PEMDAS ou BODMAS: qual está certo?

PEMDAS e BODMAS estão as duas certas, porque são a mesma regra com letras diferentes: parênteses e colchetes cumprem o mesmo papel, e expoente, potência e índice querem dizer a mesma coisa. PEMDAS lista o M antes do D e BODMAS lista o D antes do M, o que não muda nada, porque multiplicação e divisão têm o mesmo posto e se resolvem da esquerda para a direita.

A multiplicação vem sempre antes da divisão?

A multiplicação não vem sempre antes da divisão, e supor que vem é a leitura errada mais comum das siglas. Multiplicação e divisão são uma etapa só e você as resolve da esquerda para a direita, na ordem em que aparecem. Em 20 − 12 ÷ 4 × 2, a divisão vem primeiro, e o resultado é 14, não 18,5.

Qual é a resposta de 6 ÷ 2(1 + 2)?

A convenção ensinada na escola dá 6 ÷ 2(1 + 2) = 9, porque 2(1 + 2) é uma multiplicação comum, de posto igual ao da divisão, então vale a leitura da esquerda para a direita. Quem trata a multiplicação implícita como mais unida chega a 1. A expressão é mesmo ambígua, então escreva (6 ÷ 2) × (1 + 2) ou 6 ÷ (2 × (1 + 2)).

Em que ano se aprende a ordem das operações?

A ordem das operações aparece por volta do 5º ano na maioria dos currículos e é retomada no 6º, junto com as potências e as primeiras expressões algébricas. A BNCC não reserva uma habilidade só para as expressões numéricas: ela pede, no 6º ano, problemas com as quatro operações fundamentais e a potenciação (EF06MA11), e é nessa fase que a regra completa costuma ser sistematizada. A criança encontra a ideia antes, sempre que surgem parênteses num problema.

As calculadoras seguem a ordem das operações?

As calculadoras científicas e as planilhas seguem a ordem das operações. Muitas calculadoras simples de quatro operações não seguem: elas calculam conforme você digita, estritamente da esquerda para a direita, então 4 + 3 × 5 devolve 35 em vez de 19. Os modelos também discordam sobre a multiplicação escrita sem sinal, e é por isso que as expressões virais geram prints diferentes.

Ordem das operações e expressões numéricas

Q: Qual é a ordem correta das operações numa expressão numérica?

A ordem das operações diz qual parte da expressão resolver primeiro: parênteses, colchetes e chaves; depois potências e raízes; depois multiplicação e divisão juntas, da esquerda para a direita; por fim adição e subtração juntas, também da esquerda para a direita. O que quase todo mundo erra: multiplicação não vem antes de divisão, e adição não vem antes de subtração.

Qual é a regra, em uma frase?

A ordem das operações percorre a expressão numa ordem fixa: primeiro o que está entre parênteses, colchetes e chaves; depois potências e raízes; depois multiplicação e divisão juntas, da esquerda para a direita; por fim adição e subtração juntas, da esquerda para a direita. Essa frase é a regra inteira.

A regra é uma convenção de escrita, combinada para que todo leitor de 4 + 3 × 5 chegue ao mesmo número. Os padrões de matemática do Common Core registram essa convenção ao pedir que alunos do 6º ano (6.EE.2c) façam as contas "na ordem convencional quando não há parênteses que especifiquem uma ordem particular". Sem esse acordo, um soma primeiro e obtém 35, outro multiplica primeiro e obtém 19. Com ele, a resposta é 19: primeiro 3 × 5, depois some 4.

Os parênteses são a chave geral: quando uma linha confunde, acrescentar parênteses é sempre a correção certa.

PEMDAS, BODMAS e BIDMAS são regras diferentes?

PEMDAS, BODMAS e BIDMAS são uma convenção só, com mnemônicos diferentes, e qual delas você conheceu depende de onde estudou. Na escola brasileira a regra nem vem em sigla: primeiro os parênteses, depois os colchetes, depois as chaves; em seguida potenciação e radiciação; depois multiplicação e divisão; por fim adição e subtração. É a mesma ordem que as siglas de língua inglesa embalam em letras, e você vai encontrá-las em vídeos, fóruns e calculadoras.

