Hva en tallinje er, og hvordan barn bruker tallinjen fra telling til negative tall

En stripe tape over kjøkkengulvet, klosser med like store steg og et barn som hopper fra den ene til den neste: det er en tallinje, og den følger leksene fra 1. trinn til ungdomsskolen. Spørsmålet «hva er en tallinje?» dukker gjerne opp når oppgavearket sier «bruk tallinjen». En tallinje er en rett linje med tallene i rekkefølge og like store mellomrom, og barn bruker den til å telle, hoppe og plassere brøker og negative tall.

Hva er en tallinje?

En tallinje setter tallene i rekkefølge med like store mellomrom. Wikipedia beskriver den som «en grafisk framstilling av en rett linje som fungerer som en romlig representasjon av tall». Ett punkt velges som 0, merkene på begge sider står med like store mellomrom, og en pil viser retningen der tallene blir større.

På en skoletallinje står de større tallene til høyre. OpenStax Prealgebra 2e sier regelen rett ut: «positive tall ligger til høyre for null. Negative tall ligger til venstre for null.» Et tall til høyre er alltid større enn et tall til venstre for det, og derfor er tallinjen bildet bak større enn- og mindre enn-tegnene.

Slik tegner du en tallinje som fungerer

En tallinje som fungerer, har fire deler: en 0, like store mellomrom, streker og piler. Tegn en lang, rett linje med linjal, sett en pilspiss i hver ende for å vise at tallene fortsetter, og merk 0 nær venstre ende (eller midt på når de negative tallene kommer).

Sett strekene like langt fra hverandre, for eksempel to ruter på rutepapir, og skriv ett tall under hver: 0, 1, 2, 3. Hvert mellomrom må være like stort, fordi barnet leser avstand som mengde.

Slik bruker du tallinjen til å legge sammen og trekke fra, steg for steg

Tallinjen gjør addisjon til hopp mot høyre og subtraksjon til hopp mot venstre, her vist for 3 + 4 og 9 − 5.

1. Finn startpunktet. Sett en finger eller en prikk på det første tallet: 3 for 3 + 4, 9 for 9 − 5.
2. Velg retning. Pluss betyr hopp mot høyre, mot større tall. Minus betyr hopp mot venstre, mot mindre tall.
3. Ta hoppene. Tegn én buet hoppbue for hver 1 du legger til eller tar bort: fire hopp mot høyre fra 3, fem hopp mot venstre fra 9.
4. Tell hoppene høyt. Si «én, to, tre, fire» når hvert hopp lander, aldri når du forlater et tall.
5. Les av hvor du lander. Fire hopp fra 3 lander på 7, så 3 + 4 = 7. Fem hopp tilbake fra 9 lander på 4, så 9 − 5 = 4.
6. Sjekk andre veien. Start på 7 og hopp 4 tilbake; da skal du være på 3 igjen. Det knytter addisjon og subtraksjon sammen, den samme koblingen som tallvenner lærer bort.

Tell hoppene, ikke strekene

Hopperegelen er den delen barn oftest gjør feil. Et barn som regner 3 + 4 og teller «3, 4, 5, 6» mens det peker på strekene, lander på 6, én for lite, fordi startpunktet ble telt med. Svaret er antall mellomrom du krysser.

Allerede de yngste øver på dette grepet. I Norge skal eleven etter 2. trinn kunne «telle både framlengs og baklengs, velge ulike startpunkter og ulik differanse» og «plassere tall på tallinjen og bruke tallinjen i regning og problemløsing», ifølge kompetansemålene etter 2. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden K.CC.A.2 barna i førskoleklassen om å telle videre fra et gitt tall i stedet for å begynne på 1, og 1.OA.C.5 ber dem knytte telling til addisjon og subtraksjon. Å telle videre fra 3 til 7 er nettopp det målet, tegnet på en tallinje.

Tallinjen fra 1. til 7. trinn

Tallinjen vokser med barnet ditt, fra et tellespor til linjen som rommer brøker, desimaltall og negative tall. Tabellen viser hvor den dukker opp i LK20, med den amerikanske Common Core-standarden ved siden av.

