Kolejność działań: pełna zasada i pięć rozpisanych przykładów

Jaka jest zasada w jednym zdaniu?

Przechodź przez wyrażenie w tej kolejności: najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie razem od lewej do prawej, na końcu dodawanie i odejmowanie razem od lewej do prawej. To cała zasada. Wszystko poniżej jest tylko starannym stosowaniem tego zdania.

Warto wiedzieć, czym ta zasada nie jest. Nic tu nie jest udowodnione i żadne prawo przyrody nie jest w to zamieszane. To umowa zapisu, przyjęta po to, żeby każdy czytelnik wyrażenia 4 + 3 × 5 doszedł do tej samej liczby. Bez niej jeden doda pierwszy i dostanie 35, drugi pomnoży pierwszy i dostanie 19, i nikt nie rozstrzygnie, kto źle przeczytał. Z nią wynik to 19: najpierw 3 × 5, potem dodać 4.

Nawiasy są wyłącznikiem awaryjnym. Wszystko, co zasada potrafi wyrazić, nawiasy wyrażą prościej — więc gdy linijka jest myląca, dopisanie nawiasów jest zawsze dobrą naprawą.

Czy PEMDAS, BODMAS i BIDMAS to różne zasady?

Nie. To jedna umowa pod różnymi skrótami, zależnie od tego, gdzie ktoś chodził do szkoły. W polskiej szkole nie uczy się żadnego z nich: uczy się czterech poziomów po kolei — nawiasy, potęgowanie i pierwiastkowanie, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie. Angielskie skróty spotkasz w internecie i w zagranicznych podręcznikach, więc warto wiedzieć, co znaczą. Litery się zmieniają, kolejność pracy nie.

Trzy rzeczy warte zauważenia:

• Angielskie „parentheses" i „brackets" to jedno i to samo: nawiasy. Tak samo „exponents", „orders", „indices" i „powers" — wszystkie oznaczają potęgi, czyli 3² albo 2³.
• PEMDAS stawia M przed D, a BODMAS D przed M. To niczego nie zmienia: obie operacje są równorzędne. Skrót musiał wydrukować którąś literę pierwszą; matematyce jest to obojętne.
• Każda wersja ukrywa najważniejszą część zasady: rozstrzyganie od lewej do prawej.

Co ludzie najczęściej robią źle?

Liczą skrót jako sześć kroków. Poziomy są cztery, bo mnożenie i dzielenie dzielą jeden, a dodawanie i odejmowanie drugi.

1. Nawiasy, zaczynając od najbardziej wewnętrznej pary.
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.
3. Mnożenie i dzielenie, od lewej do prawej.
4. Dodawanie i odejmowanie, od lewej do prawej.

Wewnątrz poziomu czytasz linijkę jak zdanie, od lewej do prawej, biorąc tę operację, na którą trafisz pierwszą. Trzy krótkie przykłady pokazują to najlepiej, każdy z błędną odpowiedzią, do której prowokuje skrót:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Nie 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Nie 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Nie 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

W każdym przypadku zły wynik bierze się z posłuszeństwa literom skrótu zamiast czytania od lewej do prawej. Sprawdzenie dla siebie: kiedy w linijce stoi i × i ÷ albo i + i −, powiedz, które z nich jest bardziej na lewo, zanim cokolwiek policzysz.

Pięć przykładów rozpisanych krok po kroku

Pięć linijek w kolejności trudności, od jednego mnożenia po zagnieżdżone nawiasy z potęgą. Każda zapisana jest po jednym kroku w linii — to format do skopiowania.

1. 4 + 3 × 5

Mnożenie stoi wyżej niż dodawanie, więc idzie pierwsze.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Wynik: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Najpierw nawias, cokolwiek w nim stoi.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Wynik: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Nie ma nawiasów ani potęg, więc zaczynamy od poziomu 3 i czytamy od lewej do prawej. Dzielenie stoi bardziej na lewo, więc idzie pierwsze.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Wynik: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potęga dotyczy samej trójki, a nie iloczynu 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Wynik: 23. Kwadraty pojawiają się bez przerwy, gdy tylko w grę wchodzą potęgi, więc warto znać je na pamięć; ćwiczy je gra z kwadratami liczb.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Zagnieżdżone nawiasy: rozwiąż najbardziej wewnętrzną parę, dokończ zewnętrzny nawias tymi samymi czterema poziomami, a potem potęga, mnożenie i odejmowanie.

1. 10 − 4 = 6, więc linijka staje się 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Wewnątrz nawiasu dzielenie przed dodawaniem: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, więc linijka staje się 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Wynik: 65.

Zapisywanie jednego kroku w jednej linii nie jest zajmowaniem sobie czasu: to nawyk, który blokuje potknięcia przy czytaniu od lewej do prawej, i format, którego używa gra z kolejnością działań, gdy pokazuje pominiętą odpowiedź.

