Szybkie liczenie w pamięci: chwyty do opanowania za jednym posiedzeniem

Czy liczenie w pamięci to talent, czy umiejętność?

Liczenie w pamięci jest umiejętnością. Osoby liczące błyskawicznie nie widzą niczego, czego nie widzisz ty; korzystają z krótkiej listy wyuczonych skrótów, a każdy z nich przyswoiły zwyczajnie: przeczytaj raz, użyj dwadzieścia razy, przestań o tym myśleć.

Dwie rzeczy muszą być wcześniej automatyczne, bo z nich zbudowany jest każdy skrót w tym artykule: rozkłady liczb, czyli pary dające 10 i 20, oraz tabliczka mnożenia do 10. Szkoła traktuje liczenie w pamięci tak samo. Angielska podstawa programowa oczekuje, że od czwartego roku nauki uczniowie będą korzystać z systemu dziesiątkowego oraz znanych i wyprowadzonych działań, żeby mnożyć i dzielić w pamięci, gdy same działania są już pewne. Jeśli 7 × 8 trzeba jeszcze wyliczyć, skrót kosztuje więcej uwagi niż metoda pisemna i po tygodniu zostaje porzucony.

Napraw najpierw tę warstwę: rozkłady liczb, podwajanie, tabliczka mnożenia. Poradnik Assisting Students Struggling with Mathematics, wydany przez What Works Clearinghouse w Departamencie Edukacji Stanów Zjednoczonych, zaleca poświęcanie około 10 minut każdej sesji na płynne przypominanie podstawowych działań. Jeśli szkoła zostawiła cię w przekonaniu, że nie masz głowy do liczb, przeczytaj najpierw, jak wrócić do matematyki w wieku dorosłym: kolejność pracy liczy się tu bardziej niż wysiłek.

Rozbij i wyrównaj: dwa ruchy, na których stoi każdy skrót

Rozbicie i wyrównanie to dwa ruchy, na których stoi prawie każdy skrót w liczeniu w pamięci. Rozbij liczbę na wygodne części. Albo wyrównaj: zamień ją na okrągłą, policz łatwe działanie, a potem cofnij zmianę.

Dodawaj od lewej. Rachunki pisemne zaczyna się od jedności z powodu przeniesień. W pamięci zacznij od dużego końca, tam gdzie jest sens:

• 347 + 265
• Setki: 300 + 200 = 500
• Dziesiątki: 500 + 100 = 600
• Jedności: 600 + 12 = 612

Jedna rosnąca liczba zastępuje kolumnę przeniesień, a po pierwszym kroku już wiesz, że wynik to około sześćset.

Zaokrąglij, potem popraw. Kiedy liczba stoi tuż pod okrągłą, przesuń ją:

• 197 + 356 → 200 + 356 = 556, potem oddaj 3 → 553

Wyrównywanie zawodzi w jeden przewidywalny sposób: zaokrąglasz w górę, a potem dodajesz poprawkę zamiast ją odjąć. Nazwij cofnięcie, zanim policzysz łatwą sumę.

Odejmuj, dolicząc w górę. Pożyczanie to najwolniejszy krok w rachunku pisemnym. Idź w górę od mniejszej liczby:

• 82 − 47 → z 47 do 50 jest 3, z 50 do 82 jest 32, czyli 3 + 32 = 35

Odejmuj od 999. Odejmowanie czegokolwiek od 1000 wymusza łańcuch pożyczek. Odejmij od 999, gdzie żadna cyfra nie musi pożyczać, a potem dodaj 1:

• 1000 − 638 → 999 − 638 = 361, potem + 1 → 362

Jakie skróty działają przy 5, 9, 11 i 25?

Skróty przy 5, 9, 11 i 25 zamieniają niewygodne mnożenie na połowienie, podwojenie albo odejmowanie i zwracają się codziennie.

Razy 5 to razy 10 podzielone na pół. Mnożenie przez 10 jest darmowe, a połowienie łatwiejsze niż mnożenie.

• 48 × 5 → 480 ÷ 2 = 240

Razy 9 to razy 10 minus jedna kopia. Dziewiątka to niewygodna tabliczka i banalne odejmowanie.

• 47 × 9 → 470 − 47 = 423

Razy 11 to kanapka. Dla liczby dwucyfrowej: zapisz pierwszą cyfrę, sumę cyfr, potem ostatnią cyfrę:

• 53 × 11 → 5, potem 5 + 3 = 8, potem 3 → 583
• 78 × 11 → 7, potem 7 + 8 = 15, potem 8 → przenieś 1 → 858

Krokiem, który wszyscy gubią, jest przeniesienie: gdy cyfry dają 10 lub więcej, środek nie mieści sumy, więc dziesiątki wędrują w lewo. 78 × 11 to 858, nigdy 7158.

Razy 25 to razy 100 podzielone przez cztery, bo 25 to ćwiartka setki.

• 36 × 25 → 3600 ÷ 4 = 900

Ta sama logika obsługuje mnożenie przez 50 (połowa setki) i przez 4 (podwój dwa razy): 23 × 4 → 46 → 92.

