Apprendre la division posée, avec des exemples corrigés

De quoi un enfant a-t-il besoin avant la division posée ?

Un enfant est prêt pour la division posée quand trois savoir-faire sont solides : les tables de multiplication, la valeur de position des chiffres et la soustraction avec retenue. La division posée les enchaîne plusieurs fois dans un seul calcul, si bien qu'une lacune sur l'un d'eux ressemble à un problème de division.

1. Les tables. L'enfant doit répondre à 42 ÷ 7 ou 56 ÷ 8 sans compter. Les standards américains Common Core attendent qu'il « connaisse de mémoire tous les produits de deux nombres à un chiffre » à la fin du grade 3, l'équivalent du CE2 (3.OA.7), un an avant le début de la division posée. Si les tables sont encore lentes, le guide pour apprendre les tables de multiplication rapidement passe en premier.
2. La valeur de position. L'enfant doit savoir que le 9 de 952 vaut 9 centaines. Le jeu de numération entraîne cette lecture.
3. La soustraction avec retenue. Chaque tour se termine par une soustraction comme 25 − 21 ou 144 − 144, et une seule retenue ratée fausse tout le reste du calcul.

Quelles sont les étapes de la division posée ?

Les étapes de la division posée sont diviser, multiplier, soustraire, abaisser, répétées jusqu'à ce que tous les chiffres du dividende aient été utilisés. En France, on pose le calcul dans la potence : le dividende à gauche, le diviseur à droite sous le trait horizontal, le quotient écrit sous le diviseur.

1. Diviser le nombre en cours par le diviseur et écrire la réponse entière au quotient.
2. Multiplier ce chiffre du quotient par le diviseur.
3. Soustraire le produit du nombre en cours.
4. Abaisser le chiffre suivant du dividende et recommencer.

Exemple corrigé : 952 ÷ 7

La division 952 ÷ 7 partage un nombre à 3 chiffres par un nombre à 1 chiffre, sans reste.

1. Diviser : 9 ÷ 7 = 1. Écrivez 1 au quotient, sous le 7.
2. Multiplier : 1 × 7 = 7. Soustraire : 9 − 7 = 2.
3. Abaissez le 5 pour obtenir 25. Diviser : 25 ÷ 7 = 3. Écrivez 3 au quotient, à droite du 1.
4. Multiplier : 3 × 7 = 21. Soustraire : 25 − 21 = 4.
5. Abaissez le 2 pour obtenir 42. Diviser : 42 ÷ 7 = 6. Écrivez 6 au quotient.
6. Multiplier : 6 × 7 = 42. Soustraire : 42 − 42 = 0. Il ne reste aucun chiffre à abaisser.

Résultat : 952 ÷ 7 = 136.

Exemple corrigé avec un reste : 745 ÷ 6

La division 745 ÷ 6 se termine sur un nombre trop petit pour être divisé, et ce nombre est le reste.

1. Diviser : 7 ÷ 6 = 1. Multiplier : 1 × 6 = 6. Soustraire : 7 − 6 = 1.
2. Abaissez le 4 pour obtenir 14. Diviser : 14 ÷ 6 = 2. Multiplier : 2 × 6 = 12. Soustraire : 14 − 12 = 2.
3. Abaissez le 5 pour obtenir 25. Diviser : 25 ÷ 6 = 4. Multiplier : 4 × 6 = 24. Soustraire : 25 − 24 = 1.
4. Il ne reste aucun chiffre à abaisser, et 1 est plus petit que 6.

Résultat : 745 ÷ 6 = 124, reste 1. C'est la division euclidienne : 745 = 6 × 124 + 1.

Exemple corrigé avec un diviseur à 2 chiffres : 864 ÷ 24

La division 864 ÷ 24 relève du CM2, et la compétence nouvelle consiste à estimer chaque chiffre du quotient.

1. Le premier chiffre, 8, est plus petit que 24, donc on commence par 86. Estimation : 24 est proche de 20, et 86 ÷ 20 fait environ 4. Test : 4 × 24 = 96, plus grand que 86, donc on prend 3.
2. Multiplier : 3 × 24 = 72. Soustraire : 86 − 72 = 14.
3. Abaissez le 4 pour obtenir 144. Estimation : 144 ÷ 24 fait environ 6. Multiplier : 6 × 24 = 144. Soustraire : 0.

Résultat : 864 ÷ 24 = 36. Une estimation trop grande d'une unité est normale ; baissez le chiffre et refaites la multiplication.

Qu'est-ce que la méthode des soustractions successives, et pourquoi l'enseigner ?

La méthode des soustractions successives, ou des quotients partiels, divise en retirant des multiples simples du diviseur, par exemple 10, 20 ou 100 fois lui, puis en additionnant combien de fois il a été retiré.