Sigla	O que as letras significam	Ensinada principalmente em
PEMDAS	Parênteses, expoentes, multiplicação e divisão, adição e subtração	Estados Unidos, Filipinas
BODMAS	Parênteses, potências, divisão e multiplicação, adição e subtração	Reino Unido, Índia, Austrália, África do Sul
BIDMAS	Parênteses, índices, divisão e multiplicação, adição e subtração	Reino Unido, Irlanda
BEDMAS	Parênteses, expoentes, divisão e multiplicação, adição e subtração	Canadá, Nova Zelândia

Três detalhes importam:

Parênteses, colchetes e chaves fazem o mesmo papel, resolvidos de dentro para fora, e expoente, potência, índice e ordem querem dizer a mesma coisa: 3² ou 2³.
PEMDAS põe o M antes do D e BODMAS põe o D antes do M, o que não muda nada, porque as duas operações têm o mesmo posto.
Toda versão esconde a parte mais importante da regra, o desempate da esquerda para a direita.

As siglas são hábito de sala de aula e não aparecem no texto dos currículos. O currículo nacional de matemática da Inglaterra nunca imprime BIDMAS: pede que os alunos do Year 6 "usem seu conhecimento da ordem das operações para efetuar cálculos que envolvam as 4 operações". A Base Nacional Comum Curricular brasileira também não traz sigla nenhuma: a ordem vem embutida nos problemas com as quatro operações fundamentais e a potenciação do 6º ano (EF06MA11).

O que a maioria erra?

O erro mais comum com a ordem das operações é ler a sigla como seis etapas. São quatro, porque multiplicação e divisão dividem uma e adição e subtração dividem outra.

Parênteses, colchetes e chaves, do par mais interno para fora.
Potências e raízes.
Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita.
Adição e subtração, da esquerda para a direita.

Dentro de uma etapa, você lê a linha da esquerda para a direita. Três linhas curtas mostram isso, cada uma com a resposta errada que a sigla induz:

10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. A armadilha: 10 − 7 = 3.
100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. A armadilha: 100 ÷ 2,5 = 40.
20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. A armadilha: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Cada resposta errada vem de obedecer à sigla letra por letra em vez de ler da esquerda para a direita. Quando a linha tiver × e ÷ juntos, ou + e − juntos, diga qual está mais à esquerda antes de calcular qualquer coisa.

Cinco exemplos resolvidos, passo a passo

Estes cinco exemplos resolvidos seguem em ordem de dificuldade, de uma multiplicação simples até parênteses encaixados com potência, cada um escrito um passo por linha.

1. 4 + 3 × 5

A multiplicação tem posto mais alto que a adição, então vai primeiro.

3 × 5 = 15
4 + 15 = 19

Resposta: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Os parênteses vêm primeiro, seja lá o que houver dentro deles.

7 − 3 = 4
2 × 4 = 8
8 + 8 = 16

Resposta: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

A expressão 20 − 12 ÷ 4 × 2 não tem parênteses nem potências, então o cálculo começa na etapa 3 e segue da esquerda para a direita. A divisão está mais à esquerda.

12 ÷ 4 = 3
3 × 2 = 6
20 − 6 = 14

Resposta: 14.

4. 5 + 2 × 3²

O expoente está preso só ao 3 e não alcança o 2.

3² = 9
2 × 9 = 18
5 + 18 = 23

Resposta: 23. Quadrados aparecem o tempo todo quando entram potências; o jogo de números quadrados treina isso.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parênteses encaixados se resolvem de dentro para fora: primeiro o par mais interno, depois o parêntese de fora com as mesmas quatro etapas, depois a potência, a multiplicação e a subtração.

10 − 4 = 6, então a linha vira 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
Dentro do parêntese, divisão antes de adição: 6 ÷ 2 = 3
3 + 3 = 6, então a linha vira 2 × 6² − 7
6² = 36
2 × 36 = 72
72 − 7 = 65

Resposta: 65.

Escrever um passo por linha evita os escorregões da leitura da esquerda para a direita, e o jogo de ordem das operações usa esse formato quando mostra uma resposta errada.

Jogue grátis no navegadorOrdem das operações5.º ano e +

Por que 6 ÷ 2(1 + 2) racha a internet?

A expressão 6 ÷ 2(1 + 2) racha a internet porque está escrita de forma ambígua, enquanto a conta dentro dela é fácil. De tempos em tempos uma linha assim viraliza, metade dos comentários diz 1 e a outra metade diz 9 ou 16, e os dois lados citam uma regra.

