Sayı doğrusu nedir ve çocuklar onu saymaktan negatif sayılara kadar nasıl kullanır

Mutfak zemininde bir bant şeridi, eşit adımlarla dizilmiş bloklar ve birinden ötekine sıçrayan bir çocuk: işte bu bir sayı doğrusudur ve ilkokuldan ortaokula kadar ödevlerin içinden geçer. “Sayı doğrusu nedir?” sorusu genellikle bir çalışma kâğıdında “sayı doğrusunu kullanarak çözün” yazdığında gündeme gelir. Sayı doğrusu, sayıların eşit aralıklarla sırayla dizildiği düz bir doğrudur; çocuklar onu saymak, sıçramak, kesirleri ve negatif sayıları yerleştirmek için kullanır.

Sayı doğrusu nedir?

Sayı doğrusu, sayıları eşit aralıklarla sıraya koyar. Vikipedi'nin İngilizce maddesi onu sayıların uzamsal bir temsili olarak hizmet eden düz bir doğrunun grafik gösterimi diye tanımlar. Bir nokta 0 olarak seçilir, iki yanındaki işaretler eşit aralıklıdır ve bir ok sayıların hangi yönde büyüdüğünü gösterir.

Okuldaki sayı doğrusunda büyük sayılar sağda durur. OpenStax Prealgebra 2e kuralı açıkça söyler: pozitif sayılar sıfırın sağında, negatif sayılar sıfırın solundadır. Sağdaki sayı her zaman solundaki sayıdan büyüktür; büyüktür ve küçüktür işaretlerinin arkasındaki resim de budur.

İşe yarayan bir sayı doğrusu nasıl çizilir

İşe yarayan bir sayı doğrusunun dört parçası vardır: bir 0, eşit aralıklar, çentikler ve oklar. Cetvelle uzun, düz bir doğru çizin, sayıların devam ettiğini göstermek için iki ucuna birer ok koyun ve 0'ı sol uca yakın işaretleyin (negatif sayılar gelince ortaya).

Çentikleri aynı uzaklıkta yapın, örneğin kareli kâğıtta iki kare arayla, ve her birinin altına bir sayı yazın: 0, 1, 2, 3. Her aralık aynı boyda olmalıdır, çünkü çocuk uzaklığı miktar olarak okur.

Sayı doğrusunda adım adım toplama ve çıkarma

Sayı doğrusu toplamayı sağa, çıkarmayı sola sıçramalara çevirir; aşağıda 3 + 4 ve 9 − 5 üzerinde gösterilmiştir.

1. Başlangıcı bulun. İlk sayıya bir parmak ya da nokta koyun: 3 + 4 için 3, 9 − 5 için 9.
2. Yönü seçin. Artı, büyük sayılara doğru sağa sıçramak demektir. Eksi, küçük sayılara doğru sola sıçramak demektir.
3. Sıçramaları yapın. Eklediğiniz ya da çıkardığınız her 1 için kavisli bir sıçrama çizin: 3'ten sağa dört, 9'dan sola beş sıçrama.
4. Sıçramaları sesli sayın. Her sıçrama yere indiğinde “bir, iki, üç, dört” deyin, bir sayıdan ayrılırken değil.
5. İndiğiniz yeri okuyun. 3'ten dört sıçrama 7'ye iner, yani 3 + 4 = 7. 9'dan geriye beş sıçrama 4'e iner, yani 9 − 5 = 4.
6. Ters yönden kontrol edin. 7'den başlayıp 4 geri sıçrayın; yine 3'te olmalısınız. Bu, toplama ile çıkarmayı birbirine bağlar; sayı bağları da aynı bağı öğretir.

Çentikleri değil, sıçramaları sayın

Sıçrama kuralı, çocukların en sık yanlış yaptığı kısımdır. 3 + 4 işleminde çentiklere dokunarak “3, 4, 5, 6” diye sayan bir çocuk 6'ya iner ve bir eksik bulur, çünkü başlangıcı da saymıştır. Cevap, geçilen aralıkların sayısıdır.

Bu hamle 1. sınıfta başlar. MEB'in Matematik Dersi Öğretim Programı (2018), M.1.1.1.4 kazanımında 20'ye kadar ikişer ileriye, birer ve ikişer geriye saymayı, M.1.1.2.5 kazanımında da “üzerine ekleme” ve “10'a tamamlama” gibi zihinden toplama stratejilerini ister. ABD'de Common Core K.CC.A.2 ve 1.OA.C.5 standartları da 1'den başlamadan, verilen bir sayıdan ileriye saymayı ve saymayı toplama ile çıkarmaya bağlamayı ister. 3'ten 7'ye üzerine sayarak gitmek, sayı doğrusundaki bu kazanımın ta kendisidir.

İlkokuldan ortaokula sayı doğrusu

Sayı doğrusu çocuğunuzla birlikte büyür: önce bir sayma yoludur, sonra kesirleri, ondalık gösterimleri ve negatif sayıları taşıyan doğru olur.

