Symmetrilinjer forklart: hva de er og hvor mange hver figur har

Barnet ditt bretter et ark på midten, klipper ut et halvt hjerte langs bretten og bretter opp et helt hjerte. Den bretten svarer på «hva er en symmetrilinje?», og den samme ideen ligger bak oppgavearket som spør hvor mange symmetrilinjer en figur har. Å finne symmetrilinjer krever en brett, et speil og én nøye vane: sjekk at de to halvdelene passer punkt for punkt.

Hva er en symmetrilinje?

En symmetrilinje er en linje som deler en figur i to halvdeler som er speilbilder av hverandre. I Norge skal eleven etter 6. trinn kunne «utforske og beskrive symmetri i mønstre» og «lage kongruensavbildninger med og uten koordinatsystemer», ifølge kompetansemålene etter 6. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 4.G.A.3 elevene i fjerde skoleår «gjenkjenne en symmetrilinje for en todimensjonal figur som en linje over figuren der figuren kan brettes langs linjen til deler som passer», og «finne figurer med speilsymmetri og tegne symmetrilinjer».

Papirhjertet har én symmetrilinje, ned gjennom midten. Et kvadrat har fire, og en ikke-likesidet trekant har ingen. I England ber den nasjonale læreplanen for year 4 elevene «finne symmetrilinjer i todimensjonale figurer som er vist i ulike retninger» og «fullføre en enkel symmetrisk figur om en gitt symmetrilinje».

Wikipedia-artikkelen om speilsymmetri nevner «linjesymmetri» og «speilbildesymmetri» som navn på den samme ideen; en symmetrilinje kalles også symmetriakse eller speilingsakse.

Speilsymmetri og rotasjonssymmetri

Speilsymmetri og rotasjonssymmetri er to ulike egenskaper, og oppgaveark på høyere trinn spør om begge. Speilsymmetri betyr at figuren kan brettes oppå seg selv. Rotasjonssymmetri betyr at figuren ser lik ut etter at du har dreid den mindre enn en hel omdreining rundt sentrum.

Et kvadrat har begge: det kan brettes oppå seg selv på 4 måter, og det ser likt ut etter en kvart omdreining på 90°. Et parallellogram uten rette vinkler har rotasjonssymmetri (det passer med seg selv etter en halv omdreining på 180°), men ingen symmetrilinje i det hele tatt. De store bokstavene S, N og Z oppfører seg på samme måte.

Slik finner du symmetrilinjer, steg for steg

Symmetrilinjer finner du ved å teste hver mulige brett, én om gangen, og bare telle brettene der begge halvdelene passer nøyaktig. Metoden virker for alle flate figurer på et oppgaveark på barneskolen.

1. Tegn av eller klipp ut figuren. Tegn figuren på tynt papir, eller klipp den ut av et kladdeark.
2. Prøv den loddrette bretten. Brett figuren fra venstre mot høyre og hold den opp mot et vindu. Ligger hver kant av den ene halvdelen oppå den andre halvdelen, er bretten en symmetrilinje.
3. Prøv den vannrette bretten. Brett ut arket, brett det fra topp mot bunn, og sjekk kantene igjen.
4. Prøv de skrå brettene. I en mangekant tester du bretter fra hjørne til motstående hjørne og fra midten av én side til midten av motstående side. Hver ende av en symmetrilinje i en mangekant ligger i et hjørne eller midt på en side.
5. Bruk speiltesten på tegninger. Sett et lite speil loddrett på linjen du vil teste. Ser halvdelen du har foran deg, sammen med speilbildet ut som hele figuren, er linjen en symmetrilinje.
6. Tegn og tell. Tegn hver linje som besto testen, som en stiplet linje med linjal, og tell linjene én gang hver.

I USA ligger symmetri i det samme skoleåret som multiplikasjon og divisjon med flersifrede tall (Common Core 4.NBT.B.5 og 4.NBT.B.6), og mattespillet for 4. trinn øver på det tallarbeidet.

