什么是数轴：从数数到负数，孩子一路怎样用数轴

厨房地板上贴一条胶带，等距摆上几块积木，孩子从一块跳到下一块：这就是一条数轴，它从小学一直用到初中。“什么是数轴？”这个问题，往往是在作业写着“借助数轴计算”时冒出来的。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，数按顺序等距排在上面，孩子用它数数、跳着算加减，还用它找分数和负数的位置。

什么是数轴？

数轴把数按顺序等距排在一条直线上。维基百科把它描述为“一条直线的图形表示，用来在空间上表示数”。先在直线上选一个点表示 0，叫作原点，两边的刻度间隔相等，再用箭头标出数变大的方向。

学校里的数轴，越往右数越大。OpenStax《Prealgebra 2e》把规则说得很直白：“正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。”右边的数总比左边的数大，所以数轴就是大于号和小于号背后的那幅图。

数轴怎么画才好用

一条好用的数轴有四样东西：原点 0、相等的间隔、刻度和箭头。用尺子画一条长长的直线，在右端画箭头表示正方向，在靠左的位置标出 0（学了负数以后，就把 0 放在中间）。

刻度之间的距离要相等，比如方格纸上每两格一个刻度，每个刻度下面写一个数：0、1、2、3。每一段都必须一样长，因为孩子是把距离当作数量来读的。

怎样用数轴做加减法：一步一步来

数轴把加法变成向右跳，把减法变成向左跳。下面以 3 + 4 和 9 − 5 为例。

1. 找到起点。 用手指或一个点按住第一个数：3 + 4 从 3 开始，9 − 5 从 9 开始。
2. 定好方向。 加号向右跳，往大的数走；减号向左跳，往小的数走。
3. 开始跳。 加上或减去几个 1，就画几条弧线：从 3 向右跳四次，从 9 向左跳五次。
4. 大声数跳了几次。 每跳一次落地时说“一、二、三、四”，离开起点时不数。
5. 读出落点。 从 3 跳四次落在 7，所以 3 + 4 = 7。从 9 往回跳五次落在 4，所以 9 − 5 = 4。
6. 倒过来检查。 从 7 往回跳 4 次，应该回到 3。这样就把加法和减法连在了一起，数的分与合讲的也是这个联系。

数跳了几次，不要数刻度

跳的规则是孩子最容易出错的地方。算 3 + 4 时，如果孩子一边点刻度一边数“3、4、5、6”，就会落在 6，少了 1，因为把起点也数进去了。答案是跨过了几段，而不是碰到了几个刻度。

从起点往后数，美国从幼儿园就开始练。美国共同核心标准 K.CC.A.2要求孩子“从已知序列中的某个数开始往后数（而不必从 1 开始）”，1.OA.C.5要求孩子“把数数和加减法联系起来（例如往后数 2 来加 2）”。在数轴上从 3 数到 7，做的正是这件事。

从幼儿园到六年级：数轴怎样一路用下去

数轴跟着孩子一起长大，从一条数数的跑道，变成能放下分数、小数和负数的直线。下表是美国共同核心标准的安排。

在国内，“数轴”这个名称是到初中才正式出现的。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》中，数学课程标准第四学段（7～9年级）“有理数”的内容要求是：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义。

在美国，数轴到二年级就成了算大数的工具。标准 2.MD.B.6要求孩子“在数轴图上把整数表示为从 0 开始的长度”，并“在数轴图上表示 100 以内整数的和与差”。孩子在这里认识空白数轴：一条空白的直线，只写上需要用到的数。

算 38 + 25，孩子先写 38，跳 +10 到 48，再跳 +10 到 58，跳 +2 到 60，再跳 +3 到 63。算 52 − 17，可以从 17 往上数：+3 到 20，+30 到 50，+2 到 52，3 + 30 + 2 = 35。从任意一个数开始十个十个地跳，就是在直线上跳着数；跳到最近的整十数，就是四舍五入背后的那幅图。

在数轴上表示分数和小数

在数轴上表示分数，要把 0 到 1 这一段平均分成几份。美国标准 3.NF.A.2要求三年级学生“把分数理解为数轴上的一个数”，做法是“把 0 到 1 这一段看作整体”，再“把它平均分成 b 份”。表示四分之几，就把这一段平均分成 4 份：每一份是 ¼，三份到 ¾ 为止。

跳两次 ¼ 和 ½ 落在同一个点上，所以 2/4 和 ½ 相等。跳四次落在 1，第五次落在 1¼，已经过了 1。写给家长的分数讲解讲了和这些相配的分数用语。

小数在美国四年级出现。标准 4.NF.C.6要求学生“用小数表示分母是 10 或 100 的分数”，它的例子把 0.62 放在数轴上：0 到 1 平均分成 10 份是十分之一，每个十分之一再平均分成 10 份就是百分之一。

