Notatki z lekcji · Autor: zespół MathIt · Opublikowano · czas czytania: 7 min
Jakie sposoby na szybkie liczenie w pamięci naprawdę działają?
Liczenie w pamięci sprowadza się do dwóch ruchów: rozbij liczbę na wygodne części albo zaokrąglij ją i popraw wynik na końcu. Na tym stoi kilka skrótów — połowienie przy 5 i 25, odejmowanie przy 9 oraz kotwica 10% przy procentach. Opanuj sześć z nich, ćwicz pięć minut dziennie, a przestaną być sztuczkami.
To umiejętność. Osoby liczące błyskawicznie nie widzą niczego, czego nie widzisz ty; korzystają z krótkiej listy wyuczonych skrótów, a każdy z nich przyswoiły zwyczajnie — przeczytaj raz, użyj dwadzieścia razy, przestań o tym myśleć.
Dwie rzeczy muszą być wcześniej automatyczne, bo z nich zbudowany jest każdy skrót poniżej: rozkłady liczb, czyli pary dające 10 i 20, oraz tabliczka mnożenia do 10. Typowy błąd to pominięcie tego sprawdzenia. Jeśli 7 × 8 trzeba jeszcze wyliczyć, skrót kosztuje więcej uwagi niż metoda pisemna i po tygodniu zostaje porzucony.
Napraw najpierw tę warstwę: rozkłady liczb, podwajanie, tabliczka mnożenia. Jeśli szkoła zostawiła cię w przekonaniu, że nie masz głowy do liczb, przeczytaj najpierw, jak wrócić do matematyki w wieku dorosłym — kolejność pracy liczy się tu bardziej niż wysiłek.
Dwa ruchy generują prawie wszystkie chwyty z tego artykułu. Rozbij liczbę na wygodne części. Albo wyrównaj: zamień ją na okrągłą, policz łatwe działanie, a potem cofnij zmianę.
Dodawaj od lewej. Rachunki pisemne zaczyna się od jedności z powodu przeniesień. W pamięci zacznij od dużego końca, tam gdzie jest sens:
Jedna rosnąca liczba zastępuje kolumnę przeniesień, a po pierwszym kroku już wiesz, że wynik to około sześćset.
Zaokrąglij, potem popraw. Kiedy liczba stoi tuż pod okrągłą, przesuń ją:
Wyrównywanie zawodzi w jeden przewidywalny sposób: zaokrąglasz w górę, a potem dodajesz poprawkę zamiast ją odjąć. Nazwij cofnięcie, zanim policzysz łatwą sumę.
Odejmuj, dolicząc w górę. Pożyczanie to najwolniejszy krok w rachunku pisemnym i da się go uniknąć. Idź w górę od mniejszej liczby:
Odejmuj od 999. Odejmowanie czegokolwiek od 1000 wymusza łańcuch pożyczek. Odejmij od 999, gdzie żadna cyfra nie musi pożyczać, a potem dodaj 1:
Każdy z nich zamienia niewygodne mnożenie na połowienie, podwojenie albo odejmowanie. Te zwracają się codziennie.
Razy 5 to razy 10 podzielone na pół. Mnożenie przez 10 jest darmowe, a połowienie łatwiejsze niż mnożenie.
Razy 9 to razy 10 minus jedna kopia. Dziewiątka to niewygodna tabliczka i banalne odejmowanie.
Razy 11 to kanapka. Dla liczby dwucyfrowej: zapisz pierwszą cyfrę, sumę cyfr, potem ostatnią cyfrę:
Krokiem, który wszyscy gubią, jest przeniesienie: gdy cyfry dają 10 lub więcej, środek nie mieści sumy, więc dziesiątki wędrują w lewo. 78 × 11 to 858, nigdy 7158.
Razy 25 to razy 100 podzielone przez cztery, bo 25 to ćwiartka setki.
Ta sama logika obsługuje mnożenie przez 50 (połowa setki) i przez 4 (podwój dwa razy): 23 × 4 → 46 → 92.