Gratis utskriftsarkMultiplikasjon — 4.-klassingerArbeidsark · PDF

Delen mange gjør feil: diagonalene i rektangelet

Diagonalene i et rektangel er ikke symmetrilinjer, og dette er det vanligste gale svaret på symmetriark. En diagonal deler rektangelet i to like store trekanter, og det ser ut som den burde telle. Bretten avslører sannheten: den brettede trekanten havner på skrå, og to hjørner stikker ut forbi den andre halvdelen.

Halvdelene må være speilbilder, så hvert punkt på den ene siden har en partner like langt unna på den andre siden. Et kvadrat består diagonalbretten fordi alle sidene er like lange, og derfor har et kvadrat 4 linjer og et rektangel 2.

Hvor mange symmetrilinjer har hver figur?

Antallet symmetrilinjer for hver vanlig figur ligger fast, så barnet kan sjekke svaret på et oppgaveark mot én liste. Tallene gjelder den mest generelle utgaven av hver figur: et rektangel som ikke er et kvadrat, en likebeint trekant som ikke er likesidet, og en rombe som ikke er et kvadrat.

Trekantradene henger sammen med trekantnavnene barn lærer de samme årene, og guiden om typer trekanter og vinkler forklarer likesidet, likebeint og ikke-likesidet med sidelengder.

Hvorfor en regulær mangekant med n sider har n linjer

En regulær mangekant har n symmetrilinjer når den har n like sider og n like vinkler. En mangekant med et oddetall sider, som femkanten, har én linje fra hvert hjørne til midten av motstående side, så 5 hjørner gir 5 linjer. En mangekant med et partall sider, som sekskanten, har n : 2 linjer fra hjørne til hjørne og n : 2 linjer fra midtpunkt til midtpunkt: 3 + 3 = 6.

Dreiningsvinkelen følger det samme mønsteret: en regulær mangekant med n sider ser lik ut etter en dreining på 360° : n. En sekskant passer med seg selv hver 360 : 6 = 60°, og en femkant hver 360 : 5 = 72°. De vinklene er divisjonsfakta.

Spill gratis i nettleserenDelefakta3. trinn+

Symmetriaktiviteter hjemme

Symmetriaktiviteter hjemme gjør definisjonen til noe barnet ditt kan se og ta på. Hver av dem tar omtrent ti minutter med ting du allerede har.

• Bokstavene i alfabetet: Skriv de store bokstavene i en enkel skrift og test hver av dem med et speil. I en skrift som Arial har A, M, T, U, V, W, Y og Å en loddrett linje; B, C, D, E og K har en vannrett linje; og H, I, O og X har begge.
• Sommerfugler og blader: Sammenlign et bilde av en sommerfugl med et blad fra hagen. Begge er nesten speilbilder, og det åpner for en god samtale om hva «nøyaktig» betyr i matte.
• Klattmaling: Brett et ark, brett det ut, drypp maling på den ene siden av bretten og press halvdelene sammen. Avtrykket er symmetrisk om bretten hver gang.
• Utklipte figurer: Brett et ark én gang, klipp en figur langs bretten, og la barnet gjette hvordan den ser ut når den er brettet ut.

Å brette en figur på midten viser også halvdeler i brøkbetydningen: hver del er 1/2 av helheten, og guiden om brøk for foreldre bygger videre på den samme bretten.

Speiltegning

Speiltegning er aktiviteten som passer med year 4-målet om å fullføre «en enkel symmetrisk figur». Tegn halvparten av et hus på ruteark ved siden av en rett linje, og be barnet tegne den andre halvparten med hvert hjørne like mange ruter fra linjen.

Et håndspeil på linjen lar barnet sjekke tegningen selv. Gå fra en loddrett linje til en vannrett, og så til en skrå: den delen av læreplanen som handler om «ulike retninger».

