比的讲解：比是什么，相等的比怎么找

做松饼的菜谱要 3 杯面粉配 2 杯牛奶，六年级的作业要求写出相等的比，清洁剂瓶子上写着按 3∶1 兑水。三处用的都是比，而比只靠一条规则运转：对一项做什么，就对另一项做同样的事。这条规则一扎实，化简比、找相等的比、把菜谱按比放大，就都成了同一个动作。

比是什么？

比是两个量之间的比较，说明一种量每有多少，另一种量就有多少。如果一只碗里每有 2 颗红珠子就有 3 颗蓝珠子，红珠子和蓝珠子的比就是 2∶3。

同一个比常见三种写法：用比号写成 2∶3，用文字读作“2 比 3”，或者写成分数形式 2/3。三种都表示“第一种每有 2 份，第二种就有 3 份”，前面的数永远属于先说的那样东西。比号前面的数叫前项，后面的数叫后项，前项除以后项所得的商叫比值。

国内现行教材在六年级上学期学比，六年级下学期学比例和比例尺；教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》把比放在第三学段，也就是五、六年级。美国的共同核心州立数学标准 6.RP.A.1 同样放在六年级，要求学生理解比的概念，并用比的语言描述两个量之间的关系。它自己的例子是鸟舍里翅膀和鸟嘴的比是 2∶1，因为每有 2 只翅膀就有 1 张鸟嘴。

部分比部分，部分比整体

部分比部分，是拿一部分和另一部分比；部分比整体，是拿一部分和总数比。在那碗珠子里，红比蓝是 2∶3（部分比部分），红比全部珠子是 2∶5（部分比整体），因为 2 + 3 = 5 份合起来才是整体。

这个区别决定了分数怎么写。每 2 颗红配 3 颗蓝，红珠子占整碗的 2/5，蓝珠子占 3/5，也就是 40% 和 60%。把 2∶3 读成“红的占三分之二”，是比最常见的错误。

线段图能让份数看得见。画 2 格表示红，3 格表示蓝；如果碗里有 10 颗珠子，5 格平均分 10 颗，每格就是 2 颗，红的是 2 × 2 = 4 颗，蓝的是 3 × 2 = 6 颗。国内课本里的“按比分配”，用的就是这个办法。

一步步化简比、找相等的比

相等的比描述的是同一种关系，求法是把前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），这就是比的基本性质。化简是除的方向，放大是乘的方向。

1. 按文字的顺序写比。 “面粉比牛奶”是 3∶2，“牛奶比面粉”是 2∶3。
2. 检查两项的单位是否相同。 30 分钟比 2 小时，都换成分钟以后是 30∶120。
3. 找出两项的最大公因数。 12∶18 里，12 的因数是 1、2、3、4、6、12，18 的因数是 1、2、3、6、9、18，公有的最大的是 6。
4. 两项同时除以这个数，就化简了。 12 ÷ 6 = 2，18 ÷ 6 = 3，所以 12∶18 化简成 2∶3。
5. 两项同时乘同一个数，就放大了。 2∶3 乘 2 是 4∶6，乘 3 是 6∶9，乘 4 是 8∶12，每一个都和 2∶3 相等。
6. 检查结果。 把答案再化简一次；相等的比，最后总会回到同一个最简整数比。

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怎么判断两个比是否相等

两个比化简后一样，它们就相等；还有第二种检验办法，交叉相乘，一行就能得出同样的结论。对于 a∶b 和 c∶d，算 a × d 和 b × c；两个积相等，这两个比就相等，可以组成比例。六年级下学期学的比例的基本性质说的正是这件事：两个外项的积等于两个内项的积。

拿 4∶6 和 6∶9 来说。两个都化简成 2∶3，交叉相乘也对得上：4 × 9 = 36，6 × 6 = 36。再看 3∶4 和 5∶6，3 × 6 = 18，4 × 5 = 20，所以它们不相等，尽管每一项都加了 2。

交叉相乘很快，却把它为什么成立藏了起来。What Works Clearinghouse 的分数教学实践指南建议教师先帮学生从概念上理解比、速率和比例问题的解法，再把交叉相乘作为一种程序教给他们。

比、分数、百分数，三者对比

比、分数和百分数可以描述同一碗珠子，但各自回答不同的问题。比是拿两部分比较，分数说的是一部分占整体的多少，百分数则把这个分数换成以 100 为分母。

把比化成百分数

部分比部分的比，两步就能化成百分数：先把各部分加起来得到整体，再用要的那一部分除以整体。2∶3 的整体是 5 份，红的是 2/5，2 ÷ 5 = 0.4，也就是 40%。

