Kolejność działań: pełna zasada i pięć rozpisanych przykładów

Jaka jest zasada w jednym zdaniu?

Kolejność wykonywania działań przechodzi przez wyrażenie w jednym ustalonym porządku: najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie razem od lewej do prawej, na końcu dodawanie i odejmowanie razem od lewej do prawej. To zdanie jest całą zasadą.

Zasada jest umową zapisu, przyjętą po to, żeby każdy czytelnik wyrażenia 4 + 3 × 5 doszedł do tej samej liczby. Mówią to wprost amerykańskie standardy Common Core z matematyki, które wymagają od szóstoklasistów (6.EE.2c) wykonywania działań „w umownej kolejności, gdy nie ma nawiasów wskazujących innej kolejności". Bez tej umowy jeden doda pierwszy i dostanie 35, drugi pomnoży pierwszy i dostanie 19. Z nią wynik to 19: najpierw 3 × 5, potem dodać 4.

Nawiasy są wyłącznikiem awaryjnym: gdy linijka jest myląca, dopisanie nawiasów jest zawsze dobrą naprawą.

Czy PEMDAS, BODMAS i BIDMAS to różne zasady?

PEMDAS, BODMAS i BIDMAS to jedna umowa pod różnymi skrótami, a to, który z nich ktoś poznał, zależy od kraju, w którym chodził do szkoły. W polskiej szkole nie uczy się żadnego z nich: uczy się czterech poziomów po kolei, czyli nawiasów, potęgowania i pierwiastkowania, mnożenia i dzielenia, dodawania i odejmowania. Angielskie skróty spotkasz w internecie i w zagranicznych podręcznikach, więc warto wiedzieć, co znaczą.

Trzy szczegóły mają znaczenie:

• Angielskie „parentheses" i „brackets" to jedno i to samo, czyli nawiasy, a „exponents", „orders", „indices" i „powers" oznaczają potęgi, czyli 3² albo 2³.
• PEMDAS stawia M przed D, a BODMAS D przed M, co niczego nie zmienia, bo obie operacje są równorzędne.
• Każda wersja ukrywa najważniejszą część zasady, czyli rozstrzyganie od lewej do prawej.

Skróty są nawykiem szkolnym i nie pojawiają się w tekstach programowych. Angielska podstawa programowa z matematyki nigdy nie drukuje słowa BIDMAS: wymaga od uczniów Year 6 „wykorzystania wiedzy o kolejności działań do wykonywania obliczeń na czterech działaniach". Polska podstawa programowa z matematyki dla klas IV–VIII też nie nazywa tego żadnym skrótem, tylko stawia klasom 4–6 jedno wymaganie: uczeń „stosuje reguły dotyczące kolejności wykonywania działań".

Co ludzie najczęściej robią źle?

Najczęstszy błąd w kolejności działań polega na czytaniu skrótu jako sześciu kroków. Poziomy są cztery, bo mnożenie i dzielenie dzielą jeden, a dodawanie i odejmowanie drugi.

1. Nawiasy, zaczynając od najbardziej wewnętrznej pary.
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.
3. Mnożenie i dzielenie, od lewej do prawej.
4. Dodawanie i odejmowanie, od lewej do prawej.

Wewnątrz poziomu czytasz linijkę od lewej do prawej. Trzy krótkie przykłady pokazują to najlepiej, każdy z błędną odpowiedzią, do której prowokuje skrót:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Pułapka: 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Pułapka: 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Pułapka: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Każdy zły wynik bierze się z posłuszeństwa literom skrótu zamiast czytania od lewej do prawej. Kiedy w linijce stoi i × i ÷ albo i + i −, powiedz, które z nich jest bardziej na lewo, zanim cokolwiek policzysz.

Pięć przykładów rozpisanych krok po kroku

Te pięć rozpisanych przykładów idzie w kolejności trudności, od jednego mnożenia po zagnieżdżone nawiasy z potęgą, a każdy zapisany jest po jednym kroku w linii.

1. 4 + 3 × 5

Mnożenie stoi wyżej niż dodawanie, więc idzie pierwsze.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Wynik: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Nawias idzie pierwszy, cokolwiek w nim stoi.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Wynik: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Wyrażenie 20 − 12 ÷ 4 × 2 nie ma nawiasów ani potęg, więc praca zaczyna się od poziomu 3 i idzie od lewej do prawej. Dzielenie stoi bardziej na lewo.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Wynik: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potęga dotyczy samej trójki i nie sięga dwójki.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Wynik: 23. Kwadraty pojawiają się bez przerwy, gdy tylko w grę wchodzą potęgi; ćwiczy je gra z kwadratami liczb.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Zagnieżdżone nawiasy liczy się od środka: najpierw najbardziej wewnętrzna para, potem zewnętrzny nawias tymi samymi czterema poziomami, dalej potęga, mnożenie i odejmowanie.

1. 10 − 4 = 6, więc linijka staje się 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Wewnątrz nawiasu dzielenie przed dodawaniem: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, więc linijka staje się 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Wynik: 65.

Zapisywanie jednego kroku w jednej linii blokuje potknięcia przy czytaniu od lewej do prawej, a gra z kolejnością działań używa tego formatu, gdy pokazuje pominiętą odpowiedź.

