周长和面积讲解：篱笆、地毯和计算公式

孩子三年级的作业上画着一个长 6 厘米、宽 4 厘米的长方形，要求面积和周长，结果写出来是 10 和 24，或者 24 和 24。周长和面积是同一个图形的两种量，孩子之所以搞混，是因为两道题都从同样的边长出发。一幅画面就能说清周长是什么、面积是什么：周长是菜地外面的一圈篱笆，面积是铺在地上的地毯。

周长和面积有什么区别？

周长是围成图形一周的长度，面积是图形所占平面的大小。OpenStax《Prealgebra》用两句话说明白：周长量的是图形一周的距离，面积量的是图形覆盖的表面。

拿一块菜地来说，外面那圈篱笆是它的周长，单位是米；里面的土是它的面积，单位是平方米。

作业里那个长 6、宽 4 的长方形，同时能看到两种量。沿着边走一圈，走过 6 + 4 + 6 + 4 = 20 个单位；数里面的方格，每行 6 个、一共 4 行，也就是 6 × 4 = 24 个平方单位。

孩子为什么会把两者搞混

孩子搞混周长和面积，是因为两道题用的是同样两个数，脑子里没有图形画面的孩子，就随便挑一种运算。6 + 4 得 10，两个答案都不是；6 × 4 得 24，只是面积。

国内两种量都在第二学段学。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求三、四年级学生结合实例认识周长和面积，探索并掌握长方形、正方形的周长和面积计算公式，认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米；国内常见教材在三年级上学期学周长，三年级下学期学面积。美国也放在三年级：共同核心州立数学标准 3.MD.C.7a 要求孩子用铺方格的办法求边长是整数的长方形的面积，并说明结果和边长相乘一样。标准 3.MD.D.8 再加上周长，要求孩子画出周长相同、面积不同，或者面积相同、周长不同的长方形；4.MD.A.3 则要求在实际问题和数学问题里运用长方形的面积和周长公式。

英格兰走得慢一些。国家课程的数学学习计划要求四年级学生用数方格的办法求直边图形的面积，六年级学生认识到面积相同的图形周长可以不同，反过来也一样。各年级应该掌握哪些数学这篇总览，说明了这些内容和乘法、分数排在什么位置。

一步步求长方形的周长和面积

长方形的周长 =（长 + 宽）× 2，面积 = 长 × 宽。下面六步，带孩子从画图一直走到两个带正确单位的答案。

1. 标出每一条边。 长方形的对边相等，所以长 6、宽 4 的长方形，四条边是 6、4、6、4。把四个数都写在图上。
2. 检查单位是否统一。 一条边 2 米、一条边 50 厘米，加或乘之前要换成 200 厘米和 50 厘米（或者 2 米和 0.5 米）。
3. 四条边相加，得到周长。 6 + 4 + 6 + 4 = 20。简便算法（6 + 4）× 2 = 10 × 2 = 20，答案一样。
4. 周长写上长度单位。 边长用厘米，周长就是 20 厘米。
5. 长乘宽，得到面积。 6 × 4 = 24。在方格纸上数一数来验证：每行 6 格，4 行一共 24 格。
6. 面积写上面积单位。 面积是 24 平方厘米，也写作 24 cm²，因为它数的是边长 1 厘米的小正方形。

求未知的边长

求未知的边长，就把公式倒过来用。一个长方形周长 30 厘米、长 9 厘米，周长的一半是 30 ÷ 2 = 15 厘米，也就是长 + 宽，所以宽是 15 − 9 = 6 厘米。

面积也一样，用除法。一个房间要铺 15 平方米的地板，房间长 5 米：15 = 5 × 宽，所以宽是 15 ÷ 5 = 3 米。美国标准 4.MD.A.3 把这叫作把面积公式看成含有一个未知因数的乘法算式。数学应用题怎么解能帮孩子判断一道题问的是哪个公式。

周长和面积一览对比

周长和面积回答的是同一个图形的不同问题，所以单位不同，运算也不同。

正方形是四条边都相等的长方形，所以它的公式是长方形公式的简便写法。边长 5 米的正方形，周长是 4 × 5 = 20 米，面积是 5 × 5 = 25 平方米。

知道面积能求出周长吗？

只知道面积，周长是定不下来的，因为很多长方形面积相同。面积是 24 个平方单位的长方形有这些：

• 长 6 宽 4：周长（6 + 4）× 2 = 20
• 长 8 宽 3：周长（8 + 3）× 2 = 22
• 长 12 宽 2：周长（12 + 2）× 2 = 28
• 长 24 宽 1：周长（24 + 1）× 2 = 50

再知道一条边长，答案就定下来了。面积 24、宽 3，长就是 24 ÷ 3 = 8，周长是 22；面积 36 的正方形，边长是 6，因为 6 × 6 = 36，周长是 4 × 6 = 24。

