Räkneordningen, steg för steg med räknade exempel

Vad är regeln, i en mening?

Prioriteringsreglerna arbetar igenom ett uttryck i en fast ordning: parenteser först, sedan potenser, sedan multiplikation och division tillsammans från vänster till höger, och sist addition och subtraktion tillsammans från vänster till höger. Den meningen är hela regeln.

Regeln är en skrivkonvention, överenskommen så att alla som läser 4 + 3 × 5 landar på samma tal. Common Core-standarderna i matematik säger just det, när de ber eleverna i årskurs 6 (6.EE.2c) att räkna "i den konventionella ordningen när inga parenteser anger en särskild ordning". Utan den överenskommelsen adderar en person först och får 35, en annan multiplicerar först och får 19. Med den är svaret 19: 3 × 5 först, sedan plus 4.

Parenteser är nödbromsen: när en rad är förvirrande är fler parenteser alltid rätt lösning.

Är PEMDAS, BODMAS och BIDMAS olika regler?

PEMDAS, BODMAS och BIDMAS är en enda konvention under olika minnesramsor, och vilken du mötte beror på var du gick i skolan. I svensk skola lärs samma ordning ut utan ramsa, bara som prioriteringsreglerna.

Tre detaljer spelar roll:

• Parentes och klammer är samma sak, och potens, exponent, index och upphöjt till betyder alla 3² eller 2³.
• PEMDAS sätter M före D och BODMAS sätter D före M, vilket inte ändrar något, eftersom de två räknesätten har samma rang.
• Varje version döljer den viktigaste delen av regeln, att vänster till höger avgör.

Minnesramsorna är en klassrumsvana och står inte i läroplanstexten. Skolverkets kommentarmaterial till kursplanen i matematik nämner ingen ramsa alls: för årskurs 4–6 står det att eleven möter "grundläggande räknelagar och prioriteringsregler, till exempel för att beräkna uttryck som 2 + 3 · 5". Den engelska läroplanen i matematik trycker på samma sätt aldrig BIDMAS, utan ber eleverna i Year 6 att använda sina kunskaper om räkneordningen i beräkningar med de fyra räknesätten.

Vad har de flesta fel om?

Det vanligaste misstaget med prioriteringsreglerna är att läsa ramsan som sex steg. Det är fyra, eftersom multiplikation och division delar ett och addition och subtraktion delar ett annat.

1. Parenteser, det innersta paret först.
2. Potenser.
3. Multiplikation och division, från vänster till höger.
4. Addition och subtraktion, från vänster till höger.

Inom ett steg läser du raden från vänster till höger. Tre korta rader visar poängen, var och en med det felsvar som ramsan lockar fram:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Fällan: 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Fällan: 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Fällan: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Varje felsvar kommer av att man lyder ramsan bokstav för bokstav i stället för att läsa från vänster till höger. När en rad innehåller både × och ÷, eller både + och −, säg vilket som står längst till vänster innan du räknar något.

Fem räknade exempel, steg för steg

De fem räknade exemplen går i stigande svårighet, från en enda multiplikation upp till parenteser i parenteser med en potens, var och en skriven med ett steg per rad.

1. 4 + 3 × 5

Multiplikation går före addition, så den kommer först.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Svar: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Parenteser kommer först, vad som än står i dem.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Svar: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Uttrycket 20 − 12 ÷ 4 × 2 har inga parenteser och inga potenser, så arbetet börjar i steg 3 och läses från vänster till höger. Divisionen står längst till vänster.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Svar: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potensen hör till trean ensam och når inte tvåan.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Svar: 23. Kvadrater dyker upp hela tiden när potenser är med i bilden; spelet om kvadrattal nöter in dem.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parenteser i parenteser räknas inifrån och ut: först det innersta paret, sedan den yttre parentesen med samma fyra steg, sedan potensen, multiplikationen och subtraktionen.

1. 10 − 4 = 6, så raden blir 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Inne i parentesen, division före addition: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, så raden blir 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Svar: 65.

Att skriva ett steg per rad stoppar slarvet med vänster till höger, och spelet om prioriteringsregler använder det formatet när det visar ett missat svar.

Spela gratis i webbläsarenRäkneordningÅk 5+

Varför splittrar 6 ÷ 2(1 + 2) internet?

