A ordem das operações, resolvida passo a passo

Qual é a regra, em uma frase?

Percorra a expressão nesta ordem: primeiro o que está entre parênteses, colchetes e chaves; depois potências e raízes; depois multiplicação e divisão juntas, da esquerda para a direita; por fim adição e subtração juntas, da esquerda para a direita. A regra é essa inteira. Tudo o que vem abaixo é essa frase aplicada com cuidado.

Ajuda saber o que a regra não é. Nada aqui é demonstrado, e nenhuma lei da natureza está envolvida. É uma convenção de escrita, combinada para que todo leitor de 4 + 3 × 5 chegue ao mesmo número. Sem ela, um soma primeiro e obtém 35, outro multiplica primeiro e obtém 19, e ninguém consegue dizer quem leu errado. Com ela, a resposta é 19: primeiro 3 × 5, depois some 4.

Os parênteses são a chave geral. Tudo o que a regra consegue expressar, os parênteses expressam de forma mais clara — então, quando uma linha confunde, acrescentar parênteses é sempre a correção certa.

PEMDAS, BODMAS e BIDMAS são regras diferentes?

Não. São uma convenção só, com mnemônicos diferentes conforme o país onde a pessoa estudou. Na escola brasileira a regra nem vem em sigla: primeiro os parênteses, depois os colchetes, depois as chaves; em seguida potenciação e radiciação; depois multiplicação e divisão; por fim adição e subtração. É exatamente a mesma ordem que as siglas de língua inglesa embalam em letras, e você vai encontrá-las em vídeos, fóruns e calculadoras.

Três coisas merecem atenção:

• Parênteses, colchetes e chaves fazem o mesmo papel, resolvidos de dentro para fora. Expoente, potência, índice e ordem também são a mesma coisa: 3² ou 2³.
• PEMDAS põe o M antes do D e BODMAS põe o D antes do M. Isso não muda nada: as duas operações têm o mesmo posto. A sigla precisou imprimir uma letra primeiro; a matemática não se importa.
• Toda versão esconde a parte mais importante da regra: o desempate da esquerda para a direita.

O que a maioria erra?

Contar a sigla como seis etapas. São quatro, porque multiplicação e divisão dividem uma, e adição e subtração dividem outra.

1. Parênteses, colchetes e chaves, do par mais interno para fora.
2. Potências e raízes.
3. Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita.
4. Adição e subtração, da esquerda para a direita.

Dentro de uma etapa, você lê a linha como uma frase, da esquerda para a direita, pegando a operação que encontrar primeiro. Três linhas curtas mostram isso, cada uma com a resposta errada que a sigla induz:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Não 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Não 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Não 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Em todos os casos, a resposta errada vem de obedecer à sigla letra por letra em vez de ler da esquerda para a direita. Para se conferir: quando a linha tiver × e ÷ juntos, ou + e − juntos, diga qual está mais à esquerda antes de calcular qualquer coisa.

Cinco exemplos resolvidos, passo a passo

Cinco linhas em ordem de dificuldade, de uma multiplicação até parênteses encaixados com potência. Cada uma escrita um passo por linha — é esse o formato para copiar.

1. 4 + 3 × 5

A multiplicação tem posto mais alto que a adição, então vai primeiro.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Resposta: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Primeiro os parênteses, seja lá o que houver dentro deles.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Resposta: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Sem parênteses e sem potências, comece pela etapa 3 e leia da esquerda para a direita. A divisão está mais à esquerda, então vai primeiro.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Resposta: 14.

4. 5 + 2 × 3²

O expoente pertence só ao 3, não ao 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Resposta: 23. Quadrados aparecem o tempo todo quando entram potências, então vale saber de cor; o jogo de números quadrados treina isso.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parênteses encaixados: resolva o par mais interno, termine o parêntese de fora com as mesmas quatro etapas, depois a potência, a multiplicação e a subtração.

1. 10 − 4 = 6, então a linha vira 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Dentro do parêntese, divisão antes de adição: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, então a linha vira 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Resposta: 65.

Escrever um passo por linha não é enfeite: é o hábito que evita os escorregões da leitura da esquerda para a direita, e é o formato que o jogo de ordem das operações usa quando mostra uma resposta errada.

