Förhållanden förklarat: vad ett förhållande är och hur du hittar likvärdiga

Ett pannkaksrecept kräver 3 dl mjöl till 2 dl mjölk, ditt barns läxa i årskurs 6 frågar efter likvärdiga förhållanden, och flaskan med rengöringsmedel säger att det ska spädas 3 : 1. Förhållanden dyker upp i alla tre, och de styrs av en enda regel: det du gör med den ena delen gör du med den andra. När den regeln sitter blir det att förenkla förhållanden, att hitta likvärdiga förhållanden och att räkna om ett recept samma drag.

Vad är ett förhållande?

Ett förhållande är en jämförelse mellan två storheter som säger hur mycket det finns av den ena för varje mängd av den andra. Om en skål innehåller 2 röda pärlor för varje 3 blå pärlor är förhållandet mellan röda och blå 2 : 3.

Samma förhållande har tre vanliga skrivsätt: 2 : 3 med kolon, ”2 till 3” i ord och 2/3 i bråkform. Alla tre betyder ”för varje 2 av det första finns 3 av det andra”, och det första talet hör alltid till det som nämns först.

Common Core-standarden 6.RP.A.1 ber elever i årskurs 6 att förstå begreppet förhållande och använda förhållandespråk för att beskriva sambandet mellan två storheter. Standardens eget exempel är ett fågelhus där förhållandet mellan vingar och näbbar är 2 : 1, eftersom det för varje 2 vingar fanns 1 näbb. I Sverige står proportionalitet och skala i Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 4–6, och redan årskurs 1–3 arbetar med proportionella samband som dubbelt och hälften.

Del till del och del till helhet

Ett förhållande del till del jämför en del med en annan del, och ett förhållande del till helhet jämför en del med totalen. I pärlskålen är röda till blå 2 : 3 (del till del), medan röda till alla pärlor är 2 : 5 (del till helhet), eftersom 2 + 3 = 5 andelar utgör helheten.

Den skillnaden avgör bråket. Med 2 röda för varje 3 blå är de röda pärlorna 2/5 av skålen och de blå 3/5, vilket är 40 % och 60 %. Att läsa 2 : 3 som ”två tredjedelar röda” är det vanligaste felet med förhållanden.

Ett stapeldiagram gör andelarna synliga. Rita 2 rutor för röda och 3 för blå; om skålen rymmer 10 pärlor delar de 5 rutorna lika på 10, så varje ruta är värd 2, röda blir 2 × 2 = 4 och blå 3 × 2 = 6.

Så förenklar du förhållanden och hittar likvärdiga förhållanden, steg för steg

Likvärdiga förhållanden är förhållanden som beskriver samma samband, och du hittar dem genom att multiplicera eller dividera båda delarna med samma tal. Att förenkla är riktningen med division, och att skala upp är riktningen med multiplikation.

1. Skriv förhållandet i ordens ordning. ”Mjöl till mjölk” är 3 : 2, och ”mjölk till mjöl” är 2 : 3.
2. Kontrollera att båda delarna har samma enhet. Trettio minuter till 2 timmar blir 30 : 120 när båda är i minuter.
3. Hitta största gemensamma delaren för de två delarna. För 12 : 18 är delarna till 12 talen 1, 2, 3, 4, 6 och 12, delarna till 18 är 1, 2, 3, 6, 9 och 18, och den största de har gemensamt är 6.
4. Dividera båda delarna med den delaren för att förenkla. 12 delat med 6 blir 2 och 18 delat med 6 blir 3, så 12 : 18 förenklas till 2 : 3.
5. Multiplicera båda delarna med samma tal för att skala upp. 2 : 3 gånger 2 är 4 : 6, gånger 3 är 6 : 9 och gånger 4 är 8 : 12, och vart och ett är likvärdigt med 2 : 3.
6. Kontrollera resultatet. Förenkla ditt svar igen; ett likvärdigt förhållande kommer alltid tillbaka till samma enklaste form.

Spela gratis i webbläsarenMultipeljaktÅk 3–5

Så avgör du om förhållanden är likvärdiga

Två förhållanden är likvärdiga när de förenklas till samma förhållande, och ett andra test, korsmultiplikation, ger samma dom på en rad. För a : b och c : d multiplicerar du a × d och b × c; om de två produkterna stämmer är förhållandena likvärdiga.