美国的 6.RP.A.3c 要求学生把一个量的百分之几理解成每 100 的比率，也就是后项固定为 100 的比。百分数怎么算把这一步讲得更深，分数讲解讲的是部分和整体那一边。

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比的表格、单价和按比放大菜谱

比的表格把相等的比一行行或一列列排出来，要多少量都能直接读出来。美国六年级把它当主要工具：标准 6.RP.A.3 列出了解比的问题的几种办法，包括相等的比的表格、线段图、双数轴图和等式。

表格从原来的比开始，再把前后项同时乘 2、3、4。2∶3 得到 4∶6、6∶9、8∶12，每一列的比值都还是 2/3。

单价就是把比放缩到第二个量为 1 时的值。4 本笔记本 6 元，单价是 6 ÷ 4 = 1.5 元一本，10 本就是 10 × 1.5 = 15 元。美国的标准用的是割草的例子：7 小时割 4 块草坪，35 小时是 5 个 7 小时，能割 5 × 4 = 20 块。

按比放大菜谱

按比放大菜谱，就是先求出新旧两份之间的倍数，再把每样材料都乘上它。3 杯面粉配 2 杯牛奶能做 12 个松饼；要做 18 个，倍数是 18 ÷ 12 = 1.5。

面粉变成 3 × 1.5 = 4.5 杯，牛奶变成 2 × 1.5 = 3 杯，新的配比是 4.5∶3。这个比化简后回到 3∶2，说明面糊的味道不会变。

调颜料也是同一个动作。绿色要 2 份黄配 1 份蓝，调 9 升就一共 2 + 1 = 3 份，每份 9 ÷ 3 = 3 升，需要 6 升黄、3 升蓝。碰到 1.5 或 0.75 这样的倍数时，小数讲解能帮上忙。

怎么确认比真的学会了

五个小检查能看出孩子（或者大人）是不是真懂比。

• 比的语言： 问果汁和水按 3∶1 调是什么意思。要听到的答案是“每 3 杯果汁配 1 杯水”。
• 最简整数比： 给出 15∶25。答案是 3∶5，前后项同时除以 5 得到。
• 相等的比： 要一个和 2∶3 相等、前项是 12 的比。答案是 12∶18，因为 12 ÷ 2 = 6，3 × 6 = 18。
• 部分比整体： 一个班有 12 个男生、15 个女生，问女生占全班的几分之几。答案是 15/27，化简为 5/9。
• 单价： 4 个 6 元，问 7 个多少钱。答案是 10.5 元，单价 1.5 元。

五分钟小测

三道混合题（化简、判断相等、菜谱）的五分钟小测，只要要求写出过程，就比一长张同类题的练习单看得更清楚。

英格兰的国家课程在差不多的年龄要求同样的技能。数学学习计划要求六年级学生解决涉及两个量相对大小的问题，第三关键阶段再加上用比的记号表示比，包括化成最简形式。

这些检查每一项都靠乘法口诀撑着，六年级乘法练习页提供可打印的练习，附答案。

比的常见错误和边界情况

比的错答大多出自四种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 加而不乘： 把 2∶3 的每一项加 2，变成 4∶5，配比就变了，因为 2/3 约是 0.67，4/5 是 0.8。前后项要同时乘同一个数：2∶3 变成 4∶6。
• 顺序颠倒： 男生比女生 12∶15 化简为 4∶5，女生比男生是 5∶4。再读一遍题，先说到的量写在前面。
• 把部分比部分当成部分比整体： 红蓝按 2∶3 混合，红的占 2/5，说成占 2/3 就把红的说多了。写分数之前，先把各部分加起来得到整体。
• 单位不统一： 30 分钟比 2 小时是 30∶120 = 1∶4，写成 30∶2 就让分钟看起来比小时还多。化简之前，先把两项换成同一个单位。

边界情况：稀释说明和比例尺

写着“按 3∶1 稀释”的标签用的是比的语言，所以倒之前先看清哪一项在前。如果它的意思是 3 份水配 1 份原液，一个 2 升的桶一共 3 + 1 = 4 份，每份 2000 ÷ 4 = 500 毫升，加 1500 毫升水配 500 毫升原液，原液占混合液的 25%。

比例尺是两项单位相同的比。在 1∶25000 的地图上，图上 4 厘米代表实际距离 4 × 25000 = 100000 厘米，也就是 1 千米。

比的检查清单和下一步

• 顺序： 按文字的顺序写比。
• 单位： 先把两项换成同一个单位。
• 化简： 前后项同时除以最大公因数。
• 放缩： 前后项同时乘或除以同一个数，绝不能加。
• 检验： 把两个比都化简，或者比较交叉相乘的积。
• 整体： 把比化成分数或百分数之前，先把各部分加起来。

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