Por que 6 ÷ 2(1 + 2) racha a internet?

Porque a expressão está mal escrita, não porque a conta seja difícil. De tempos em tempos, uma linha como 6 ÷ 2(1 + 2) ou 8 ÷ 2(2 + 2) viraliza, metade dos comentários diz 1 e a outra metade diz 9 ou 16, e os dois lados citam uma regra.

Aplicando a convenção exatamente como ela é ensinada:

• 6 ÷ 2(1 + 2) vira 6 ÷ 2 × 3, depois 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) vira 8 ÷ 2 × 4, depois 4 × 4 = 16

Aqui, 2(1 + 2) é uma multiplicação com o sinal omitido. A leitura padrão trata isso como multiplicação comum, de posto igual ao da divisão, então a ordem é decidida da esquerda para a direita.

O outro time lê 2(1 + 2) como uma quantidade grudada, porque uma multiplicação escrita sem sinal parece mais unida que um sinal de divisão. Isso dá 6 ÷ 6 = 1 e 8 ÷ 8 = 1. Não é invenção do nada: é como se lê álgebra, onde 2x é uma coisa só, e modelos de calculadora realmente discordam entre si, e é por isso que dois celulares na mesma sala mostram respostas diferentes.

Ou seja, a briga não é sobre aritmética, e sim sobre um buraco na notação que sigla nenhuma cobriu. Ninguém que escreve matemática a sério publicaria aquela linha; escreveria uma destas, e aí não sobra o que discutir:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

A lição prática de todo o assunto: se o leitor puder razoavelmente chegar a duas respostas, acrescente parênteses.

Os quatro erros mais comuns

Quatro erros respondem por quase toda resposta errada. Três vêm de confiar na sigla em vez da regra da esquerda para a direita.

1. Tratar multiplicação e divisão como duas etapas. Em 20 − 12 ÷ 4 × 2, fazer 4 × 2 = 8 primeiro dá 20 − 1,5 = 18,5. A resposta é 14.
2. Tratar adição e subtração como duas etapas. Em 10 − 4 + 3, somar 4 + 3 primeiro dá 3. A resposta é 9.
3. Deixar a potência engolir o vizinho. Em 2 × 3², o expoente pertence só ao 3, então é 2 × 9 = 18, e não (2 × 3)² = 36.
4. Esquecer um parêntese que você queria ter escrito. A barra de fração agrupa tudo o que está em cima e embaixo; o sinal de divisão numa linha só, não. Escreva 12 ÷ 3 + 1 querendo dizer 3 + 1 inteiro embaixo e você obtém 5 em vez de 3. Digite 12 ÷ (3 + 1).

Como tornar a regra automática?

Treinando expressões curtas e misturadas, não compridas, com as quatro etapas à vista. Ler a regra leva dois minutos; usá-la sob pressão de tempo é outra habilidade.

Quatro coisas aceleram isso:

1. Treine linhas com três operações, não monstros. 20 − 12 ÷ 4 × 2 ensina mais que uma expressão de meia página, porque a única coisa que ela testa é a ordem.
2. Escreva o passo que acabou de fazer, um por linha, como nos exemplos acima.
3. Deixe as contas básicas rápidas primeiro. Se 12 ÷ 4 custa três segundos, não sobra atenção para a regra em si, e os truques de cálculo mental que funcionam cobrem essa camada.
4. Misture as operações na mesma sessão. Uma página só de multiplicação nunca testa a ordem; uma página misturada testa, e é para isso que serve a atividade mista para o 5º ano, com gabarito.

A maioria dos currículos apresenta isso por volta do 5º e do 6º ano, pouco antes de a álgebra tornar o assunto inevitável: quando as letras chegam, uma linha como 3(x + 4) − 2 só pode ser lida de um jeito, e o jogo de achar o x já supõe que você sabe lê-la. A página de jogos de matemática para o 5º ano reúne os jogos de navegador desse nível.

Vinte e dois dos cerca de 90 tipos de jogo do MathIt rodam grátis no navegador, sem cadastro, e o aplicativo gratuito para iOS e Android acrescenta dificuldade adaptativa, então as expressões só ficam mais longas e mais encaixadas depois que você acerta as curtas.