Podwój jedną stronę, drugą podziel na pół. Iloczyn się od tego nie zmienia, więc rób tak, aż jedna strona zrobi się okrągła:

• 14 × 35 → 7 × 70 = 490
• 16 × 25 → 8 × 50 = 400

Kwadraty liczb kończących się na 5 mają regułę. Pomnóż początkową cyfrę przez liczbę o jeden większą, a na końcu dopisz 25:

• 35² → 3 × 4 = 12 → 1225

Jak liczyć procenty i napiwki w pamięci?

Każdy procent liczony w pamięci buduje się z 10%: przesuń przecinek o jedno miejsce w lewo, a potem połów, podwajaj albo dokładaj kawałki. To mnożenie przez ułamek dziesiętny sprawia, że procenty wydają się trudne; porzuć tę metodę.

• 10% z 84 = 8,4
• 5% to połowa tego = 4,2
• 20% to dwa razy tyle = 16,8
• 15% to 10% plus 5% = 12,6

Napiwek 20% od rachunku 46,50 zł: 10% to 4,65, podwój, wychodzi 9,30. Razem 55,80 zł.

Drugiej połowy metody prawie się nie uczy: x% z y to to samo co y% z x. Kiedy procent jest niewygodny, a druga liczba przyjazna, zamień je miejscami.

• 4% z 75 jest trudne. 75% z 4 to trzy czwarte z 4, czyli 3.
• 18% z 50 jest trudne. 50% z 18 = 9.

Przy przecenach licz to, co płacisz, a nie to, co oszczędzasz. Rabat 30% od 70 zł znaczy, że płacisz 70%: 10% to 7, więc siedem takich kawałków to 49 zł. Zatrzymanie się na 21 i nazwanie tego ceną to klasyczna wpadka. Gra z procentami miesza napiwki, rabaty i pytania o procent z liczby w jednym przebiegu.

Zagraj za darmo w przeglądarceProcentyKlasa 5+

Po co szacować przed liczeniem?

Szacowanie na wstępie kosztuje dwie sekundy i zamienia oszacowanie w kontrolę błędu. Wyłapuje wpadki, które zdarzają się najczęściej: zgubioną cyfrę, przecinek w złym miejscu, podwojenie zamiast połowienia. Angielska podstawa programowa robi z tego nawyku cel już na trzecim roku nauki: oszacuj wynik obliczenia i sprawdź go działaniami odwrotnymi. Polska podstawa programowa stawia to samo wymaganie w klasach 4–6: uczeń szacuje wyniki działań i ocenia sensowność rozwiązania zadania tekstowego właśnie przez szacowanie.

Zaokrąglij obie liczby do jednej cyfry znaczącej, czyli jednej cyfry różnej od zera i reszty zer, a potem pomnóż:

• 312 × 48 → mniej więcej 300 × 50 = 15 000
• Dokładnie: 312 × 50 = 15 600, minus 312 × 2 = 624, czyli 14 976

Oszacowanie zgadza się z wynikiem; 1497 albo 149 760 poległoby przy tym sprawdzeniu od razu.

Liczby blisko okrągłej mają własny skrót: 19 × 21 to 20² − 1 = 399, a 48 × 52 to 50² − 2² = 2496. Gdy dwie liczby leżą w tej samej odległości po obu stronach okrągłej, podnieś środek do kwadratu i odejmij kwadrat odstępu.

Wszystkie sposoby na jednej stronie

Dwanaście reguł liczenia w pamięci pokrywa prawie wszystko, po jednym rozpisanym wierszu na regułę. Trudniej jest wiedzieć, kiedy sięgnąć po regułę, niż ją wykonać.

Ile dziennej praktyki to wymaga?

Pięć minut dziennie wystarczy, żeby te skróty stały się twoje. Przeczytany skrót to jeszcze nie twój skrót, a różnicę robi powtarzanie pod lekką presją czasu. Poradnik What Works Clearinghouse Organizing Instruction and Study to Improve Student Learning podpiera mocnymi dowodami sprawdzanie się przez aktywne przypominanie, i dlatego pięć minut dziennie bije godzinę w niedzielę.

1. Wybierz jeden skrót na tydzień. W tym tygodniu razy 9, w następnym kotwica 10%. Mieszanie sześciu naraz sprawia, że cały trening schodzi na wybieranie.
2. Rozgrzej się na działaniach przez minutę. Podwajanie, rozkłady liczb, jedna tabliczka: warstwa, na której stoi cała reszta.
3. Ćwicz skrót tygodnia przez trzy minuty, z minutnikiem. Trening bez czasu pozwala niepostrzeżenie wrócić do metody pisemnej.
4. Ostatnią minutę poświęć na szacowanie. Weź paragon, cenę jednostkową, odległość i zgadnij, zanim sprawdzisz.
5. Użyj tego raz w realnym życiu tego samego dnia. Podziel rachunek, policz rabat, sprawdź saldo. Jedno prawdziwe użycie utrwala skrót szybciej niż pięćdziesiąt zadań.

Darmowa gra do liczenia w pamięci jest wygodnym minutnikiem do kroków 2 i 3: działa w przeglądarce bez zakładania konta i dobiera trudność do tempa odpowiedzi. Całą drabinkę znajdziesz na stronie gier matematycznych dla dorosłych.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozkład liczbKlasa 1–2

Pierwszy tydzień będzie wydawał się wolniejszy od kalkulatora. Od trzeciego tygodnia kotwica 10% odpali, zanim skończysz czytać rachunek.