Türkiye'de sayı doğrusu 2. sınıfta uzunluk ölçmeyle birlikte gelir: programın M.2.3.1.5 kazanımı, sayı doğrusunun temel özellikleriyle tanıtılmasını ve cetvelle ilişkilendirilmesini ister. ABD'de 2.MD.B.6 standardı da doğal sayıları sayı doğrusunda 0'dan itibaren uzunluk olarak göstermeyi ve 100'e kadar toplama ile çıkarmayı sayı doğrusunda göstermeyi ister. Burada çocuklar boş sayı doğrusuyla tanışır: yalnızca gereken sayıların yazıldığı boş bir doğru.

38 + 25 için çocuk 38 yazar, +10 ile 48'e, +10 ile 58'e, +2 ile 60'a ve +3 ile 63'e sıçrar. 52 − 17 için 17'den yukarı sayabilir: +3 ile 20'ye, +30 ile 50'ye, +2 ile 52'ye; 3 + 30 + 2 = 35. Herhangi bir sayıdan onar sıçramak doğru üzerinde ritmik saymadır, en yakın onluğa sıçramak da sayıları yuvarlamanın arkasındaki resimdir.

Kesirler ve ondalık gösterimler sayı doğrusunda

Kesirler sayı doğrusuna 0 ile 1 arasındaki uzunluk eş parçalara bölünerek yerleşir. ABD'de 3.NF.A.2 standardı, 0'dan 1'e aralığı bütün kabul edip b eş parçaya bölerek kesri sayı doğrusunda bir sayı olarak anlamayı ister; Türkiye'de M.5.1.3.1 kazanımı birim kesirleri 5. sınıfta sayı doğrusunda gösterir ve sıralar. Dörtte birler için uzunluğu 4 eş parçaya ayırın: her parça ¼'tür ve üçü ¾'te biter.

¼'lük iki sıçrama ½ ile aynı noktaya iner, yani 2/4 ile ½ eşittir. Dört sıçrama 1'e, beşincisi 1'i geçerek 1¼'e iner. Ebeveynler için kesirler rehberi bununla birlikte kullanılan kesir sözcüklerini anlatır.

Ondalık gösterimler sonra gelir. Türkiye'de M.5.1.5.5 kazanımı ondalık gösterimleri 5. sınıfta sayı doğrusunda gösterir ve sıralar; ABD'de 4.NF.C.6 standardı aynı işi 4. sınıfta yapar ve örnek olarak 0,62'yi sayı doğrusuna yerleştirir: 0'dan 1'e 10 parça onda birleri, bir onda birin içindeki 10 parça da yüzde birleri verir.

Negatif sayılar sayı doğrusunda

Negatif sayılar sayı doğrusunda 0'ın solunda, pozitif sayıların ayna görüntüsü olarak durur. 2018 programında M.6.1.4.1 kazanımı tam sayıları 6. sınıfta tanıtıp sayı doğrusunda gösterir ve asansör katları ile hava sıcaklıklarını örnek verir; Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'nin Ortaokul Matematik Dersi Öğretim Programı ise tam sayıları 7. sınıfa (MAT.7.1.1) taşır. ABD'de 6.NS.C.6 standardı da sayı doğrusunu negatif sayılara genişletir ve zıt işaretleri 0'ın iki yanındaki konumlar olarak tanıtır.

3 ve −3 sayıları birbirinin tersidir: ikisi de 0'dan 3 birim uzaktadır, farklı yanlarda. Bu uzaklık mutlak değerdir. OpenStax bunu tek satırda tanımlar: bir sayının mutlak değeri, sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır. Banka hesabında −300 TL bakiye |−300| = 300 diye yazılır; bu, borcun büyüklüğüdür.

Sağdaki sayı her zaman büyük olduğu için −3 > −7 ifadesi “−3, −7'nin sağındadır” demektir; programın M.6.1.4.2 kazanımı da büyük sayının sayı doğrusunun daha sağında olduğunu vurgulatır. −3 °C, −7 °C'den daha sıcaktır. İşaret kurallarının tamamı negatif sayılar rehberindedir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınSayıları KarşılaştırmaAnasınıfı–1. sınıf

Sayı doğrusunda içi boş ve içi dolu daireler

Sayı doğrusundaki içi boş daire, dairenin olduğu sayının dışarıda kaldığını, içi dolu daire ise dahil olduğunu gösterir. Daireler, sayı doğrusu 2'den büyük bütün sayılar gibi bir sayı aralığını gösterdiğinde çıkar. x > 2 grafiğinde 2'de içi boş bir daire ve sağa doğru bir ok vardır, çünkü 2, 2'den büyük değildir.

x ≥ 2 grafiğinde 2'de içi dolu bir daire vardır, çünkü “büyük veya eşittir” 2'yi içeri alır. < ve > için içi boş, ≤ ve ≥ için içi dolu daire kullanın. Türkiye'de eşitsizliklerin sayı doğrusunda gösterimi 2018 programında 8. sınıfta (M.8.2.3.2), Maarif Modeli'nde 7. sınıfta gelir.

