O que é potenciação e como funcionam as propriedades das potências?

Potenciação é a multiplicação de fatores iguais: o expoente, o número pequeno no alto, diz quantas vezes a base se repete como fator, então 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. As propriedades vêm daí: na multiplicação de potências de mesma base, somam-se os expoentes; na divisão, subtraem-se; e potência de potência multiplica os expoentes.

O expoente é o número pequeno escrito no alto, à direita da base, e diz quantas vezes a base é usada como fator. Em 10³, a base é 10 e o expoente é 3, então 10³ = 10 × 10 × 10 = 1.000. Lê-se “dez elevado à terceira potência” ou “dez ao cubo”.

O que significa expoente negativo?

Expoente negativo significa um dividido pela mesma potência com expoente positivo. Assim, 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, e 10⁻² = 1⁄100 = 0,01. O resultado continua positivo quando a base é positiva, porque o sinal de menos no expoente aponta para o inverso, não para um número negativo.

Na multiplicação de potências, soma os expoentes?

Sim, soma os expoentes quando as duas potências têm a mesma base, então 3² × 3³ = 3⁵ = 243. A regra não vale para bases diferentes: 2³ × 3² é 8 × 9 = 72, e os expoentes não se juntam. Somar também está errado na potência de potência, em que (2³)² = 2⁶ e os expoentes se multiplicam.

Como digitar um expoente?

Na calculadora, na planilha ou numa mensagem de texto, o expoente se escreve com o acento circunflexo, então 2^5 quer dizer 2⁵. No Excel ou no Planilhas Google, =2^5 e =POTÊNCIA(2;5) devolvem 32. Num editor de texto, digite o número e formate o expoente como sobrescrito.

Potenciação: regras e exemplos resolvidos

Q: Por que todo número elevado a zero dá 1?

Todo número diferente de zero elevado a 0 dá 1 porque cada passo para baixo no expoente divide pela base uma vez. Com base 2, a sequência é 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, e mais uma divisão por 2 dá 2⁰ = 1. A divisão de potências confirma: 5⁴ ÷ 5⁴ = 5⁰, e qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo é 1.

A lição de casa do seu filho pede 2⁵, e a resposta no caderno diz 10. A potenciação parece um detalhe, um número escrito pequeno e no alto, mas esse detalhe transforma 10 em 32. Uma única ideia sustenta todas as propriedades das potências, e quando ela fica clara as regras deixam de ser uma lista para decorar.

O que é potenciação?

Potenciação é a multiplicação de fatores iguais, e o expoente é o número pequeno no alto que diz quantas vezes a base é usada como fator. Em 2⁵, a base é 2 e o expoente é 5, então 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. A expressão inteira se chama potência, e lê-se "dois elevado à quinta potência".

O livro Prealgebra da OpenStax resume numa linha: o expoente diz quantas vezes usamos a base como fator. A multiplicação repetida está para a potenciação como a adição repetida está para a multiplicação: 2 × 5 soma cinco vezes o 2, e 2⁵ multiplica cinco vezes o 2.

As potências de 2 crescem dobrando. Cada passo multiplica por mais um 2, então a sequência é 2, 4, 8, 16, 32, e dez passos chegam a 2¹⁰ = 1.024.

Uma sequência de grades de blocos que dobra a cada passo, mostrando 2 elevado a 1 até 2 elevado a 5 como 2, 4, 8, 16 e 32 blocos, com o produto completo 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 acima e um lembrete de que 2 elevado a 5 não é 2 × 5 = 10.

Ao quadrado e ao cubo: de onde vêm os nomes

Os expoentes 2 e 3 têm nome próprio porque descrevem formas. Um quadrado de lado 4 tem 4 × 4 = 16 quadradinhos, por isso 4² se lê "quatro ao quadrado". Um cubo de aresta 3 tem 3 × 3 × 3 = 27 cubinhos, por isso 3³ se lê "três ao cubo".

No Brasil, a BNCC traz a potenciação no 6º ano, ao pedir problemas "envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação" (EF06MA11). O currículo nacional de matemática da Inglaterra apresenta os números quadrados e cúbicos e a notação ² e ³ ainda antes, no Year 5. O jogo dos quadrados perfeitos treina os doze primeiros quadrados até 7² = 49 e 12² = 144 virem sem contar.

Jogue grátis no navegadorNúmeros ao quadrado4.º–6.º ano

Por que a potenciação importa: potências de 10 e valor posicional

A potenciação aparece cedo na escola na forma de potências de 10, porque elas descrevem o valor posicional. Cada ordem de um número vale 10 vezes a ordem à sua direita, então as ordens são 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1.000 e 10⁶ = 1.000.000.