Podwój jedną stronę, drugą podziel na pół. Iloczyn się od tego nie zmienia, więc rób tak, aż jedna strona zrobi się okrągła:
Kwadraty liczb kończących się na 5 mają regułę. Pomnóż początkową cyfrę przez liczbę o jeden większą, a na końcu dopisz 25:
Wszystko buduj z 10%. Przesuń przecinek o jedno miejsce w lewo, a potem połów, podwajaj albo dokładaj kawałki. To mnożenie przez ułamek dziesiętny sprawia, że procenty wydają się trudne; porzuć tę metodę.
Napiwek 20% od rachunku 46,50 zł: 10% to 4,65, podwój, wychodzi 9,30. Razem 55,80 zł. Napiwek 15% od 60 zł: 10% to 6, połowa z tego to 3, czyli 9 zł.
Drugiej połowy metody prawie się nie uczy: x% z y to to samo co y% z x. Kiedy procent jest niewygodny, a druga liczba przyjazna, zamień je miejscami.
Przy przecenach licz to, co płacisz, a nie to, co oszczędzasz. Rabat 30% od 70 zł znaczy, że płacisz 70%: 10% to 7, więc siedem takich kawałków to 49 zł. Zatrzymanie się na 21 i nazwanie tego ceną to klasyczna wpadka. Gra z procentami miesza napiwki, rabaty i pytania o procent z liczby w jednym przebiegu.
Zagraj za darmo w przeglądarce Procenty Klasa 5+Bo oszacowanie jest kontrolą błędu i kosztuje dwie sekundy. Wyłapuje dokładnie te wpadki, które się zdarzają: zgubioną cyfrę, przecinek w złym miejscu, podwojenie zamiast połowienia.
Zaokrąglij obie liczby do jednej cyfry znaczącej — jednej cyfry różnej od zera, reszta zera — i pomnóż:
Oszacowanie zgadza się z wynikiem; 1497 albo 149 760 poległoby przy tym sprawdzeniu od razu. Szacowanie mówi też, kiedy dokładny wynik nie jest wart liczenia: cztery rzeczy po 12,75 zł to mniej więcej 4 × 13 = 52 zł, a realna suma to 51 zł.
Liczby blisko okrągłej mają własny skrót: 19 × 21 to 20² − 1 = 399, a 48 × 52 to 50² − 2² = 2496. Gdy dwie liczby leżą w tej samej odległości po obu stronach okrągłej, podnieś środek do kwadratu i odejmij kwadrat odstępu.
Dwanaście reguł, po jednym rozpisanym wierszu. Warto nauczyć się środkowej kolumny: wybór skrótu jest trudniejszy niż jego wykonanie.
| Sposób | Kiedy go użyć | Przykład |
|---|---|---|
| Dodawanie od lewej | Każde dodawanie liczb dwu- i trzycyfrowych | 347 + 265 → 500 → 600 → 612 |
| Zaokrąglij i popraw | Liczba tuż pod okrągłą | 197 + 356 → 556 − 3 = 553 |
| Doliczanie w górę | Odejmowanie, zwłaszcza bliskich liczb | 82 − 47 → 3 + 32 = 35 |
| Użyj 999 | Odejmowanie od potęgi dziesiątki | 1000 − 638 → 361 + 1 = 362 |
| Razy 5 | Każda wielokrotność 5 | 48 × 5 → 480 ÷ 2 = 240 |
| Razy 9 | Każda wielokrotność 9 | 47 × 9 → 470 − 47 = 423 |
| Razy 11 | Liczba dwucyfrowa × 11 | 53 × 11 → 5, 8, 3 → 583 |
| Razy 25 | Pieniądze, ćwiartki, 25 i 50 | 36 × 25 → 3600 ÷ 4 = 900 |
| Podwój i połów | Jeden z czynników jest parzysty | 14 × 35 → 7 × 70 = 490 |
| Kotwica 10% | Procenty, napiwki, rabaty | 20% z 46,50 → 4,65 × 2 = 9,30 |
| Zamiana procentu | Niewygodny procent, przyjazna liczba | 4% z 75 = 75% z 4 = 3 |
| Najpierw oszacuj | Wszystko dość długie, by wyjść źle | 312 × 48 ≈ 15 000, dokładnie 14 976 |
Pięć minut. Przeczytany skrót to jeszcze nie twój skrót, a różnicę robi powtarzanie pod lekką presją czasu. Pięć minut dziennie bije godzinę w niedzielę, bo szybkość bierze się z częstotliwości przypominania, a nie z sumy czasu.