Evde sayı doğrusu alıştırması ve ilerlemeyi kontrol etme

Evde sayı doğrusu alıştırması, çocuğunuzun üzerinde yürüyebileceği bir doğruyla en iyi sonucu verir. Yere maskeleme bandı yapıştırın, 0'dan 10'a kadar sayıları birer büyük adım arayla yapışkan notlarla işaretleyin ve “4'ten başla, 3 sıçra” deyin. Çocuğunuz sıçrar, her inişi sayar ve nerede bittiğini söyler: 7.

Bir iki hafta sonra oyunu kâğıda taşıyın: bir doğru çizin, yalnızca başlangıç sayısını yazın ve sıçramaları çocuğunuzun işaretlemesine izin verin. Daha sonra 0'ı bandın ortasına koyun, solunda −1'den −5'e kadar sayılar olsun. Termometre dikey bir sayı doğrusudur ve iki sayı doğrusunun 0'da kesiştiği koordinat sistemine bir köprüdür.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınSayıları Yuvarlama3–4. sınıf

Sayı doğrusu için beş soruluk kontrol

Beş kısa soru, çocuğunuzun sayı doğrusunu anlayıp anlamadığını gösterir. Günde bir iki tane sorun ve doğruyu çocuğunuz çizsin.

• Üzerine sayma: 6 + 5 işlemini sıçramalarla çözün. 4'lük bir sıçrama 10'a ulaşır, 1 tane daha 11'e iner.
• Çıkarma: 43 − 18 işlemini boş sayı doğrusunda çözün. 10 geri sıçrayarak 33'e, sonra 8 geri sıçrayarak 25'e inin.
• Kesirler: 0 ile 1 arasında ¾'ü işaretleyin. Doğru 4 eş parça ister, ¾ üçüncü işarettedir.
• Sıralama: −4 ile −1'den hangisi büyüktür? Cevap −1'dir, çünkü −1, −4'ün sağındadır.
• Uzaklık: −2'den 3'e uzaklık ne kadardır? 0'a kadar iki aralık ve 3'e kadar üç aralık, toplam 5 eder.

Bir hafta içinde dört ya da beşini doğru yapan çocuk, sınıf tablosundaki bir sonraki satıra hazırdır. İlk iki soruda bir sapan çocuk çentikleri sayıyordur ve bir hafta daha yerde sıçrama alıştırmasına ihtiyaç duyar.

Sayı doğrusunda sık yapılan hatalar

Sayı doğrusu ödevlerindeki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin hızlı bir çözümü vardır.

• Sıçramalar yerine çentikleri saymak: 3 + 4 için “3, 4, 5, 6” diye saymak 6'ya indirir. İlk sıçramadan başlayarak yalnızca inişleri sayın.
• Eşit olmayan aralıklar: elle çizilmiş, çentikleri sıkışık bir doğru 7'yi 5'e, 9'dan daha yakın gösterir. Her aralık aynı boyda olsun diye kareli kâğıt ya da cetvel kullanın.
• 1'den başlamak: 0'ı olmayan bir doğru ilk aralığı gizler, bu yüzden 2 + 3 ya da 0'dan ölçülen bir uzunluk yanlış çıkar. 0'ı her zaman çizin ve yazın.
• Negatif sayıları ters okumak: 6, 2'den büyük olduğu için −6'nın −2'den büyük olduğunu düşünen çocuk konumu görmezden geliyordur. Doğruda hangisinin daha sağda olduğunu sorun.

Sınır durum: çift sayı doğrusu

Çift sayı doğrusu, işaretleri hizalı olacak şekilde alt alta çizilmiş iki sayı doğrusudur ve bir oranı gösterir. Maarif Modeli'nin MAT.7.1.5 çıktısı “çift sayı doğrusu”nu oran tabloları ve çubuk diyagramıyla birlikte oran ilişkilerini sınama araçları arasında sayar; ABD'de 6.RP.A.3 standardı aynı aracı 6. sınıfta oran ve hız problemleri için listeler.

3 elma 20 TL olsun: üst doğru elmaları 0, 3, 6, 9, 12, alt doğru da aynı işaretlerin altında lirayı 0, 20, 40, 60, 80 diye sayar. 12 elmadan dümdüz aşağı okumak 80 TL verir. Oranlar rehberi aynı fikri bir tabloyla gösterir.

Sayı doğrusu kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Sıfır: önce 0'ı çizip yazın, iki uca da ok koyun.
• Aralık: kareli kâğıt ya da cetvelle her aralığı aynı boyda yapın.
• Yön: artı sağa, eksi sola sıçrar ve sağdaki sayı büyüktür.
• Sıçramalar: inişleri sayın, başlangıç çentiğini asla saymayın.
• Kesirler: 0'dan 1'e uzunluğu, sayıları yazmadan önce eş parçalara bölün.
• Daireler: < ve > için içi boş, ≤ ve ≥ için içi dolu.

Ücretsiz sayı karşılaştırma ve sayı yuvarlama oyunları tarayıcıda kayıt olmadan oynanır ve aynı “doğrunun hangi tarafında” düşünmesini çalıştırır. Ücretsiz MathIt uygulaması iOS ve Android'de, günde birkaç dakikalık alıştırma için uyarlanabilir zorlukta yaklaşık 90 oyun türü sunar.