Ta 4 : 6 och 6 : 9. Förenkling ger 2 : 3 båda gångerna, och korsprodukterna stämmer: 4 × 9 = 36 och 6 × 6 = 36. Ta nu 3 : 4 och 5 : 6, där 3 × 6 = 18 och 4 × 5 = 20, så de är inte likvärdiga trots att varje del växte med 2.

Korsmultiplikation går snabbt, men den döljer varför den fungerar. Praktikguiden om bråkundervisning från What Works Clearinghouse rekommenderar att lärare bygger upp elevernas förståelse för strategier vid problem med förhållanden, hastigheter och proportioner innan korsmultiplikation introduceras som en procedur.

Förhållande, bråk eller procent

Ett förhållande, ett bråk och en procentsats kan beskriva samma skål med pärlor, men var och en svarar på en egen fråga. Förhållandet jämför delarna, bråket anger en del av helheten, och procentsatsen skalar bråket till 100.

Att göra om ett förhållande till procent

Ett förhållande del till del blir en procentsats i två drag: addera delarna för att få helheten, och dividera sedan den del du vill ha med helheten. För 2 : 3 är helheten 5 andelar, röda är 2/5, och 2 delat med 5 är 0,4, vilket är 40 %.

Standarden 6.RP.A.3c ber eleverna hitta en procentsats av en mängd som ett förhållande per 100, alltså ett förhållande där den andra delen är fast på 100. Guiden om hur man räknar ut procent tar det steget vidare, och genomgången av bråk för föräldrar täcker sidan med delar av en helhet.

Spela gratis i webbläsarenProcentÅk 5+

Förhållandetabeller, pris per styck och att räkna om ett recept

En förhållandetabell listar likvärdiga förhållanden i rader eller kolumner, så att du kan läsa av vilken mängd du behöver. Årskurs 6 i USA använder den som huvudverktyg: standarden 6.RP.A.3 nämner tabeller med likvärdiga förhållanden, stapeldiagram, dubbla tallinjer och ekvationer som sätten att lösa problem med förhållanden.

Börja tabellen med det ursprungliga förhållandet och multiplicera sedan båda delarna med 2, 3 och 4. För 2 : 3 ger det 4 : 6, 6 : 9 och 8 : 12, och varje kolumn blir fortfarande 2/3 när den divideras.

Pris per styck är förhållandet skalat till en enhet av den andra storheten. Om 4 skrivblock kostar 60 kr är priset per styck 60 kr delat med 4, alltså 15 kr per block, och 10 block kostar 10 × 15 kr = 150 kr. Standarderna använder ett exempel med gräsmattor: 4 gräsmattor på 7 timmar betyder att 35 timmar, som är 5 × 7, räcker till 5 × 4 = 20 gräsmattor.

Att räkna om ett recept

Att räkna om ett recept betyder att hitta faktorn från den gamla satsen till den nya och använda den på varje ingrediens. Ett recept med 3 dl mjöl till 2 dl mjölk ger 12 pannkakor; för 18 pannkakor är faktorn 18 delat med 12, alltså 1,5.

Mjölet blir 3 × 1,5 = 4,5 dl och mjölken blir 2 × 1,5 = 3 dl, så den nya satsen är 4,5 : 3. Det förhållandet förenklas tillbaka till 3 : 2, vilket bekräftar att smeten kommer att smaka likadant.

Samma drag blandar färg. För en grön färg av 2 delar gult till 1 del blått har en sats på 9 liter 2 + 1 = 3 delar, varje del är 9 delat med 3, alltså 3 liter, och du behöver 6 liter gult och 3 liter blått. Guiden om decimaltal för föräldrar hjälper när en faktor som 1,5 eller 0,75 dyker upp.

Så kontrollerar du att förhållandena har landat

Fem snabba kontroller visar om ett barn eller en vuxen förstår förhållanden.