De første trinnene er der tallinjen blir et verktøy for større summer. I USA ber standarden 2.MD.B.6 barna om å vise hele tall som lengder fra 0 og summer og differanser opp til 100 på en tallinje. Her møter barna den tomme tallinjen (også kalt åpen tallinje): en blank linje med bare de tallene de trenger.

For 38 + 25 skriver barnet 38, hopper +10 til 48, +10 til 58, +2 til 60 og +3 til 63. For 52 − 17 kan barnet telle opp fra 17: +3 til 20, +30 til 50, +2 til 52, og 3 + 30 + 2 = 35. Å hoppe med tiere fra et hvilket som helst tall er hopptelling på en linje, og å hoppe til nærmeste tier er bildet bak avrunding av tall.

Brøk og desimaltall på tallinjen

Brøker plasseres på tallinjen ved å dele strekningen fra 0 til 1 i like store deler. LK20 sier at eleven etter 5. trinn skal kunne «beskrive brøk som del av en hel, som del av en mengde, som en divisjon og som tall på tallinjen» (kompetansemål etter 5. trinn). I USA ber standarden 3.NF.A.2 elever i 3. klasse om å forstå en brøk som et tall på tallinjen ved å la strekningen fra 0 til 1 være den hele og dele den i b like deler. For fjerdedeler deler du strekningen i 4 like deler: hver del er ¼, og tre av dem ender på ¾.

To hopp på ¼ lander på samme punkt som ½, så 2/4 og ½ er like store. Fire hopp lander på 1, og et femte lander på 1¼, forbi 1. Guiden om brøk for foreldre tar for seg brøkordene som hører med.

Desimaltallene kommer etterpå. Etter 6. trinn skal eleven kunne «beskrive og plassere desimaltall på tallinjen og sammenligne tall med ulikt antall desimaler» (kompetansemål etter 6. trinn). Den amerikanske standarden 4.NF.C.6 plasserer 0,62 på en tallinje som eksempel: 10 deler fra 0 til 1 gir tideler, og 10 deler inne i én tidel gir hundredeler.

Negative tall på tallinjen

Negative tall ligger til venstre for 0 på tallinjen, som et speilbilde av de positive tallene. I LK20 skal eleven etter 7. trinn kunne «bruke og utforske negative tall både praktisk og teoretisk» (kompetansemål etter 7. trinn). I USA ber standarden 6.NS.C.6 elever i 6. klasse om å utvide tallinjene de kjenner, til negative tall, og å se motsatte fortegn som plasseringer på hver sin side av 0.

Tallene 3 og −3 er motsatte tall: hvert av dem står 3 mellomrom fra 0, på hver sin side. Den avstanden er tallverdien (absoluttverdien). OpenStax definerer den på én linje: «Absoluttverdien til et tall er avstanden fra 0 på tallinjen.» Standarden 6.NS.C.7 bruker gjeld som eksempel: en kontosaldo på −30 dollar skrives |−30| = 30, størrelsen på gjelden.

Tallet til høyre er alltid størst, så standarden 6.NS.C.7 ber elevene tolke −3 > −7 som at −3 ligger til høyre for −7, og −3 °C er varmere enn −7 °C. Alle fortegnsreglene står i guiden om negative tall.

Spill gratis i nettleserenSammenlign tallBarnehage–1. trinn

Åpne og fylte sirkler på tallinjen

En åpen sirkel på tallinjen betyr at tallet ved sirkelen er utelatt, og en fylt sirkel betyr at det er med. Sirkler dukker opp når tallinjen viser et område av tall, for eksempel alle tall større enn 2. Grafen til x > 2 har en åpen sirkel ved 2 og en pil mot høyre, fordi 2 ikke er større enn 2.

Grafen til x ≥ 2 har en fylt sirkel ved 2, fordi «større enn eller lik» slipper 2 inn. Bruk åpen sirkel for < og > og fylt sirkel for ≤ og ≥.