Aux États-Unis, cette méthode vient du standard Common Core 4.NBT.B.6, qui demande aux élèves de grade 4, l'équivalent du CM1, de trouver quotients et restes « avec des dividendes jusqu'à quatre chiffres et des diviseurs à un chiffre, à l'aide de stratégies fondées sur la valeur de position, les propriétés des opérations et/ou la relation entre multiplication et division ». Le grade 5 (5.NBT.B.6) étend la même formulation aux diviseurs à deux chiffres. Seul le grade 6 (6.NS.B.2) demande de « diviser couramment des nombres à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard ». En France, le programme de mathématiques du cycle 3 fixe l'arrivée plutôt que le chemin : l'élève doit « connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé » pour « la division euclidienne d'un entier par un entier ». Les soustractions successives sont une étape possible vers la potence classique.

Soustractions successives : 952 ÷ 7

La même division, 952 ÷ 7, se fait en trois tranches avec les soustractions successives.

1. 100 × 7 = 700. Soustraire : 952 − 700 = 252. Notez 100 sur le côté.
2. 30 × 7 = 210. Soustraire : 252 − 210 = 42. Notez 30 sur le côté.
3. 6 × 7 = 42. Soustraire : 42 − 42 = 0. Notez 6 sur le côté.
4. Additionnez les nombres du côté : 100 + 30 + 6 = 136.

Un enfant prudent peut prendre des tranches plus petites : 100, puis 20 (140, il reste 112), puis 10 (70, il reste 42), puis 6. La somme vaut toujours 136. Des tranches plus petites ajoutent seulement des lignes, donc la méthode convient à un enfant qui bloque dès la première étape.

Un parent qui a appris la potence classique n'a pas besoin de changer la méthode de son enfant. Demandez quelle méthode la classe utilise, suivez-la à la maison, et ne montrez l'autre qu'une fois la méthode de la classe bien acquise.

Les erreurs fréquentes en division posée

Quatre erreurs expliquent la plupart des divisions posées fausses, et chacune a son autocontrôle rapide.

1. Le zéro oublié au quotient. Dans 612 ÷ 6, l'enfant fait 6 ÷ 6 = 1, abaisse le 1, voit que 1 ÷ 6 ne va pas et passe à la suite sans rien écrire. Le résultat sort à 12. Le bon quotient est 102 : quand le diviseur ne va pas dans le nombre en cours, écrivez 0 au quotient et abaissez le chiffre suivant. Autocontrôle : 12 × 6 = 72, très loin de 612.
2. Les colonnes décalées. Un chiffre du quotient mal placé d'un rang multiplie ou divise le résultat par dix. Le papier quadrillé garde chaque chiffre dans sa colonne.
3. Un reste plus grand que le diviseur. Dans 745 ÷ 6, écrire 1 pour 14 ÷ 6 laisse 14 − 6 = 8, et 8 dépasse 6. Le nombre obtenu après chaque soustraction doit être plus petit que le diviseur ; sinon, augmentez le chiffre du quotient.
4. Un chiffre oublié à abaisser. Le quotient a alors un chiffre de moins. Autocontrôle : comptez les chiffres abaissés, et comparez le résultat à un ordre de grandeur comme 952 ÷ 7 ≈ 1 000 ÷ 7, soit un peu plus de 140.

Comment vérifier le résultat d'une division posée ?

Le résultat d'une division posée se vérifie en multipliant le quotient par le diviseur, puis en ajoutant le reste : le total doit être égal au dividende.

La vérification permet à l'enfant de repérer seul le zéro oublié. Les programmes installent la même habitude : le programme du cycle 3 demande de « vérifier la vraisemblance d'un résultat, notamment en estimant un ordre de grandeur », et le programme national de mathématiques en Angleterre attend des élèves de Year 6, l'équivalent du CM2, qu'ils divisent des nombres jusqu'à 4 chiffres par un nombre à deux chiffres « avec la méthode écrite formelle de la division posée, et interprètent les restes comme des restes entiers, des fractions ou par arrondi ».

Une routine d'entraînement de 15 minutes

Une courte routine quotidienne installe la division posée plus vite qu'une longue séance le week-end.

1. Cinq minutes de tables. Un rappel rapide laisse l'attention libre pour la procédure. Le guide What Works Clearinghouse sur l'aide aux élèves en difficulté en mathématiques, publié par le ministère de l'Éducation des États-Unis, recommande aux enseignants d'« inclure régulièrement des activités chronométrées comme un moyen de développer l'aisance en mathématiques ». Le jeu de divisions et les jeux de division pour le CM1 couvrent cette partie.
2. Deux divisions corrigées, dites à voix haute. L'enfant nomme chaque étape (diviser, multiplier, soustraire, abaisser) en l'écrivant. Une des deux divisions doit contenir un zéro au quotient, comme 612 ÷ 6 ou 824 ÷ 4 = 206.
3. Trois divisions en autonomie, chacune vérifiée. La fiche de division à imprimer pour le CM1 contient un corrigé ; la fiche de division pour le CM2 passe à des nombres plus grands.
4. Une minute sur les erreurs. Entourez l'étape où chaque erreur a commencé ; une étape qui échoue deux fois devient l'entraînement du lendemain.

Passez des diviseurs à 1 chiffre aux diviseurs à 2 chiffres seulement quand les divisions de nombres à 3 chiffres tombent juste avec une vérification propre. La vue d'ensemble de ce qu'un enfant doit savoir en maths à chaque niveau montre où se place la division posée, à côté des fractions et des nombres décimaux.

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