Räkneordningen, steg för steg med räknade exempel

Vad är regeln, i en mening?

Arbeta dig igenom ett uttryck i den här ordningen: parenteser först, sedan potenser, sedan multiplikation och division tillsammans från vänster till höger, och sist addition och subtraktion tillsammans från vänster till höger. Det är hela regeln. Allt nedan är den meningen tillämpad noggrant.

Det hjälper att veta vad regeln inte är. Ingenting här är bevisat, och ingen naturlag är inblandad. Det är en skrivkonvention, överenskommen så att alla som läser 4 + 3 × 5 landar på samma tal. Utan den adderar en person först och får 35, en annan multiplicerar först och får 19, och ingen kan säga vem som läste fel. Med den är svaret 19: 3 × 5 först, sedan plus 4.

Parenteser är nödbromsen. Allt regeln kan uttrycka kan parenteser uttrycka tydligare — så när en rad är förvirrande är fler parenteser alltid rätt lösning.

Är PEMDAS, BODMAS och BIDMAS olika regler?

Nej. Det är en konvention under olika minnesramsor, beroende på var du gick i skolan. Bokstäverna byts ut; ordningen på arbetet gör det inte. I svensk skola lärs samma ordning ut utan ramsa, bara som prioriteringsreglerna: parenteser, potenser, multiplikation och division, addition och subtraktion.

Tre saker är värda att lägga märke till:

• Parentes och klammer är samma sak. Detsamma gäller potens, exponent och upphöjt till: alla betyder 3² eller 2³.
• PEMDAS sätter M före D och BODMAS sätter D före M. Det ändrar ingenting: de två räknesätten har samma rang. Ramsan var tvungen att trycka en bokstav först; matematiken bryr sig inte.
• Varje version döljer den viktigaste delen av regeln: att vänster till höger avgör.

Vad har de flesta fel om?

De räknar ramsan som sex steg. Det är fyra, eftersom multiplikation och division delar ett, och addition och subtraktion delar ett annat.

1. Parenteser, den innersta paret först.
2. Potenser.
3. Multiplikation och division, från vänster till höger.
4. Addition och subtraktion, från vänster till höger.

Inom ett steg läser du raden som en mening, från vänster till höger, och tar det räknesätt du möter först. Tre korta rader visar poängen, var och en med det felsvar som ramsan lockar fram:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Inte 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Inte 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Inte 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

I samtliga fall kommer felsvaret av att man lyder ramsan bokstav för bokstav i stället för att läsa från vänster till höger. Kontroll av dig själv: när en rad innehåller både × och ÷, eller både + och −, säg vilket som står längst till vänster innan du räknar något.

Fem räknade exempel, steg för steg

Fem rader i stigande svårighet, från en enda multiplikation upp till parenteser i parenteser med en potens. Var och en är skriven med ett steg per rad — formatet att kopiera.

1. 4 + 3 × 5

Multiplikation går före addition, så den kommer först.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Svar: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Parenteser först, vad som än står i dem.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Svar: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Inga parenteser och inga potenser, så börja i steg 3 och läs från vänster till höger. Divisionen står längst till vänster, så den går först.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Svar: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potensen hör till trean ensam, inte till 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Svar: 23. Kvadrater dyker upp hela tiden när potenser är med i bilden, så de är värda att kunna på synen; spelet om kvadrattal nöter in dem.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parenteser i parenteser: lös det innersta paret, avsluta den yttre parentesen med samma fyra steg, sedan potensen, multiplikationen och subtraktionen.

1. 10 − 4 = 6, så raden blir 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Inne i parentesen, division före addition: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, så raden blir 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Svar: 65.

Att skriva ett steg per rad är inte pappersarbete för sakens skull: det är vanan som stoppar slarvet med vänster till höger, och det är formatet som spelet om prioriteringsregler använder när det visar ett missat svar.

Varför splittrar 6 ÷ 2(1 + 2) internet?