Darmowa gra do liczenia w pamięci jest wygodnym minutnikiem do kroków 2 i 3: działa w przeglądarce bez zakładania konta i dobiera trudność do tempa odpowiedzi, czego karta pracy nie potrafi. Całą drabinkę znajdziesz na stronie gier matematycznych dla dorosłych.
Zagraj za darmo w przeglądarce Rozkład liczb Klasa 1–2Pierwszy tydzień będzie wydawał się wolniejszy od kalkulatora; to koszt wejścia. Od trzeciego tygodnia kotwica 10% odpali, zanim skończysz czytać rachunek.
Poćwicz w aplikacji MathIt
Około 90 rodzajów gier matematycznych z adaptacyjnym poziomem trudności, codzienną praktyką i pojedynkami dla 2–5 graczy — za darmo na iOS i Androida.
Od kotwicy 10% przy procentach. Będziesz jej używać niemal codziennie — napiwki, rabaty, odsetki, VAT — a nie wymaga niczego poza przesunięciem przecinka o jedno miejsce w lewo. Potem naucz się mnożenia przez 5 jako połowienia, bo zamienia tabliczkę, którą znasz w połowie, na połowienie, które znasz zawsze.
Dwa do czterech tygodni po pięć minut dziennie wystarczą, żeby kilka skrótów zrobiło się automatyczne, o ile rozkłady liczb i tabliczka mnożenia siedzą już mocno. Jeśli nie siedzą, poświęć pierwsze dwa tygodnie wyłącznie na nie. Szybkość bierze się z częstotliwości przypominania, a nie z długości sesji.
Ma, z jednego praktycznego powodu: kalkulator bez wahania poda wynik dziesięć razy za duży, jeśli się pomylisz przy wpisywaniu. Szacowanie w pamięci jest kontrolą błędu. Usuwa też tarcie z drobnych codziennych decyzji — porównania cen jednostkowych, podziału rachunku, sprawdzenia wyceny — gdzie sięganie po telefon kosztuje więcej niż samo obliczenie.
Większość tak, o ile tabliczka mnożenia jest już opanowana. Rozbijanie, zaokrąglanie oraz skróty razy 5 i razy 9 pasują mniej więcej od ósmego roku życia. Reguła zamiany przy procentach i reguła kwadratów lepiej wchodzą około jedenastego–trzynastego roku. Uczenie skrótu, zanim podstawowe działania są automatyczne, zwykle przynosi odwrotny skutek.
Najpierw powtórz oszacowanie. Prawie każdy błąd w liczeniu w pamięci to poprawka zastosowana w złą stronę — dodanie tego, co przy zaokrąglaniu w górę trzeba było odjąć, albo połowienie niewłaściwego czynnika. Porównanie z przybliżeniem wyłapuje to w kilka sekund i dlatego szacowanie przed liczeniem jest tu najcenniejszym nawykiem.
Poćwicz w aplikacji MathIt
Około 90 rodzajów gier matematycznych z adaptacyjnym poziomem trudności, codzienną praktyką i pojedynkami dla 2–5 graczy — za darmo na iOS i Androida.
Większość dorosłych, którzy czują się słabi z matematyki, ma trzy albo cztery konkretne luki, a nie ogólny problem. Oto jak znaleźć je w 20 minut i zamknąć w dwa miesiące.
· czas czytania: 8 min
Większość tej strasznej tabeli to reguły i prawidłowości, a nie praca pamięci. Oto dziesięć działań, których dziecko musi się naprawdę nauczyć, i rutyna mieszcząca się w dziesięciu minutach dziennie.
· czas czytania: 7 min
Jedna zasada, kilka skrótów myślowych i jeden szczegół, który myli prawie wszystkich. Pięć przykładów od pojedynczego mnożenia po zagnieżdżone nawiasy z potęgą oraz uczciwa odpowiedź na wirusowe zadania z internetu.
· czas czytania: 8 min