Zagraj za darmo w przeglądarceKolejność działańKlasa 5+

Dlaczego 6 ÷ 2(1 + 2) dzieli internet?

Wyrażenie 6 ÷ 2(1 + 2) dzieli internet, bo jest zapisane niejednoznacznie, choć sam rachunek w środku jest łatwy. Co kilka lat taka linijka robi się wirusowa, połowa komentarzy mówi 1, a połowa 9 albo 16, i obie strony potrafią zacytować regułę.

Zastosuj umowę tak, jak się jej uczy, a wyjdzie:

• 6 ÷ 2(1 + 2) staje się 6 ÷ 2 × 3, potem 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) staje się 8 ÷ 2 × 4, potem 4 × 4 = 16

W obu linijkach nawias niesie mnożenie z pominiętym znakiem. Standardowe odczytanie daje mu równą rangę z dzieleniem, więc o kolejności decyduje czytanie od lewej do prawej.

Drugi obóz czyta 2(1 + 2) jako jedną sklejoną wielkość, bo mnożenie zapisane bez znaku wygląda na ściślejsze niż znak dzielenia. Stąd 6 ÷ 6 = 1 i 8 ÷ 8 = 1, a to odczytanie ma poważne wsparcie: Oliver Knill z wydziału matematyki Uniwersytetu Harvarda prześledził obie umowy i uznał taką linijkę za naprawdę niejednoznaczną. Texas Instruments dokumentuje, że w modelach TI-80, TI-81, TI-82 i TI-85 mnożenie bez znaku miało wyższy priorytet, a rodziny TI-83, TI-84 Plus, TI-89 i TI-Nspire traktują je równorzędnie, i dlatego dwa kalkulatory w tym samym pokoju pokazują różne wyniki.

Spór dotyczy dziury w zapisie, której żaden skrót nie objął. Każdy, kto pisze matematykę na poważnie, użyłby zamiast tego jednej z dwóch jednoznacznych postaci:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Praktyczny morał: jeśli czytelnik mógłby rozsądnie dostać dwa wyniki, dopisz nawiasy.

Cztery częste błędy

Cztery pomyłki odpowiadają za prawie każdy zły wynik, a trzy biorą się z zaufania skrótowi zamiast zasadzie „od lewej do prawej".

1. Traktowanie mnożenia i dzielenia jako dwóch poziomów. W 20 − 12 ÷ 4 × 2 policzenie najpierw 4 × 2 = 8 daje 18,5; poprawny wynik to 14.
2. Traktowanie dodawania i odejmowania jako dwóch poziomów. W 10 − 4 + 3 dodanie najpierw 4 + 3 daje 3; poprawny wynik to 9.
3. Pozwalanie potędze pochłonąć sąsiada. W 2 × 3² potęga należy tylko do trójki, więc linijka to 2 × 9 = 18. Podniesienie do kwadratu najpierw 2 × 3 daje 36.
4. Pominięcie nawiasu, który miał być napisany. Kreska ułamkowa grupuje wszystko nad nią i pod nią; znak dzielenia w jednej linii już nie. Napisz 12 ÷ 3 + 1, mając na myśli 3 + 1 pod kreską, a dostaniesz 5 zamiast 3. Pisz 12 ÷ (3 + 1).

Jak zrobić z tej zasady odruch?

Zasada staje się odruchem dzięki krótkim mieszanym wyrażeniom ćwiczonym z czterema poziomami przed oczami. Przeczytanie zasady zajmuje dwie minuty; używanie jej pod presją to osobna umiejętność.

Cztery nawyki to przyspieszają:

1. Ćwicz linijki z trzema działaniami. 20 − 12 ÷ 4 × 2 uczy więcej niż wyrażenie na pół strony, bo sprawdza wyłącznie kolejność.
2. Zapisuj krok, który właśnie zrobiłaś lub zrobiłeś, po jednym w linii, tak jak pięć rozpisanych przykładów.
3. Najpierw przyspiesz same działania. Jeśli 12 ÷ 4 kosztuje trzy sekundy, na zasadę nie zostaje już uwagi, a tę warstwę obsługują sposoby na liczenie w pamięci.
4. Mieszaj działania w jednej sesji. Strona samego mnożenia nigdy nie sprawdzi kolejności, mieszana sprawdzi, a mieszana karta pracy dla klasy 5 do wydruku ma klucz odpowiedzi.

Darmowa karta pracy do drukuDziałania mieszane — uczniów 5. klasyKarta pracy · PDF

Polska podstawa programowa umieszcza ten temat w klasach 4–6, tuż zanim algebra uczyni go nieuniknionym: linijkę 3(x + 4) − 2 da się odczytać tylko na jeden sposób, a gra w wyznaczanie x zakłada, że umiesz ją odczytać. Gry przeglądarkowe na tym poziomie zbiera strona gier matematycznych dla klasy 5.

Dwadzieścia dwa z około 90 rodzajów gier MathIt działają za darmo w przeglądarce bez zakładania konta, a darmowa aplikacja na iOS i Androida dokłada adaptacyjny poziom trudności, więc wyrażenia robią się dłuższe dopiero wtedy, gdy krótkie zaczynają wychodzić.