O padrão 5.NBT.A.2 do Common Core pede que alunos do 5º ano americano expliquem o padrão no número de zeros ao multiplicar por potências de 10 e usem expoentes para indicá-las. O expoente conta os zeros: 4 × 10³ = 4.000, e 3,7 × 10² = 370, em que a vírgula anda duas casas para a direita.

O guia de valor posicional para pais explica as ordens por trás desse padrão. A potenciação também aparece na decomposição em fatores primos, em que 360 se escreve 2³ × 3² × 5, no texto sobre números primos explicados.

A potenciação nas expressões numéricas

Nas expressões numéricas, a potenciação vem logo depois dos parênteses e antes da multiplicação e da divisão. O padrão 6.EE.A.1 do Common Core pede que alunos do 6º ano americano escrevam e calculem expressões com expoentes naturais, e o padrão 6.EE.A.2c nomeia a ordem convencional.

Assim, 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 23, porque a potência vem primeiro. Os parênteses mudam isso: (3 + 2)² = 5² = 25. A sequência completa está no guia de expressões numéricas e ordem das operações.

Como simplificar uma expressão com potências, passo a passo

Uma expressão com potências se simplifica numa ordem fixa: conferir as bases, juntar os expoentes com a propriedade certa e depois calcular. O exemplo resolvido é 2³ × 2⁴ ÷ 2⁵.

Confira se as bases são iguais. As três potências têm base 2, então as propriedades valem. Com bases diferentes, como 2³ × 3², calcule cada potência separadamente: 8 × 9 = 72.
Multiplique somando os expoentes. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, porque três fatores 2 vezes quatro fatores 2 dão sete fatores 2.
Divida subtraindo os expoentes. 2⁷ ÷ 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2², porque cinco dos sete fatores 2 se cancelam.
Calcule a potência. 2² = 2 × 2 = 4.
Confira desenvolvendo. 2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128, e 128 ÷ 32 = 4. Os dois caminhos concordam.

O passo 5 é o hábito que vale construir. Uma propriedade que dá resposta diferente do caminho longo foi aplicada errado.

Jogue grátis no navegadorOrdem das operações5.º ano e +

Onde as propriedades deixam de funcionar

As propriedades das potências só juntam potências de mesma base que estão sendo multiplicadas ou divididas. Elas não servem para somas: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, que não é 2⁷ = 128. Uma soma dentro de uma potência também não se separa, então (3 + 4)² = 7² = 49, enquanto 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Já um produto dentro de uma potência se separa. (2 × 5)³ = 10³ = 1.000, e 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1.000, porque a multiplicação pode ser reagrupada e a adição não.

Por que todo número elevado a zero dá 1

Todo número diferente de zero elevado a 0 dá 1, e uma sequência mostra por quê. Escreva as potências de 2 de cima para baixo: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Cada passo para baixo divide por 2, então o passo seguinte dá 2 ÷ 2 = 1, e isso é 2⁰.

A divisão de potências chega ao mesmo lugar. 5⁴ ÷ 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰, e qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo é 1. A OpenStax dá a definição: se a é um número diferente de zero, então a⁰ = 1.

A sequência das potências de 2 dividindo pela metade: 2 elevado a 4 é 16, depois 8, 4, 2, depois 2 elevado a zero é 1, depois 2 elevado a menos um é um meio e 2 elevado a menos dois é um quarto, com uma seta de dividir por 2 entre cada cartão.

Expoente negativo: uma prévia do 8º ano

O expoente negativo continua a mesma sequência depois do zero. Mais uma divisão por 2 dá 2⁻¹ = 1⁄2, e a próxima dá 2⁻² = 1⁄4, então o expoente negativo indica o inverso. Em geral, 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, e 10⁻² = 1⁄100 = 0,01.

A BNCC coloca as potências de expoente inteiro no 8º ano (EF08MA01), e o padrão 8.EE.A.1 do Common Core também, com o exemplo 3² × 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27. Um aluno do 6º ano ainda não precisa da regra, e ver a sequência agora faz a regra chegar como algo conhecido.

As propriedades das potências lado a lado

As propriedades das potências são cinco regras, e cada uma é um atalho para não escrever a multiplicação repetida. A tabela coloca cada propriedade ao lado de um exemplo resolvido e da resposta errada que os alunos mais escrevem.