Dlaczego 6 ÷ 2(1 + 2) dzieli internet?

Bo wyrażenie jest źle zapisane, a nie dlatego, że rachunek jest trudny. Co kilka lat linijka w rodzaju 6 ÷ 2(1 + 2) albo 8 ÷ 2(2 + 2) robi się wirusowa, połowa komentarzy mówi 1, a połowa 9 albo 16, i obie strony potrafią zacytować regułę.

Zastosuj umowę dokładnie tak, jak się jej uczy, a wyjdzie:

• 6 ÷ 2(1 + 2) staje się 6 ÷ 2 × 3, potem 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) staje się 8 ÷ 2 × 4, potem 4 × 4 = 16

Zapis 2(1 + 2) to mnożenie z pominiętym znakiem. Standardowe odczytanie traktuje je jak zwykłe mnożenie, równorzędne z dzieleniem, więc o kolejności decyduje czytanie od lewej do prawej.

Drugi obóz czyta 2(1 + 2) jako jedną sklejoną wielkość, bo mnożenie zapisane bez znaku wygląda na ściślejsze niż znak dzielenia. Stąd 6 ÷ 6 = 1 i 8 ÷ 8 = 1. Nie jest to wymyślone z powietrza: tak właśnie czyta się algebrę, gdzie 2x jest jedną rzeczą, a modele kalkulatorów naprawdę się różnią, dlatego dwa telefony w tym samym pokoju pokazują różne wyniki.

Spór nie dotyczy więc arytmetyki, tylko dziury w zapisie, której żaden skrót nie objął. Nikt, kto pisze matematykę na poważnie, nie opublikowałby takiej linijki; napisałby jedną z tych dwóch i nie byłoby o co się kłócić:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Praktyczny morał całego tematu: jeśli czytelnik mógłby rozsądnie dostać dwa wyniki, dopisz nawiasy.

Cztery częste błędy

Cztery pomyłki odpowiadają za prawie każdy zły wynik. Trzy biorą się z zaufania skrótowi zamiast zasadzie „od lewej do prawej".

1. Traktowanie mnożenia i dzielenia jako dwóch poziomów. W 20 − 12 ÷ 4 × 2 policzenie najpierw 4 × 2 = 8 daje 20 − 1,5 = 18,5. Poprawny wynik to 14.
2. Traktowanie dodawania i odejmowania jako dwóch poziomów. W 10 − 4 + 3 dodanie najpierw 4 + 3 daje 3. Poprawny wynik to 9.
3. Pozwalanie potędze pochłonąć sąsiada. W 2 × 3² potęga należy tylko do trójki, więc jest to 2 × 9 = 18, a nie (2 × 3)² = 36.
4. Pominięcie nawiasu, który miał być napisany. Kreska ułamkowa grupuje wszystko nad nią i pod nią; znak dzielenia w jednej linii już nie. Napisz 12 ÷ 3 + 1, mając na myśli całe 3 + 1 pod kreską, a dostaniesz 5 zamiast 3. Pisz 12 ÷ (3 + 1).

Jak zrobić z tej zasady odruch?

Ćwicząc krótkie mieszane wyrażenia, a nie długie, z czterema poziomami przed oczami. Przeczytanie zasady zajmuje dwie minuty; używanie jej pod presją czasu to osobna umiejętność.

Cztery rzeczy to przyspieszają:

1. Ćwicz linijki z trzema działaniami, a nie potwory. 20 − 12 ÷ 4 × 2 uczy więcej niż wyrażenie na pół strony, bo sprawdza wyłącznie kolejność.
2. Zapisuj krok, który właśnie zrobiłaś lub zrobiłeś, po jednym w linii, tak jak w przykładach powyżej.
3. Najpierw przyspiesz same działania. Jeśli 12 ÷ 4 kosztuje trzy sekundy, na zasadę nie zostaje już uwagi, a tę warstwę obsługują sposoby na szybkie liczenie w pamięci.
4. Mieszaj działania w jednej sesji. Strona samego mnożenia nigdy nie sprawdzi kolejności; mieszana sprawdzi, i po to jest mieszana karta pracy dla klasy 5 do wydruku, razem z kluczem odpowiedzi.

Większość programów wprowadza ten temat w klasie 5 i 6, tuż zanim algebra uczyni go nieuniknionym: gdy pojawią się litery, linijkę 3(x + 4) − 2 da się odczytać tylko na jeden sposób, a gra w wyznaczanie x zakłada, że umiesz ją odczytać. Gry przeglądarkowe na tym poziomie zbiera strona gier matematycznych dla klasy 5.

Dwadzieścia dwa z około 90 rodzajów gier MathIt działają za darmo w przeglądarce bez zakładania konta, a darmowa aplikacja na iOS i Androida dokłada adaptacyjny poziom trudności, więc wyrażenia robią się dłuższe i głębiej zagnieżdżone dopiero wtedy, gdy krótkie zaczynają wychodzić.