Qu'est-ce qu'une droite graduée, et comment votre enfant s'en sert du CP aux nombres relatifs

Une bande de ruban adhésif sur le sol de la cuisine, des cubes posés à intervalles réguliers et un enfant qui saute de l'un à l'autre : voilà une droite graduée, et elle accompagne les devoirs du CP à la 5e. La question « qu'est-ce qu'une droite graduée ? » arrive souvent avec un exercice qui dit « utilise la droite graduée pour calculer ». Une droite graduée est une droite où les nombres sont rangés dans l'ordre à intervalles égaux, et les enfants s'en servent pour compter, faire des bonds et placer fractions et nombres négatifs.

Qu'est-ce qu'une droite graduée ?

Une droite graduée range les nombres dans l'ordre à intervalles égaux. Wikipédia en anglais la décrit comme « une représentation graphique d'une droite qui sert de représentation spatiale des nombres ». On choisit un point comme origine 0, les graduations de part et d'autre sont régulièrement espacées, et une flèche indique le sens dans lequel les nombres augmentent.

Sur une droite graduée scolaire, les nombres plus grands sont à droite. Le manuel OpenStax Prealgebra 2e énonce la règle simplement : « les nombres positifs sont à droite de zéro. Les nombres négatifs sont à gauche de zéro. » Un nombre placé à droite est toujours plus grand qu'un nombre placé à sa gauche, et c'est l'image qui se cache derrière les signes supérieur à et inférieur à.

Comment tracer une droite graduée qui fonctionne

Une droite graduée qui fonctionne a quatre éléments : un 0, des intervalles égaux, des graduations et des flèches. Tracez à la règle une longue droite, mettez une flèche à chaque bout pour montrer que les nombres continuent, et placez le 0 près de l'extrémité gauche (ou au milieu quand les nombres négatifs arrivent). À l'école primaire, on trace surtout une demi-droite graduée, qui part de 0 et ne va que vers la droite.

Espacez les graduations de la même distance, par exemple deux carreaux sur un cahier à petits carreaux, et écrivez un nombre sous chacune : 0, 1, 2, 3. Chaque intervalle doit avoir la même longueur, car un enfant lit la distance comme une quantité.

Comment additionner et soustraire sur une droite graduée, étape par étape

Une droite graduée transforme l'addition en bonds vers la droite et la soustraction en bonds vers la gauche, comme ici pour 3 + 4 et 9 − 5.

1. Trouvez le départ. Posez un doigt ou un point sur le premier nombre : 3 pour 3 + 4, 9 pour 9 − 5.
2. Choisissez le sens. Plus veut dire un bond vers la droite, vers les nombres plus grands. Moins veut dire un bond vers la gauche, vers les nombres plus petits.
3. Faites les bonds. Dessinez un bond arrondi pour chaque unité ajoutée ou retirée : quatre bonds vers la droite depuis 3, cinq bonds vers la gauche depuis 9.
4. Comptez les bonds à voix haute. Dites « un, deux, trois, quatre » à chaque arrivée, jamais au moment où vous quittez un nombre.
5. Lisez le point d'arrivée. Quatre bonds depuis 3 arrivent sur 7, donc 3 + 4 = 7. Cinq bonds en arrière depuis 9 arrivent sur 4, donc 9 − 5 = 4.
6. Vérifiez dans l'autre sens. Partez de 7 et faites 4 bonds en arrière : vous devez retomber sur 3. Ce geste relie l'addition et la soustraction, le même lien que travaillent les décompositions des nombres.

Comptez les bonds, pas les graduations

La règle des bonds est le point où les enfants se trompent le plus souvent. Un enfant qui calcule 3 + 4 en touchant les graduations et en disant « 3, 4, 5, 6 » arrive sur 6, un de moins, parce qu'il a compté le point de départ. La réponse correspond au nombre d'intervalles franchis.

Les petits s'exercent déjà à ce geste. Aux États-Unis, le standard Common Core K.CC.A.2 demande en kindergarten de « compter en avançant à partir d'un nombre donné (au lieu de devoir commencer à 1) », et le standard 1.OA.C.5 demande de « relier le comptage à l'addition et à la soustraction (par exemple en comptant 2 de plus pour ajouter 2) ». Compter de 3 jusqu'à 7 en avançant, c'est ce standard sur une droite graduée.