周长相同，面积不同：绳子小实验

周长相同的长方形，面积可以差得很远，在家里的饭桌上用一圈绳子就能证明。把一根 24 厘米长的绳子系成一圈，在方格纸上拉成各种长方形，数一数每个里面有多少格。

周长 24，意味着长 + 宽 = 12，所以边长是整数的长方形有：

• 长 11 宽 1：面积 11
• 长 10 宽 2：面积 20
• 长 9 宽 3：面积 27
• 长 8 宽 4：面积 32
• 长 7 宽 5：面积 35
• 长 6 宽 6：面积 36

同样 24 厘米长的篱笆，围成又长又窄的形状只有 11 个平方单位，围成正方形却有 36 个。在所有长方形里，正方形的面积总是最大，所以篱笆长度一定的农民，把草场围成正方形最划算。

这张表里每个面积都是一句乘法口诀。跳着数讲解讲了一行行数方格怎样发展成乘法，乘法口诀游戏用来练熟这些口诀。

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L 形房间和其他组合图形

L 形组合图形的面积，是把它分成几个长方形，再把面积加起来。美国标准 3.MD.C.7d 要求孩子把直边图形分成互不重叠的长方形，再把各部分的面积相加，求出整个图形的面积。

拿一个底边宽 6、左边高 5 的 L 形来说。把它分成下面一条 6 × 2 = 12 和上面一列 2 × 3 = 6，面积就是 12 + 6 = 18 个平方单位。

求周长要把外面每一条边都算上，包括孩子常常漏掉的两条里边。沿着 L 形走一圈，各边是 2、3、4、2、6、5，加起来是 22 个单位；其中 4 是下面那条的上边（6 − 2），3 是上面那一列的高（5 − 2）。

怎样检查周长和面积学得怎么样

五个小问题，就能看出孩子是真懂周长和面积，还是在瞎猜用哪种运算。

• 分类题： 问篱笆、地毯、相框、草坪分别是周长问题还是面积问题。篱笆和相框是周长，地毯和草坪是面积。
• 基本的长方形： 给出长 7、宽 3 的长方形。周长是 20，面积是 21，孩子还应该写上单位（厘米和平方厘米）。
• 正方形： 给出边长 9 米的正方形。周长是 36 米，面积是 81 平方米。
• 求未知边长： 给出面积 40 平方米、长 8 米。宽是 5 米，用 40 ÷ 8 求出。
• 推理题： 问周长是 20 的长方形里，哪个面积最大。答案是边长 5 的正方形，面积 25 个平方单位。

饭桌上的五分钟小测

三道混合题（一个长方形、一个求未知边长、一个 L 形）的五分钟小测，比一整页同类题看得更清楚。让孩子先画图，在计算之前说出是“一周”还是“里面”。

面积的方法对了、却卡在乘法上的孩子，缺的是口算熟练度，而不是几何。三年级数学游戏和四年级数学游戏覆盖了每道面积题都要用到的同年级计算；边长变成两位数时，怎么教多位数乘法能帮上忙。

周长和面积的常见错误

周长和面积题的错答，大多出自四种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 只加两条边： 长 6、宽 4 的长方形，周长算成 10 而不是 20。先把四条边都标出来再加，或者用（长 + 宽）× 2。
• 求周长用了乘法： 孩子把周长写成 6 × 4 = 24。先问一句“一周还是里面？”，一周就是加。
• 单位不统一： 长 2 米、宽 50 厘米的菜地，面积算成 100。先换算：200 厘米 × 50 厘米 = 10000 平方厘米，或者 2 米 × 0.5 米 = 1 平方米。
• 忘了面积单位： 面积写成 24 厘米，读起来像一段长度。面积数的总是正方形，所以答案是 24 平方厘米，或者 24 cm²。

特殊情况：面积为什么用平方单位

面积用平方单位，是因为它数的是单位正方形。美国标准 3.MD.C.5a 说，边长 1 个单位的正方形叫作单位正方形，它的面积是 1 个平方单位；所以用 24 个这样的正方形铺满的长方形，面积就是 24 个平方单位。

平方单位还能说明，为什么边长扩大到 2 倍，面积却不只是 2 倍。长 3 宽 2 的长方形能铺 6 个正方形，长 6 宽 4 的长方形能铺 24 个，是原来的 4 倍，而周长从 10 变成 20，只是原来的 2 倍。

周长和面积检查清单和下一步

• 一周还是里面： 计算之前，先判断题目问的是哪一个。
• 四条边都要有： 标出长方形的每一条边，包括图上没写数的那两条。
• 单位统一： 加或乘之前，把每条边换成同一个单位。
• 答案写对单位： 周长用厘米，面积用平方厘米或 cm²。
• 方格纸： 画出长方形，数方格来验证乘积。
• 方砖或饼干： 用正方形小方砖摆长方形，再试试 24 厘米的绳圈，找出面积最大的那个。

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