• Förhållandespråk: Fråga vad 3 : 1 betyder för en blandning av saft och vatten i förhållandet 3 : 1. ”Tre delar saft för varje del vatten” är svaret att lyssna efter.
• Enklaste form: Ge 15 : 25. Svaret är 3 : 5, som man får genom att dividera båda delarna med 5.
• Ett likvärdigt förhållande: Be om ett förhållande likvärdigt med 2 : 3 där första delen är 12. Svaret är 12 : 18, eftersom 12 delat med 2 är 6 och 3 × 6 = 18.
• En fråga om del till helhet: Med 12 pojkar och 15 flickor i en klass frågar du hur stor andel som är flickor. Svaret är 15/27, som förenklas till 5/9.
• Ett pris: Fråga vad 7 saker kostar när 4 kostar 60 kr. Svaret är 105 kr, från ett pris på 15 kr per styck.

Ett test på fem minuter

Ett test på fem minuter med tre blandade frågor (förenkla, likvärdighet, recept) visar mer än ett långt arbetsblad av en enda sort, så länge du ber om uträkningen.

Den nationella kursplanen i England förväntar sig samma färdigheter i ungefär samma ålder. Kursplanen i matematik ber elever i Year 6 att lösa problem om den relativa storleken hos 2 storheter, och key stage 3 lägger till att använda förhållandenotation, inklusive förenkling till enklaste form.

Multiplikationsfakta bär var och en av kontrollerna, och övningsbladet i multiplikation för årskurs 6 ger utskrivbar övning med facit.

Vanliga misstag och gränsfall med förhållanden

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren på uppgifter om förhållanden, och vart och ett har en fix på en rad.

• Att addera i stället för att multiplicera: Att göra 2 : 3 till 4 : 5 genom att lägga 2 till varje del ändrar blandningen, eftersom 2/3 är ungefär 0,67 och 4/5 är 0,8. Multiplicera båda delarna med samma tal: 2 : 3 blir 4 : 6.
• Att byta ordning: Pojkar till flickor 12 : 15 förenklas till 4 : 5, och flickor till pojkar är 5 : 4. Läs frågan igen och skriv den storhet som nämns först först.
• Att läsa del till del som del till helhet: En blandning med 2 : 3 röda till blå är 2/5 röd, och att kalla den 2/3 röd överdriver den röda andelen. Addera delarna för att hitta helheten innan du skriver ett bråk.
• Att blanda enheter: 30 minuter till 2 timmar är 30 : 120 = 1 : 4, och att skriva 30 : 2 får minuterna att se större ut än timmarna. Gör om båda delarna till samma enhet innan du förenklar.

Gränsfall: spädningsetiketter och kartskalor

En etikett som säger ”späd 3 : 1” använder förhållandespråk, så läs vilken del som kommer först innan du häller. Om etiketten menar 3 delar vatten till 1 del koncentrat har en hink på 2 liter 3 + 1 = 4 delar, varje del är 2 000 ml delat med 4, alltså 500 ml, och du tillsätter 1 500 ml vatten till 500 ml koncentrat, vilket gör koncentratet till 25 % av blandningen.

En kartskala är ett förhållande där båda delarna har samma enhet. På en karta i skala 1 : 25 000 står 4 cm på papperet för 4 × 25 000 = 100 000 cm i terrängen, vilket är 1 km.

Din checklista för förhållanden och nästa steg

• Ordning: skriv förhållandet i ordens ordning.
• Enheter: ge båda delarna samma enhet först.
• Förenkla: dividera båda delarna med största gemensamma delaren.
• Skala: multiplicera eller dividera båda delarna med samma tal, addera aldrig.
• Kontrollera: förenkla båda förhållandena eller jämför korsprodukterna.
• Helhet: addera delarna innan du gör om ett förhållande till bråk eller procent.

Vuxna som bygger upp sin taluppfattning igen kan börja med guiden om hur du blir bättre på matte som vuxen eller spelet för räkneflyt för vuxna. Föräldrar till barn i årskurs 6 hittar övning på rätt nivå på sidan med mattespel för årskurs 6.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad som höjer nivån först när de enklare fakta kommer rätt, och daglig övning på 33 språk. Tjugotvå av spelen går att spela gratis i webbläsaren utan konto.