Propriedade	Regra	Exemplo resolvido	Resposta errada comum
Multiplicação de mesma base	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	3² × 3³ = 3⁵ = 243	3⁶ = 729 (expoentes multiplicados)
Divisão de mesma base	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25	1² = 1 (bases divididas)
Potência de potência	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64	2⁵ = 32 (expoentes somados)
Expoente zero	a⁰ = 1, a ≠ 0	7⁰ = 1	0
Expoente negativo	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8	−8

A propriedade da potência de potência na OpenStax diz em palavras: para elevar uma potência a outra potência, multiplique os expoentes. A multiplicação de mesma base é a que soma, e trocar essas duas propriedades explica duas das cinco respostas erradas da tabela.

Como reconstruir uma propriedade esquecida

Uma propriedade esquecida se reconstrói em menos de um minuto desenvolvendo um exemplo pequeno. Para (2³)², escreva 2³ duas vezes: (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2). São seis fatores 2, então os expoentes se multiplicam, 3 × 2 = 6.

Para 2³ × 2², escreva (2 × 2 × 2) × (2 × 2). São cinco fatores 2, então os expoentes se somam, 3 + 2 = 5. Bases e expoentes pequenos deixam a conferência curta, e o método funciona para todas as propriedades da tabela.

Como saber se a potenciação foi entendida

Cinco sinais mostram se a potenciação faz sentido para o seu filho ou para você, e cada um leva menos de um minuto.

O significado, dito em voz alta: Pergunte o que 4³ quer dizer. "4 × 4 × 4, que dá 64" é a resposta; "4 × 3" não é.
Potências de 10 de cabeça: Peça 10⁴ e 6 × 10². As respostas são 10.000 e 600.
A ordem nas expressões: Dê 2 × 3². A resposta é 18, porque 3² = 9 vem primeiro; 36 indica que a multiplicação foi feita antes.
Uma propriedade, com conferência: Dê 2⁴ × 2³. A resposta 2⁷ = 128 deve vir com a conferência 16 × 8 = 128.
O expoente zero, com um motivo: Pergunte por que 9⁰ = 1. Uma sequência ou a divisão de potências é um motivo; "porque é a regra" é só memória.

Um teste de cinco minutos

Um teste de cinco minutos mistura um item de cada tipo: uma potência para calcular, uma potência de 10, uma expressão numérica, uma propriedade e um expoente zero. Repita com números novos duas vezes por semana, durante duas semanas.

Corrija o motivo além da resposta. A criança que escreve 2⁵ = 32 e mostra os cinco fatores 2 tem a ideia; a que escreve 32 porque parece familiar pode voltar ao 10 um mês depois. A página do jogo de matemática para o 6º ano reúne treino para o ano em que a potenciação entra no currículo.

Erros comuns de potenciação e casos especiais

Cinco erros causam a maior parte das respostas erradas em potenciação, e cada um tem um conserto de uma linha.

2³ = 6: O expoente foi usado como multiplicador. Escreva os fatores, 2 × 2 × 2 = 8, até o significado fixar.
−3² = 9: Sem parênteses, o expoente vale só para o 3, então −3² = −(3 × 3) = −9, enquanto (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
2³ × 3² = 6⁵: As bases foram juntadas. Bases diferentes se calculam separadamente, então a resposta é 8 × 9 = 72, enquanto 6⁵ = 7.776.
(a + b)² = a² + b²: Uma soma não se separa. Teste com (3 + 4)² = 49 contra 3² + 4² = 25.
2⁻³ = −8: Expoente negativo dá o inverso, então 2⁻³ = 1⁄8, que é positivo.

Três casos especiais valem a pena. O número 1 elevado a qualquer expoente é 1, então 1¹⁰⁰ = 1, e 0 elevado a qualquer expoente positivo é 0, então 0⁵ = 0. Os livros escolares deixam 0⁰ de fora, e por isso a regra do expoente zero diz "a ≠ 0".

Sua lista de conferência da potenciação

Diga o significado: o expoente conta quantas vezes a base é fator.
Conte os zeros: 10ⁿ é 1 seguido de n zeros.
Respeite a ordem: a potência vem depois dos parênteses e antes da multiplicação.
Confira as bases primeiro: multiplicação e divisão de potências exigem a mesma base.
Confira pelo caminho longo: desenvolva um exemplo pequeno quando uma propriedade parecer incerta.

Adultos que voltam à álgebra reencontram a potenciação na notação científica e nos juros compostos, e o guia sobre como melhorar em matemática na vida adulta traz a rotina que reconstrói a fluência. A página do jogo de matemática para adultos reúne treino pensado para quem já é adulto.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogo e dificuldade adaptativa, então o treino de quadrados perfeitos e de expressões numéricas só fica mais difícil depois que os itens fáceis saem certos. Vinte e dois dos jogos rodam de graça no navegador, sem cadastro.