmowaniu musi być mniejsza od dzielnika; jeśli nie jest, zwiększ cyfrę ilorazu.
4. Pominięta cyfra przy spisywaniu. Iloraz wychodzi o jedną cyfrę za krótki. Autokontrola: policz spisane cyfry i porównaj wynik z oszacowaniem, np. 952 : 7 ≈ 1000 : 7, czyli trochę ponad 140.

Jak sprawdzić wynik dzielenia pisemnego?

Wynik dzielenia pisemnego sprawdza się, mnożąc iloraz przez dzielnik i dodając resztę: wynik musi być równy dzielnej.

Sprawdzenie pozwala dziecku znaleźć błąd brakującego zera bez pomocy dorosłego. Polska podstawa programowa z matematyki wymaga w klasach 4–6, by uczeń „mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową sposobem pisemnym" oraz zapisywał dzielenie z resztą w postaci a = b ∙ q + r, gdzie 0 ≤ r < b, czyli dokładnie w postaci tego sprawdzenia. Standardy w Anglii stawiają ten sam nawyk: angielska podstawa programowa z matematyki oczekuje, że uczniowie Year 6 będą dzielić liczby do czterech cyfr przez liczbę dwucyfrową „formalną pisemną metodą dzielenia i interpretować reszty jako reszty całkowite, ułamki lub przez zaokrąglenie".

15-minutowy trening dzielenia pisemnego

Krótki codzienny trening buduje dzielenie pisemne szybciej niż jedna długa sesja w weekend.

1. Pięć minut tabliczki dzielenia. Szybkie przypominanie zostawia uwagę na samą procedurę. Poradnik What Works Clearinghouse o wspieraniu uczniów, którym matematyka sprawia trudność zaleca nauczycielom, by „regularnie włączali ćwiczenia na czas jako jeden ze sposobów budowania płynności w matematyce". Tę część obejmują gra z tabliczką dzielenia i gry z dzielenia dla klasy 4.
2. Dwa rozpisane działania, mówione na głos. Dziecko nazywa każdy krok (dzielimy, mnożymy, odejmujemy, spisujemy), gdy go zapisuje. Jedno działanie powinno mieć zero w ilorazie, np. 612 : 6 albo 824 : 4 = 206.
3. Trzy samodzielne działania, każde sprawdzone. Karta pracy z dzielenia dla klasy 4 ma klucz odpowiedzi; karta pracy z dzielenia dla klasy 5 przechodzi do większych liczb.
4. Minuta na błędy. Zakreśl krok, w którym zaczął się każdy błąd; krok, który zawiódł dwa razy, to jutrzejszy trening.

Przejdź od dzielników jednocyfrowych do dwucyfrowych dopiero wtedy, gdy działania z liczbami trzycyfrowymi wychodzą dobrze i przechodzą sprawdzenie. Przegląd tego, czego z matematyki powinno się nauczyć w każdej klasie, pokazuje miejsce dzielenia pisemnego obok ułamków i ułamków dziesiętnych.

Darmowa aplikacja MathIt na iOS i Android ma adaptacyjny poziom trudności, więc ćwiczenia z dzielenia stają się trudniejsze dopiero wtedy, gdy łatwiejsze działania wychodzą dobrze, a 22 z około 90 rodzajów gier działa za darmo w przeglądarce, bez rejestracji.