Regnerekkefølge: slik regner du deg gjennom steg for steg

Hva er regelen, i én setning?

Jobb deg gjennom et uttrykk i denne rekkefølgen: parenteser først, så potenser, så multiplikasjon og divisjon sammen fra venstre mot høyre, og til slutt addisjon og subtraksjon sammen fra venstre mot høyre. Det er hele regelen. Alt under er den setningen brukt med omhu.

Det hjelper å vite hva regelen ikke er. Ingenting her er bevist, og ingen naturlov er involvert. Det er en skrivekonvensjon, avtalt slik at enhver som leser 4 + 3 × 5 kommer fram til det samme tallet. Uten den legger én person sammen først og får 35, en annen ganger først og får 19, og ingen kan si hvem som leste feil. Med den er svaret 19: 3 × 5 først, så legg til 4.

Parenteser er nødbryteren. Alt regelen kan uttrykke, kan parenteser uttrykke tydeligere — så når en linje er forvirrende, er det alltid riktig å sette inn parenteser.

Er PEMDAS, BODMAS og BIDMAS ulike regler?

Nei. Det er én konvensjon under ulike huskeord, avhengig av hvor du gikk på skole. Bokstavene endrer seg; rekkefølgen på arbeidet gjør det ikke. På norsk sier vi bare regnerekkefølgen: parenteser, potenser, multiplikasjon og divisjon, addisjon og subtraksjon.

Tre ting er verdt å merke seg:

• Parentheses og brackets betyr det samme: parenteser. Det samme gjelder exponents, orders, indices og powers — alle betyr potens, altså 3² eller 2³.
• PEMDAS setter M før D, og BODMAS setter D før M. Det endrer ingenting: de to regneartene er likestilte. Huskeordet måtte trykke én bokstav først; matematikken bryr seg ikke.
• Alle variantene skjuler den viktigste delen av regelen: at venstre mot høyre avgjør uavgjort.

Hva tar de fleste feil av?

De teller huskeordet som seks steg. Det er fire, fordi multiplikasjon og divisjon deler ett, og addisjon og subtraksjon deler et annet.

1. Parenteser, den innerste først.
2. Potenser.
3. Multiplikasjon og divisjon, fra venstre mot høyre.
4. Addisjon og subtraksjon, fra venstre mot høyre.

Inne i et steg leser du linja som en setning, fra venstre mot høyre, og tar den regnearten du møter først. Tre korte linjer viser poenget, hver med det gale svaret huskeordet inviterer til:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Ikke 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Ikke 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Ikke 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

I hvert tilfelle kommer det gale svaret av å følge huskeordet bokstav for bokstav i stedet for å lese fra venstre mot høyre. Slik sjekker du deg selv: når en linje inneholder både × og ÷, eller både + og −, si hvilken som står lengst til venstre før du regner ut noe som helst.

Fem utregninger, steg for steg

Fem linjer i stigende vanskegrad, fra én multiplikasjon opp til parenteser i parenteser med potens. Hver av dem er skrevet med ett steg per linje — formatet du skal kopiere.

1. 4 + 3 × 5

Multiplikasjon står over addisjon, så den kommer først.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Svar: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Parentesen først, uansett hva som står inni.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Svar: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Ingen parenteser og ingen potenser, så start på steg 3 og les fra venstre mot høyre. Divisjonen står lengst til venstre, så den går først.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Svar: 14.

4. 5 + 2 × 3²

Potensen hører til 3-tallet alene, ikke til 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Svar: 23. Kvadrattall dukker opp hele tiden når potenser er i bildet, så de er verdt å kunne på sikt; spillet om kvadrattall driller dem.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Parenteser i parenteser: løs den innerste, gjør ferdig den ytre med de samme fire stegene, og ta så potensen, multiplikasjonen og subtraksjonen.

1. 10 − 4 = 6, så linja blir 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Inne i parentesen: divisjon før addisjon, 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, så linja blir 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Svar: 65.

Å skrive ett steg per linje er ikke pirk: det er vanen som stopper glippene fra venstre mot høyre, og det er formatet spillet om regnerekkefølge bruker når det viser et svar som gikk galt.

Hvorfor splitter 6 ÷ 2(1 + 2) internett?