För att uttrycket är slarvigt skrivet, inte för att aritmetiken är svår. Med några års mellanrum går en rad som 6 ÷ 2(1 + 2) eller 8 ÷ 2(2 + 2) viralt, hälften av kommentarerna säger 1 och hälften säger 9 eller 16, och båda sidor kan citera en regel åt dig.

Tillämpar du konventionen exakt som den lärs ut får du:

• 6 ÷ 2(1 + 2) blir 6 ÷ 2 × 3, sedan 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) blir 8 ÷ 2 × 4, sedan 4 × 4 = 16

Här är 2(1 + 2) en multiplikation där tecknet är utelämnat. Standardläsningen behandlar den som vanlig multiplikation, med samma rang som divisionen, så vänster till höger avgör ordningen.

Det andra lägret läser 2(1 + 2) som en enda hopklistrad storhet, eftersom en multiplikation utan tecken ser tätare ut än ett divisionstecken. Det ger 6 ÷ 6 = 1 och 8 ÷ 8 = 1. Det är inte gripet ur luften: det är så man läser algebra, där 2x är en enda sak, och miniräknarmodeller är genuint oense, vilket är varför två telefoner i samma rum visar olika svar.

Bråket handlar alltså inte om aritmetik utan om en lucka i notationen som ingen ramsa täckte. Ingen som skriver matematik på allvar skulle publicera den raden; de skulle skriva någon av de här, och då finns inget kvar att gräla om:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Den praktiska lärdomen av hela ämnet: om en läsare rimligen kan få två svar, sätt ut parenteser.

De fyra vanliga misstagen

Fyra fel står för nästan alla felsvar. Tre av dem kommer av att lita på ramsan i stället för på regeln om vänster till höger.

1. Att göra M och D till två steg. I 20 − 12 ÷ 4 × 2 ger 4 × 2 = 8 först svaret 20 − 1,5 = 18,5. Svaret är 14.
2. Att göra A och S till två steg. I 10 − 4 + 3 ger 4 + 3 först svaret 3. Svaret är 9.
3. Att låta en potens svälja sin granne. I 2 × 3² hör potensen bara till trean, alltså 2 × 9 = 18, inte (2 × 3)² = 36.
4. Att utelämna en parentes du menade att skriva. Ett bråkstreck grupperar allt ovanför och nedanför sig; ett divisionstecken på en rad gör det inte. Skriv 12 ÷ 3 + 1 när du menade hela 3 + 1 under strecket och du får 5 i stället för 3. Skriv 12 ÷ (3 + 1).

Hur gör du regeln automatisk?

Genom att öva korta blandade uttryck, inte långa, med de fyra stegen framför dig. Att läsa regeln tar två minuter; att använda den under tidspress är en egen färdighet.

Fyra saker snabbar på det:

1. Öva rader med tre räknesätt, inte monster. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lär ut mer än ett halvsideslångt uttryck, eftersom ordningen är det enda den testar.
2. Skriv steget du just gjorde, ett per rad, som i exemplen ovan.
3. Se till att grundfakta går snabbt först. Om 12 ÷ 4 kostar tre sekunder finns ingen uppmärksamhet kvar till regeln, och knep för huvudräkning som fungerar täcker det lagret.
4. Blanda räknesätten i samma pass. En sida med bara multiplikation testar aldrig ordningen; en blandad sida gör det, vilket är vad det utskrivbara blandade övningsbladet för årskurs 5 är till för, facit inkluderat.

De flesta läroplaner tar upp det här i årskurs 5 och 6, precis innan algebran gör det oundvikligt: när bokstäverna kommer kan en rad som 3(x + 4) − 2 bara läsas på ett sätt, och spelet lös ut x utgår från att du kan läsa den. Sidan med mattespel för årskurs 5 samlar webbspelen på den nivån.

Tjugotvå av MathIts ungefär 90 speltyper går att spela gratis i en webbläsare utan inloggning, och den gratis appen till iOS och Android lägger till anpassad svårighetsgrad, så uttrycken blir längre och djupare nästlade först när de korta går rätt.