La droite graduée du CP à la 5e

La droite graduée grandit avec votre enfant, de la bande numérique du CP à la droite qui accueille fractions, décimaux et nombres relatifs. Le tableau suit les programmes français des cycles 2, 3 et 4.

Le CP pose les bases. Le programme de mathématiques du cycle 2 demande que l'élève sache « associer un nombre à un point sur une demi-droite graduée, en faisant le lien avec la distance qui sépare ce point de l'origine du repère », en s'appuyant sur la règle graduée. Au CE1, il place des nombres sur une demi-droite graduée « de un en un, ou de dix en dix, ou de cent en cent ». Aux États-Unis, le standard 2.MD.B.6 demande en grade 2 (l'équivalent du CE1) de « représenter des sommes et des différences de nombres entiers jusqu'à 100 sur une droite graduée ».

C'est là que l'enfant rencontre la droite graduée « vide » : une simple droite avec seulement les nombres utiles. Pour 38 + 25, il écrit 38, fait un bond de +10 jusqu'à 48, +10 jusqu'à 58, +2 jusqu'à 60 et +3 jusqu'à 63. Pour 52 − 17, il peut compter en avançant depuis 17 : +3 jusqu'à 20, +30 jusqu'à 50, +2 jusqu'à 52, et 3 + 30 + 2 = 35. Avancer de dix en dix depuis n'importe quel nombre, c'est compter par bonds sur une droite, et sauter jusqu'à la dizaine la plus proche est l'image qui explique l'arrondi des nombres.

Fractions et nombres décimaux sur une droite graduée

Une fraction se place sur une droite graduée en coupant l'espace de 0 à 1 en parts égales. Au CE2, le programme du cycle 2 fait partager une unité de longueur pour « positionner des fractions sur une bande-unité graduée », et le programme du cycle 3 demande au CM1 de « placer une fraction ou la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée ». Aux États-Unis, le standard 3.NF.A.2 le fait en grade 3 en « définissant l'intervalle de 0 à 1 comme le tout ». Pour les quarts, coupez l'espace en 4 parts égales : chaque part vaut ¼, et trois parts s'arrêtent sur ¾.

Deux bonds de ¼ arrivent au même point que ½, donc 2/4 et ½ sont égaux. Quatre bonds arrivent sur 1, et un cinquième arrive sur 1 + ¼, au-delà de 1. Le guide sur les fractions expliquées aux parents reprend le vocabulaire qui va avec.

Les nombres décimaux suivent au CM1, où le programme demande de « placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée ». Le standard américain 4.NF.C.6 place 0,62 sur une droite graduée : 10 parts de 0 à 1 donnent les dixièmes, et 10 parts à l'intérieur d'un dixième donnent les centièmes.

Les nombres négatifs sur une droite graduée

Les nombres négatifs se placent à gauche de 0 sur une droite graduée, comme le reflet des nombres positifs. En France, ils arrivent en 5e : le programme du cycle 4 demande de « définir l'opposé et la valeur absolue d'un nombre » et de « lire l'abscisse d'un nombre relatif sur une droite graduée ». C'est aussi le moment où la demi-droite graduée devient une droite entière. Aux États-Unis, le standard 6.NS.C.6 le fait en grade 6.

Les nombres 3 et −3 sont opposés : chacun est à 3 intervalles de 0, de part et d'autre. Cette distance est la valeur absolue. OpenStax la définit en une ligne : « la valeur absolue d'un nombre est sa distance à 0 sur la droite graduée ». Le standard 6.NS.C.7 prend l'exemple d'une dette : un solde de −30 € s'écrit |−30| = 30, le montant de la dette.

Le nombre placé à droite est toujours le plus grand, donc le standard 6.NS.C.7 demande d'« interpréter −3 > −7 comme le fait que −3 est situé à droite de −7 », et −3 °C est plus chaud que −7 °C. Toutes les règles de signes sont dans le guide sur les nombres négatifs.

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Ronds vides et ronds pleins sur une droite graduée

Un rond vide sur une droite graduée veut dire que le nombre du rond est exclu, et un rond plein (colorié) veut dire qu'il est compris. Les ronds apparaissent quand la droite graduée montre un ensemble de nombres, par exemple tous les nombres strictement supérieurs à 2. La représentation de x > 2 a un rond vide en 2 et une flèche vers la droite, car 2 n'est pas strictement supérieur à 2.

La représentation de x ≥ 2 a un rond plein en 2, car « supérieur ou égal à » inclut 2. Les ronds viennent des manuels américains ; en France, on dessine souvent un crochet, tourné vers les solutions quand la borne est comprise et vers l'extérieur quand elle est exclue.