Fordi uttrykket er dårlig skrevet, ikke fordi regningen er vanskelig. Med noen års mellomrom går en linje som 6 ÷ 2(1 + 2) eller 8 ÷ 2(2 + 2) viralt, halve kommentarfeltet sier 1 og den andre halvparten 9 eller 16, og begge sider kan sitere en regel til deg.

Bruker du konvensjonen akkurat slik den undervises, får du:

• 6 ÷ 2(1 + 2) blir 6 ÷ 2 × 3, så 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) blir 8 ÷ 2 × 4, så 4 × 4 = 16

Her er 2(1 + 2) en multiplikasjon der tegnet er utelatt. Standardlesningen behandler den som en helt vanlig multiplikasjon, likestilt med divisjonen, så venstre mot høyre avgjør rekkefølgen.

Den andre leiren leser 2(1 + 2) som én sammenlimt størrelse, fordi en multiplikasjon skrevet uten tegn ser tettere ut enn et delingstegn. Det gir 6 ÷ 6 = 1 og 8 ÷ 8 = 1. Det er ikke funnet på av ingenting: det er slik folk leser algebra, der 2x er én ting, og kalkulatormodeller er faktisk uenige, som er grunnen til at to telefoner i samme rom viser ulike svar.

Så striden handler ikke om regning, men om et hull i skrivemåten som ingen huskeord dekket. Ingen som skriver matematikk for alvor, ville publisert den linja; de ville skrevet en av disse, og da er det ingenting igjen å krangle om:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

Den praktiske lærdommen av hele temaet: hvis en leser med rimelighet kan komme til to svar, sett inn parenteser.

De fire vanlige feilene

Fire feil står bak nesten hvert gale svar. Tre av dem kommer av å stole på huskeordet framfor regelen om venstre mot høyre.

1. Å behandle M og D som to steg. I 20 − 12 ÷ 4 × 2 gir 4 × 2 = 8 først 20 − 1,5 = 18,5. Svaret er 14.
2. Å behandle A og S som to steg. I 10 − 4 + 3 gir 4 + 3 først 3. Svaret er 9.
3. Å la en potens sluke naboen. I 2 × 3² hører potensen bare til 3-tallet, så det blir 2 × 9 = 18, ikke (2 × 3)² = 36.
4. Å utelate en parentes du mente å skrive. En brøkstrek grupperer alt over og under seg; et delingstegn på én linje gjør det ikke. Skriver du 12 ÷ 3 + 1 når du mente hele 3 + 1 under streken, får du 5 i stedet for 3. Skriv 12 ÷ (3 + 1).

Hvordan gjør du regelen automatisk?

Ved å drille korte, blandede uttrykk, ikke lange, med de fire stegene foran deg. Å lese regelen tar to minutter; å bruke den under tidspress er en annen ferdighet.

Fire ting får det til å gå fortere:

1. Øv på linjer med tre regnearter, ikke på monstre. 20 − 12 ÷ 4 × 2 lærer bort mer enn et uttrykk på en halv side, fordi rekkefølgen er det eneste det tester.
2. Skriv ned steget du nettopp gjorde, én linje hver, som i eksemplene over.
3. Få de underliggende fakta raske først. Koster 12 ÷ 4 tre sekunder, er det ingen oppmerksomhet igjen til selve regelen, og triks i hoderegning som faktisk virker dekker det laget.
4. Bland regneartene i én økt. En side med bare multiplikasjon tester aldri rekkefølgen; en blandet side gjør det, og det er nettopp det det utskrivbare blandede oppgavearket for 5. trinn er til for, fasit inkludert.

De fleste læreplaner tar dette opp rundt 6. og 7. trinn, rett før algebraen gjør det uunngåelig: når bokstavene kommer, kan en linje som 3(x + 4) − 2 bare leses på én måte, og spillet om å finne x tar for gitt at du klarer å lese den. Samlesiden mattespill for 5. trinn samler nettleserspillene på det nivået.

Tjueto av de rundt 90 spilltypene i MathIt kjører gratis i nettleseren uten innlogging, og den gratis appen for iOS og Android legger til tilpasset vanskegrad, så uttrykkene blir lengre og dypere nøstet først når du får til de korte.