Regnerekkefølge: slik regner du deg gjennom steg for steg

Hva er regelen, i én setning?

Regnerekkefølgen jobber seg gjennom et uttrykk i én fast rekkefølge: parenteser først, så potenser, så multiplikasjon og divisjon sammen fra venstre mot høyre, og til slutt addisjon og subtraksjon sammen fra venstre mot høyre. Den setningen er hele regelen.

Regelen er en skrivekonvensjon, avtalt slik at alle som leser 4 + 3 × 5 kommer fram til det samme tallet. De amerikanske Common Core-standardene i matematikk sier nettopp det, og ber elever på sjette trinn (6.EE.2c) regne «i den konvensjonelle rekkefølgen når det ikke står parenteser som angir en bestemt rekkefølge». Uten den avtalen legger én person sammen først og får 35, mens en annen ganger først og får 19. Med den er svaret 19: 3 × 5 først, så pluss 4.

Parenteser er nødbryteren: når en linje er forvirrende, er det alltid riktig å sette inn parenteser.

Er PEMDAS, BODMAS og BIDMAS ulike regler?

PEMDAS, BODMAS og BIDMAS er én konvensjon under ulike huskeord, og hvilket du møtte kommer an på hvor du gikk på skole. På norsk sier vi bare regnerekkefølgen: parenteser, potenser, multiplikasjon og divisjon, addisjon og subtraksjon.

Tre detaljer betyr noe:

• Parentheses og brackets betyr det samme, og exponents, orders, indices og powers betyr alle potens, altså 3² eller 2³.
• PEMDAS setter M før D og BODMAS setter D før M, noe som ikke endrer noe, fordi de to regneartene er likestilte.
• Alle variantene skjuler den viktigste delen av regelen, at venstre mot høyre avgjør uavgjort.

Huskeordene er en klasseromsvane og står ikke i læreplanteksten. Den norske læreplanen i matematikk trykker verken PEMDAS eller BIDMAS: den ber elevene «bruke regler for regnerekkefølge i problemløsing og til å lage og løse sammensatte regneuttrykk» etter 7. trinn. Den engelske nasjonale læreplanen i matematikk skriver heller aldri BIDMAS: den ber elevene i Year 6 bruke kunnskapen sin om regnerekkefølgen i utregninger med de fire regneartene.

Hva tar de fleste feil av?

Den vanligste feilen med regnerekkefølgen er å lese huskeordet som seks steg. Det er fire, fordi multiplikasjon og divisjon deler ett og addisjon og subtraksjon deler et annet.

1. Parenteser, den innerste først.
2. Potenser.
3. Multiplikasjon og divisjon, fra venstre mot høyre.
4. Addisjon og subtraksjon, fra venstre mot høyre.

Inne i et steg leser du linja fra venstre mot høyre. Tre korte linjer viser poenget, hver med det gale svaret huskeordet inviterer til:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Fella: 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Fella: 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Fella: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Hvert gale svar kommer av å følge huskeordet bokstav for bokstav i stedet for å lese fra venstre mot høyre. Når en linje inneholder både × og ÷, eller både + og −, si hvilken som står lengst til venstre før du regner ut noe.

Fem utregninger, steg for steg

Disse fem utregningene går i stigende vanskegrad, fra én multiplikasjon opp til parenteser i parenteser med potens, og hver av dem er skrevet med ett steg per linje.

1. 4 + 3 × 5

Multiplikasjon står over addisjon, så den kommer først.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Svar: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Parentesen kommer først, uansett hva som står inni.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Svar: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Uttrykket 20 − 12 ÷ 4 × 2 har ingen parenteser og ingen potenser, så arbeidet starter på steg 3 og leses fra venstre mot høyre. Divisjonen står lengst til venstre.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Svar: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potensen hører til 3-tallet alene og rekker ikke bort til 2-tallet.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Svar: 23. Kvadrattall dukker opp hele tiden når potenser er i bildet; spillet om kvadrattall driller dem.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parenteser i parenteser regnes innenfra og ut: den innerste først, så den ytre parentesen med de samme fire stegene, og deretter potensen, multiplikasjonen og subtraksjonen.

1. 10 − 4 = 6, så linja blir 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Inne i parentesen: divisjon før addisjon, 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, så linja blir 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Svar: 65.

Å skrive ett steg per linje stopper glippene fra venstre mot høyre, og spillet om regnerekkefølge bruker det formatet når det viser et svar som gikk galt.