Slik sjekker du framgangen med symmetri

Fem korte spørsmål viser om et barn forstår symmetrilinjer eller gjetter ut fra hvordan figuren ser ut.

• Kvadratet og rektangelet: Spør etter antallet linjer i hver. Svarene er 4 og 2, og barnet skal kunne forklare hvorfor diagonalene i rektangelet ikke virker.
• De tre trekantene: Vis en likesidet, en likebeint og en ikke-likesidet trekant. Svarene er 3, 1 og 0.
• Den dreide figuren: Tegn en likebeint trekant som ligger på siden. Et barn som fortsatt finner den ene linjen, kan finne symmetri i «ulike retninger».
• Bokstavene: Spør hvilke av H, E, S og A som har en symmetrilinje. H, E og A har det; S har ingen.
• Det halve bildet: Gi en halv figur ved siden av en linje, og be om resten.

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet

En symmetritest på fem minutter bruker tre utklipte figurer: et kvadrat, et rektangel og et parallellogram. Be barnet gjette antallet linjer i hver, og brett så for å sjekke.

Gjetningene skal bli 4, 2 og 0, og et barn som gjetter 4 for rektangelet, har gått i diagonalfella. Mattespillet for 3. trinn og oversikten over hva barnet skal kunne i matte på hvert trinn viser hvor symmetri hører hjemme ved siden av resten av årets arbeid.

Vanlige feil med symmetrilinjer

Fire feil står bak de fleste gale svarene på symmetriark, og hver av dem har en kort løsning.

• Å telle diagonalene i et rektangel: Rektangelet får 4 linjer i stedet for 2. Brett et papirrektangel langs en diagonal, og la hjørnene vise svaret.
• Å telle diagonalene i et parallellogram: Parallellogrammet får 2 linjer i stedet for 0. Hver diagonal deler det i to like trekanter, men ingen av brettene passer.
• Å telle en linje to ganger: Barnet teller den øverste og den nederste halvdelen av den samme linjen som to linjer. Tegn hver linje én gang fra kant til kant, og tell så de tegnede linjene.
• Å overse en skrå linje: En figur som er tegnet på skrå, skjuler linjene sine. Snu arket og test igjen.

Spesialtilfelle: sirkelen og de regulære mangekantene

En sirkel har uendelig mange symmetrilinjer, fordi hver linje gjennom sentrum bretter den oppå seg selv. Wikipedia-artikkelen om speilsymmetri slår fast at «en sirkel har uendelig mange symmetriakser», så «uendelig mange» er svaret læreren venter.

En regulær mangekant med n sider har nøyaktig n linjer, så en regulær åttekant har 8 og en regulær tolvkant har 12. Regelen gjelder bare for regulære mangekanter.

I algebra kommer den samme ideen tilbake som symmetrilinjen til en graf. OpenStax Elementary Algebra 2e gir symmetrilinjen til y = ax² + bx + c som linjen x = −b : (2a), så grafen til y = x² − 6x + 8 kan brettes oppå seg selv langs x = 3. Guiden om areal og omkrets dekker de andre målene på figurer fra de samme årene.

Sjekklisten din for symmetrilinjer og neste steg

• Brettetesten: brett en papirkopi og sjekk at hver kant ligger oppå partneren sin.
• Alle retninger: test den loddrette, den vannrette og begge de skrå brettene før du teller.
• Rektangelfella: husk at et rektangel har 2 linjer, og at diagonalene ikke teller.
• Regulære figurer: en regulær mangekant med n sider har n linjer, og en sirkel har uendelig mange.
• Tell én gang: tegn hver linje fra kant til kant, og tell så de tegnede linjene.
• To typer: hold speilsymmetri (brette) og rotasjonssymmetri (dreie) fra hverandre.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving i tallfaktaene som står ved siden av geometrien på skolen. Foreldre og barn kan også spille sanntidsdueller i matte med 2 til 5 spillere, og siden om mattespillet for foreldre og barn viser hvordan en runde med familien foregår.