Øving med tallinjen hjemme, og slik ser du framgangen

Øving med tallinjen hjemme fungerer best med en linje barnet kan gå på. Sett malertape på gulvet, merk 0 til 10 med lapper ett langt steg fra hverandre, og rop «start på 4, hopp 3». Barnet hopper, teller hver landing og sier hvor det endte: 7.

Flytt leken over på papir etter en uke eller to: tegn en linje, skriv bare starttallet, og la barnet merke hoppene. Senere setter du 0 midt på tapen med −1 til −5 til venstre. Et termometer er en loddrett tallinje, en bro over til koordinatsystemet, der to tallinjer krysser hverandre i 0.

Spill gratis i nettleserenAvrunding3.–4. trinn

En sjekk med fem spørsmål om tallinjen

Fem korte spørsmål viser om barnet ditt forstår tallinjen. Still ett eller to om dagen, og la barnet tegne linjen.

• Telle videre: regn 6 + 5 med hopp. Et hopp på 4 når 10, og 1 til lander på 11.
• Trekke fra: regn 43 − 18 på en tom tallinje. Hopp 10 tilbake til 33, så 8 til 25.
• Brøk: merk ¾ mellom 0 og 1. Linjen trenger 4 like deler, med ¾ ved det tredje merket.
• Rekkefølge: hva er størst, −4 eller −1? Svaret er −1, fordi −1 ligger til høyre for −4.
• Avstand: hvor langt er det fra −2 til 3? To mellomrom til 0 pluss 3 mellomrom til 3 blir 5.

Et barn som får fire eller fem riktige i løpet av en uke, er klart for neste rad i tabellen over trinnene. Et barn som bommer med én på de to første spørsmålene, teller streker og trenger en uke til med hopping på gulvet.

Vanlige feil på tallinjen

Fire feil står bak de fleste gale svarene i lekser med tallinje, og hver av dem har en rask løsning.

• Å telle streker i stedet for hopp: for 3 + 4 lander «3, 4, 5, 6» på 6. Tell bare landingene, og begynn med det første hoppet.
• Ujevne mellomrom: en håndtegnet linje med klemte streker får 7 til å se nærmere 5 enn 9 ut. Bruk rutepapir eller linjal, så hvert mellomrom blir like stort.
• Å starte på 1: en linje uten 0 skjuler det første mellomrommet, så 2 + 3 eller en lengde fra 0 blir feil. Tegn og merk alltid 0.
• Å lese negative tall baklengs: et barn som tror −6 er større enn −2 fordi 6 er større enn 2, overser plasseringen. Spør hvilket av dem som ligger lengst til høyre på linjen.

Spesialtilfelle: den doble tallinjen

En dobbel tallinje er to tallinjer tegnet over hverandre med merker som står rett under hverandre, og den viser et forhold. Den amerikanske standarden 6.RP.A.3 nevner doble tallinjediagrammer blant verktøyene elever i 6. klasse bruker til oppgaver med forhold og rater.

Ta 3 epler for 10 kroner: den øverste linjen teller epler 0, 3, 6, 9, 12, og den nederste teller kroner 0, 10, 20, 30, 40 under de samme merkene. Leser du rett ned fra 12 epler, får du 40 kroner. Guiden om forhold viser den samme ideen som en tabell.

Sjekklisten din for tallinjen og neste steg

• Null: tegn og merk 0 først, med piler i begge ender.
• Mellomrom: gjør hvert mellomrom like stort, med rutepapir eller linjal.
• Retning: pluss hopper mot høyre, minus mot venstre, og tallet til høyre er størst.
• Hopp: tell landingene, aldri streken du starter på.
• Brøk: del strekningen fra 0 til 1 i like store deler før du skriver tallene.
• Sirkler: åpen for < og >, fylt for ≤ og ≥.

De gratis spillene for å sammenligne tall og avrunde tall spilles i nettleseren uten registrering og øver på den samme «hvilken side av linjen»-tenkningen. Den gratis MathIt-appen for iOS og Android har rundt 90 spilltyper med adaptiv vanskegrad, for noen minutter med daglig øving.