Spill gratis i nettleserenRegnerekkefølge5. trinn+

Hvorfor splitter 6 ÷ 2(1 + 2) internett?

Uttrykket 6 ÷ 2(1 + 2) splitter internett fordi det er skrevet tvetydig, mens regningen inni det er lett. Med noen års mellomrom går en slik linje viralt, halve kommentarfeltet sier 1 og den andre halvparten 9 eller 16, og begge sider kan sitere en regel til deg.

Bruker du konvensjonen slik den undervises, får du:

• 6 ÷ 2(1 + 2) blir 6 ÷ 2 × 3, så 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) blir 8 ÷ 2 × 4, så 4 × 4 = 16

I begge linjene bærer parentesen en multiplikasjon der tegnet er utelatt. Standardlesningen gir den samme rang som divisjonen, så venstre mot høyre avgjør rekkefølgen.

Den andre leiren leser 2(1 + 2) som én sammenlimt størrelse, fordi en multiplikasjon skrevet uten tegn ser tettere ut enn et delingstegn. Det gir 6 ÷ 6 = 1 og 8 ÷ 8 = 1, og den lesningen har tung støtte: Oliver Knill ved matematikkinstituttet på Harvard sporer begge konvensjonene og konkluderer med at en slik linje er genuint tvetydig. Texas Instruments dokumenterer at TI-80, TI-81, TI-82 og TI-85 ga underforstått multiplikasjon høyere prioritet, mens TI-83, TI-84 Plus, TI-89 og TI-Nspire-familiene rangerer den likt, og det er derfor to kalkulatorer i samme rom viser ulike svar.

Striden handler om et hull i skrivemåten som ingen huskeord dekket. Alle som skriver matematikk for alvor, ville brukt en av to entydige former i stedet:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Den praktiske lærdommen: hvis en leser med rimelighet kan komme til to svar, sett inn parenteser.

De fire vanlige feilene

Fire feil står bak nesten hvert gale svar, og tre av dem kommer av å stole på huskeordet framfor venstre mot høyre.

1. Å behandle M og D som to steg. I 20 − 12 ÷ 4 × 2 gir 4 × 2 = 8 først 18,5; svaret er 14.
2. Å behandle A og S som to steg. I 10 − 4 + 3 gir 4 + 3 først 3; svaret er 9.
3. Å la en potens sluke naboen. I 2 × 3² hører potensen bare til 3-tallet, så linja blir 2 × 9 = 18. Kvadrerer du 2 × 3 først, får du 36.
4. Å utelate en parentes du mente å skrive. En brøkstrek grupperer alt over og under seg; et delingstegn på én linje gjør det ikke. Skriver du 12 ÷ 3 + 1 når du mente 3 + 1 under streken, får du 5 i stedet for 3. Skriv 12 ÷ (3 + 1).

Hvordan gjør du regelen automatisk?

Regelen blir automatisk gjennom korte, blandede uttrykk som drilles med de fire stegene foran deg. Å lese regelen tar to minutter; å bruke den under press er en annen ferdighet.

Fire vaner får det til å gå fortere:

1. Øv på linjer med tre regnearter. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lærer bort mer enn et uttrykk på en halv side, fordi rekkefølgen er det eneste det tester.
2. Skriv ned steget du nettopp gjorde, én linje hver, slik de fem utregningene gjør det.
3. Få de underliggende fakta raske først. Koster 12 ÷ 4 tre sekunder, er det ingen oppmerksomhet igjen til regelen, og triks i hoderegning som virker dekker det laget.
4. Bland regneartene i én økt. En side med bare multiplikasjon tester aldri rekkefølgen; en blandet side gjør det, og det utskrivbare blandede oppgavearket for 5. trinn kommer med fasit.

Gratis utskriftsarkBlandede regnearter — 5.-klassingerArbeidsark · PDF

Læreplanene tar dette opp rundt 6. og 7. trinn, rett før algebraen gjør det uunngåelig: en linje som 3(x + 4) − 2 kan bare leses på én måte, og spillet om å finne x tar for gitt at du klarer å lese den. Samlesiden mattespill for 5. trinn samler nettleserspillene på det nivået.

Tjueto av de rundt 90 spilltypene i MathIt kjører gratis i nettleseren uten innlogging, og den gratis appen for iOS og Android legger til tilpasset vanskegrad, så uttrykkene blir lengre først når de korte sitter.