Aplicando a convenção como ela é ensinada:

6 ÷ 2(1 + 2) vira 6 ÷ 2 × 3, depois 3 × 3 = 9
8 ÷ 2(2 + 2) vira 8 ÷ 2 × 4, depois 4 × 4 = 16

Nas duas linhas, o parêntese carrega uma multiplicação com o sinal omitido. A leitura padrão dá a ela posto igual ao da divisão, então a ordem é decidida da esquerda para a direita.

O outro time lê 2(1 + 2) como uma quantidade grudada, porque uma multiplicação escrita sem sinal parece mais unida que um sinal de divisão. Isso dá 6 ÷ 6 = 1 e 8 ÷ 8 = 1, e essa leitura tem apoio sério: Oliver Knill, do departamento de matemática de Harvard, percorre as duas convenções e conclui que uma linha dessas é mesmo ambígua. A Texas Instruments documenta que suas TI-80, TI-81, TI-82 e TI-85 davam prioridade maior à multiplicação implícita, enquanto as famílias TI-83, TI-84 Plus, TI-89 e TI-Nspire dão a ela o mesmo posto, e é por isso que duas calculadoras na mesma sala mostram respostas diferentes.

A briga é sobre um buraco na notação que sigla nenhuma cobriu. Quem escreve matemática a sério usaria uma de duas formas sem ambiguidade:

(6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

A lição prática: se o leitor puder razoavelmente chegar a duas respostas, acrescente parênteses.

Os quatro erros mais comuns

Quatro erros respondem por quase toda resposta errada, e três vêm de confiar na sigla em vez da leitura da esquerda para a direita.

Tratar multiplicação e divisão como duas etapas. Em 20 − 12 ÷ 4 × 2, fazer 4 × 2 = 8 primeiro dá 18,5; a resposta é 14.
Tratar adição e subtração como duas etapas. Em 10 − 4 + 3, somar 4 + 3 primeiro dá 3; a resposta é 9.
Deixar a potência engolir o vizinho. Em 2 × 3², o expoente pertence só ao 3, então a linha é 2 × 9 = 18. Elevar 2 × 3 ao quadrado primeiro dá 36.
Esquecer um parêntese que você queria ter escrito. A barra de fração agrupa tudo o que está em cima e embaixo; o sinal de divisão numa linha só, não. Escreva 12 ÷ 3 + 1 querendo dizer 3 + 1 embaixo e você obtém 5 em vez de 3. Digite 12 ÷ (3 + 1).

Como tornar a regra automática?

A regra vira automática com expressões curtas e misturadas, treinadas com as quatro etapas à vista. Ler a regra leva dois minutos; usá-la sob pressão é outra habilidade.

Etapa	Faça isto	Desempate
1	Parênteses, colchetes e chaves, do mais interno para fora	As mesmas quatro etapas dentro de cada parêntese
2	Potências e raízes	Só o que estiver preso ao expoente
3	Multiplicação e divisão	Da esquerda para a direita
4	Adição e subtração	Da esquerda para a direita

Quatro hábitos aceleram isso:

Treine linhas com três operações. 20 − 12 ÷ 4 × 2 ensina mais que uma expressão de meia página, porque a única coisa que ela testa é a ordem.
Escreva o passo que acabou de fazer, um por linha, do jeito que os cinco exemplos resolvidos fazem.
Deixe as contas básicas rápidas primeiro. Se 12 ÷ 4 custa três segundos, não sobra atenção para a regra, e os truques de cálculo mental que funcionam cobrem essa camada.
Misture as operações na mesma sessão. Uma página só de multiplicação nunca testa a ordem; uma página misturada testa, e a atividade mista para o 5º ano já vem com gabarito.

Atividade grátis para imprimirOperações Mistas — Alunos do 5.º anoFicha · PDF

Os currículos apresentam isso por volta do 5º e do 6º ano, pouco antes de a álgebra tornar o assunto inevitável: uma linha como 3(x + 4) − 2 só pode ser lida de um jeito, e o jogo de achar o x já supõe que você sabe lê-la. A página de jogos de matemática para o 5º ano reúne os jogos de navegador desse nível.

Vinte e dois dos cerca de 90 tipos de jogo do MathIt rodam grátis no navegador, sem cadastro, e o aplicativo gratuito para iOS e Android acrescenta dificuldade adaptativa, então as expressões só ficam mais longas depois que as curtas saem certas.