Uttrycket 6 ÷ 2(1 + 2) splittrar internet för att det är tvetydigt skrivet, medan aritmetiken i det är lätt. Med några års mellanrum går en sådan rad viralt, hälften av kommentarerna säger 1 och hälften säger 9 eller 16, och båda sidor kan citera en regel åt dig.

Tillämpar du konventionen som den lärs ut får du:

• 6 ÷ 2(1 + 2) blir 6 ÷ 2 × 3, sedan 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) blir 8 ÷ 2 × 4, sedan 4 × 4 = 16

I båda raderna bär parentesen en multiplikation där tecknet är utelämnat. Standardläsningen ger den samma rang som divisionen, så vänster till höger avgör ordningen.

Det andra lägret läser 2(1 + 2) som en enda hopklistrad storhet, eftersom en multiplikation utan tecken ser tätare ut än ett divisionstecken. Det ger 6 ÷ 6 = 1 och 8 ÷ 8 = 1, och den läsningen har tungt stöd: Oliver Knill vid Harvards matematiska institution går igenom båda konventionerna och slår fast att en sådan rad är genuint tvetydig. Texas Instruments dokumenterar att TI-80, TI-81, TI-82 och TI-85 gav underförstådd multiplikation högre prioritet, medan TI-83, TI-84 Plus, TI-89 och TI-Nspire rankar den lika, vilket är varför två miniräknare i samma rum visar olika svar.

Bråket handlar om en lucka i notationen som ingen ramsa täckte. Den som skriver matematik på allvar använder i stället någon av två entydiga former:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Den praktiska lärdomen: om en läsare rimligen kan få två svar, sätt ut parenteser.

De fyra vanliga misstagen

Fyra fel står för nästan alla felsvar, och tre av dem kommer av att lita på ramsan i stället för på vänster till höger.

1. Att göra M och D till två steg. I 20 − 12 ÷ 4 × 2 ger 4 × 2 = 8 först 18,5; svaret är 14.
2. Att göra A och S till två steg. I 10 − 4 + 3 ger 4 + 3 först 3; svaret är 9.
3. Att låta en potens svälja sin granne. I 2 × 3² hör potensen bara till trean, så raden är 2 × 9 = 18. Att kvadrera 2 × 3 först ger 36.
4. Att utelämna en parentes du menade att skriva. Ett bråkstreck grupperar allt ovanför och nedanför sig; ett divisionstecken på en rad gör det inte. Skriv 12 ÷ 3 + 1 när du menade 3 + 1 under strecket och du får 5 i stället för 3. Skriv 12 ÷ (3 + 1).

Hur gör du regeln automatisk?

Regeln blir automatisk genom korta blandade uttryck som du övar med de fyra stegen framför dig. Att läsa regeln tar två minuter; att använda den under press är en egen färdighet.

Fyra vanor snabbar på det:

1. Öva rader med tre räknesätt. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lär ut mer än ett halvsideslångt uttryck, eftersom ordningen är det enda den testar.
2. Skriv steget du just gjorde, ett per rad, så som de fem räknade exemplen gör.
3. Se till att grundfakta går snabbt först. Om 12 ÷ 4 kostar tre sekunder finns ingen uppmärksamhet kvar till regeln, och knep för huvudräkning som fungerar täcker det lagret.
4. Blanda räknesätten i samma pass. En sida med bara multiplikation testar aldrig ordningen; en blandad sida gör det, och det utskrivbara blandade övningsbladet för årskurs 5 kommer med facit.

Gratis övningsblad att skriva utBlandade räknesätt — elever i årskurs 5Arbetsblad · PDF

Läroplaner tar upp det här i årskurs 5 och 6, precis innan algebran gör det oundvikligt: en rad som 3(x + 4) − 2 kan bara läsas på ett sätt, och spelet lös ut x utgår från att du kan läsa den. Sidan med mattespel för årskurs 5 samlar webbspelen på den nivån.

Tjugotvå av MathIts ungefär 90 speltyper går att spela gratis i en webbläsare utan inloggning, och den gratis appen till iOS och Android lägger till anpassad svårighetsgrad, så uttrycken blir längre först när de korta går rätt.