数轴上的负数

数轴上的负数在 0 的左边，和正数左右对称。美国标准 6.NS.C.6要求六年级学生把“前几个年级熟悉的数轴图和坐标轴”延伸到负数，并且“认识到符号相反的数表示数轴上位于 0 两侧的位置”。国内课标把这部分放在七年级。

3 和 −3 互为相反数：它们离 0 都是 3 个单位，只是在 0 的两侧。这个距离就是绝对值。OpenStax 用一句话下定义：“一个数的绝对值就是它在数轴上到 0 的距离。”标准 6.NS.C.7 用欠款举例：账户余额 −30 美元写成 |−30| = 30，就是欠款的多少。

右边的数总是更大，所以标准 6.NS.C.7 要求学生“把 −3 > −7 理解为 −3 在 −7 的右边”，−3 °C 也比 −7 °C 暖和。完整的符号法则见负数讲解。

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数轴上的空心圆圈和实心圆点

数轴上的空心圆圈表示圆圈处的数不包括在内，实心圆点表示包括在内。数轴表示一段数时会用到圆圈，比如所有大于 2 的数。x > 2 在 2 处画空心圆圈，再向右画箭头，因为 2 不大于 2。

x ≥ 2 在 2 处画实心圆点，因为“大于或等于”把 2 也包括进去了。< 和 > 用空心圆圈，≤ 和 ≥ 用实心圆点。

在家怎样练数轴，怎样看孩子有没有进步

在家练数轴，最好用一条孩子能在上面走的数轴。在地板上贴一条美纹纸胶带，用便利贴标出 0 到 10，每两个数之间隔一大步，然后喊“从 4 开始，跳 3 步”。孩子跳过去，每落地一次数一下，最后说出停在哪里：7。

一两周后把游戏搬到纸上：画一条直线，只写起点，让孩子自己标出每一跳。再往后，把 0 放到胶带中间，左边贴上 −1 到 −5。温度计就是一条竖着的数轴，它通往平面直角坐标系，在那里两条数轴在 0 处垂直相交。

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五道小题检查孩子会不会用数轴

五道小题就能看出孩子是不是真的懂数轴。每天问一两道，让孩子自己画数轴。

• 往后数： 用跳的方法算 6 + 5。跳 4 步到 10，再跳 1 步落在 11。
• 减法： 在空白数轴上算 43 − 18。先往回跳 10 到 33，再跳 8 到 25。
• 分数： 在 0 和 1 之间标出 ¾。这一段要平均分成 4 份，¾ 在第三个刻度上。
• 大小： −4 和 −1 哪个大？−1 大，因为 −1 在 −4 的右边。
• 距离： 从 −2 到 3 有多远？到 0 是 2 个单位，再到 3 是 3 个单位，一共 5 个单位。

一周内答对四五道的孩子，可以进入表里的下一行。前两道总是差 1 的孩子是在数刻度，还需要再在地板上跳一周。

数轴上的常见错误

数轴作业里的错答大多来自四种错误，每种都有简单的改法。

• 数刻度而不是数跳了几次： 算 3 + 4 时数“3、4、5、6”会落在 6。只数落地，从第一跳开始数。
• 间隔不相等： 手画的数轴刻度挤在一起，会让 7 看起来离 5 比离 9 近。用方格纸或尺子，保证每一段一样长。
• 从 1 开始画： 没有 0 的数轴少了第一段，2 + 3 或者从 0 开始量的长度就会算错。一定先画出 0 并标上。
• 把负数读反： 孩子以为 −6 比 −2 大，因为 6 比 2 大，这是没看位置。问问孩子哪个数在数轴上更靠右。

特殊情况：双数轴

双数轴是上下对齐画的两条数轴，刻度一一对应，用来表示一个比。美国标准 6.RP.A.3把“双数轴图”列为六年级学生解比和比率问题的工具之一。

以 3 个苹果 2 元为例：上面的数轴数苹果 0、3、6、9、12，下面的数轴在同样的刻度下数钱 0、2、4、6、8。从 12 个苹果直接往下读，得到 8 元。比的讲解用表格讲了同一个想法。

数轴检查清单和下一步

• 原点： 先画出 0 并标上，右端画箭头表示正方向。
• 间隔： 用方格纸或尺子，让每一段一样长。
• 方向： 加向右跳，减向左跳，右边的数更大。
• 跳： 数落地的次数，不数起点的刻度。
• 分数： 先把 0 到 1 平均分好，再标数。
• 圆圈： < 和 > 用空心圆圈，≤ 和 ≥ 用实心圆点。

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