S'entraîner sur la droite graduée à la maison, et vérifier les progrès

S'entraîner sur la droite graduée à la maison marche le mieux avec une droite sur laquelle votre enfant peut marcher. Collez du ruban adhésif au sol, marquez 0 à 10 avec des post-it espacés d'un grand pas, et annoncez « pars de 4, fais 3 bonds ». Votre enfant saute, compte chaque arrivée et dit où il s'arrête : 7.

Passez au papier après une ou deux semaines : tracez une droite, écrivez seulement le nombre de départ et laissez votre enfant dessiner les bonds. Plus tard, placez le 0 au milieu du ruban avec −1 à −5 à gauche. Un thermomètre est une droite graduée verticale, et il prépare le repère du plan, où deux droites graduées se croisent en 0.

Jouer gratuitement dans le navigateurArrondir les nombresCE2–CM1

Cinq questions pour vérifier la droite graduée

Cinq petites questions montrent si votre enfant comprend la droite graduée. Posez-en une ou deux par jour et laissez votre enfant tracer la droite.

• Compter en avançant : calculez 6 + 5 par bonds. Un bond de 4 arrive à 10, et 1 de plus arrive sur 11.
• Soustraire : calculez 43 − 18 sur une droite vide. Reculez de 10 jusqu'à 33, puis de 8 jusqu'à 25.
• Fractions : placez ¾ entre 0 et 1. La droite a besoin de 4 parts égales, et ¾ est sur la troisième graduation.
• Ordre : lequel est le plus grand, −4 ou −1 ? La réponse est −1, car −1 est à droite de −4.
• Distance : quelle distance sépare −2 de 3 ? Deux intervalles jusqu'à 0, plus 3 intervalles jusqu'à 3, font 5.

Un enfant qui réussit quatre ou cinq questions dans la semaine est prêt pour la ligne suivante du tableau des classes. Un enfant qui se trompe de 1 sur les deux premières questions compte les graduations, et il lui faut une semaine de plus de sauts au sol.

Les erreurs fréquentes sur la droite graduée

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses dans les devoirs sur la droite graduée, et chacune se corrige vite.

• Compter les graduations au lieu des bonds : pour 3 + 4, compter « 3, 4, 5, 6 » arrive sur 6. Comptez seulement les arrivées, en commençant par le premier bond.
• Des intervalles inégaux : une droite tracée à main levée avec des graduations serrées fait paraître 7 plus proche de 5 que de 9. Utilisez un cahier à carreaux ou une règle pour que chaque intervalle ait la même longueur.
• Commencer à 1 : une droite sans 0 cache le premier intervalle, et 2 + 3 ou une longueur mesurée depuis 0 donnent un mauvais résultat. Tracez et écrivez toujours le 0.
• Lire les négatifs à l'envers : un enfant qui pense que −6 est plus grand que −2 parce que 6 est plus grand que 2 ignore la position. Demandez lequel est le plus à droite sur la droite.

Cas particulier : la double droite graduée

Une double droite graduée est formée de deux droites graduées tracées l'une au-dessus de l'autre, avec des graduations alignées, et elle montre une situation de proportionnalité. Aux États-Unis, le standard 6.RP.A.3 cite les « double number line diagrams » parmi les outils de grade 6 pour les problèmes de rapports et de vitesses ; en France, on travaille plutôt la même idée avec un tableau de proportionnalité.

Prenez 3 pommes pour 2 € : la droite du haut compte 0, 3, 6, 9, 12 pommes, et celle du bas compte 0, 2, 4, 6, 8 € sous les mêmes graduations. En lisant à la verticale sous 12 pommes, on trouve 8 €. Le guide sur les ratios montre la même idée sous forme de tableau.

Votre liste de contrôle sur la droite graduée et la suite

• Zéro : tracez et écrivez d'abord le 0, avec une flèche au bout.
• Intervalles : donnez la même longueur à chaque intervalle, avec un cahier à carreaux ou une règle.
• Sens : plus fait un bond vers la droite, moins vers la gauche, et le nombre de droite est le plus grand.
• Bonds : comptez les arrivées, jamais la graduation de départ.
• Fractions : coupez l'espace de 0 à 1 en parts égales avant d'écrire les nombres.
• Ronds : vide pour < et >, plein pour ≤ et ≥.

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