Areal og omkrets forklart: gjerdet, teppet og formlene

Leksene til barnet ditt viser et rektangel som er 6 cm langt og 4 cm bredt, spør etter areal og omkrets, og svarene kommer tilbake som 10 og 24, eller 24 og 24. Areal og omkrets er to mål på den samme figuren, og barn blander dem fordi begge starter med de samme sidelengdene. Ett bilde svarer på hva omkrets er og hva areal er: omkretsen er gjerdet rundt hagen, og arealet er teppet på gulvet.

Hva er forskjellen på areal og omkrets?

Omkrets er avstanden rundt en figur, og areal er den flate plassen inni den. OpenStax Prealgebra sier det på to linjer: omkretsen er «et mål på avstanden rundt en figur», og arealet er «et mål på flaten en figur dekker».

For et plantebed er gjerdet rundt det omkretsen, målt i meter, og jorda inni er arealet, målt i kvadratmeter.

Rektangelet på 6 og 4 fra leksene viser begge på en gang. Går du rundt kanten, blir det 6 + 4 + 6 + 4 = 20 enheter; teller du rutene inni, får du 4 rader med 6, altså 6 × 4 = 24 ruter.

Hvorfor barn blander de to

Barn blander areal og omkrets fordi begge spørsmålene bruker de samme to tallene, og et barn som ikke har sett for seg figuren, velger regneart på måfå. Å legge sammen 6 + 4 gir 10, som ikke er noen av svarene, og å gange gir 24, som bare er arealet.

I USA kommer begge ideene i tredje skoleår. Common Core-standarden 3.MD.C.7a ber barna «finne arealet av et rektangel med hele tall som sidelengder ved å dekke det med ruter, og vise at arealet er det samme som når man ganger sidelengdene». Standarden 3.MD.D.8 legger så til omkrets og ber barna vise «rektangler med samme omkrets og ulikt areal, eller med samme areal og ulik omkrets», og 4.MD.A.3 går videre til å «bruke formlene for areal og omkrets av rektangler i praktiske og matematiske oppgaver».

I Norge begynner arealet tidlig: etter 3. trinn skal eleven kunne «måle arealer i praktiske situasjoner med ikke-standardiserte og standardiserte måleenheter» (LK20, 3. trinn). Areal og omkrets sammen hører til 6. trinn, der læreplanen i matematikk (LK20) sier at eleven skal kunne «bruke og utforske strategier for å måle og regne ut areal og omkrets».

England går saktere fram. Den engelske læreplanen i matematikk ber elevene i Year 4 «finne arealet av rettvinklede figurer ved å telle ruter», og elevene i Year 6 «se at figurer med samme areal kan ha ulik omkrets, og omvendt». Oversikten over hva barn bør kunne i matte på hvert trinn viser hvor disse temaene står ved siden av multiplikasjon og brøk.

Slik regner du ut omkrets og areal av et rektangel, steg for steg

Omkretsen av et rektangel er 2 × (lengde + bredde), og arealet er lengde × bredde. Seks steg tar barnet fra tegningen til begge svarene med riktige enheter.

1. Skriv på alle sidene. Motstående sider i et rektangel er like lange, så et rektangel på 6 og 4 har sidene 6, 4, 6 og 4. Skriv alle fire tallene på tegningen.
2. Sjekk at enhetene er like. En side på 2 m og en side på 50 cm må bli 200 cm og 50 cm (eller 2 m og 0,5 m) før du legger sammen eller ganger.
3. Legg sammen alle fire sidene for å finne omkretsen. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Snarveien 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 gir det samme svaret.
4. Skriv omkretsen med en lengdeenhet. Er sidene i centimeter, er omkretsen 20 cm.
5. Gang lengden med bredden for å finne arealet. 6 × 4 = 24. På ruteark kan du telle rutene for å kontrollere: 4 rader med 6 ruter blir 24.
6. Skriv arealet med en kvadratisk enhet. Arealet er 24 kvadratcentimeter, skrevet 24 cm², fordi det teller ruter med sider på 1 cm.

Slik finner du en ukjent side

En ukjent side finner du ved å bruke formelen baklengs. Har et rektangel en omkrets på 30 cm og en lengde på 9 cm, er halve omkretsen 30 : 2 = 15 cm, som er lengde + bredde, så bredden er 15 − 9 = 6 cm.

Areal virker på samme måte med divisjon. Et rom med 24 m² gulv og en lengde på 6 m gir 24 = 6 × bredde, så bredden er 24 : 6 = 4 m. Standarden 4.MD.A.3 kaller dette å «se arealformelen som en multiplikasjonslikning med en ukjent faktor», og guiden om hvordan du løser tekstoppgaver i matte hjelper barnet å avgjøre hvilken formel en tekstoppgave spør etter.

Omkrets og areal i et overblikk

Omkrets og areal svarer på ulike spørsmål om den samme figuren, så de bruker ulike enheter og ulike regnearter.

Et kvadrat er et rektangel med fire like lange sider, så formlene er snarveier av formlene for rektangelet. Et kvadrat med sider på 5 m har en omkrets på 4 × 5 = 20 m og et areal på 5 × 5 = 25 m².

Kan du finne omkretsen ut fra arealet?

Arealet alene forteller deg ikke omkretsen, fordi mange rektangler har det samme arealet. Et areal på 24 ruter passer til alle disse rektanglene:

• 4 og 6: omkrets 2 × (4 + 6) = 20
• 3 og 8: omkrets 2 × (3 + 8) = 22
• 2 og 12: omkrets 2 × (2 + 12) = 28
• 1 og 24: omkrets 2 × (1 + 24) = 50

Legg til én sidelengde, og svaret blir bestemt. Med et areal på 24 og en bredde på 3 er lengden 24 : 3 = 8 og omkretsen 22; for et kvadrat med areal 36 er siden 6, fordi 6 × 6 = 36, og omkretsen er 4 × 6 = 24.

Lik omkrets, ulikt areal: forsøket med hyssing

Rektangler med samme omkrets kan dekke svært ulikt areal, og en løkke av hyssing viser det ved kjøkkenbordet. Knyt en hyssing som er 24 cm lang, spenn den ut til rektangler på ruteark, og tell rutene inni hvert av dem.

En omkrets på 24 betyr at lengde + bredde = 12, så rektanglene med hele tall er:

• 1 og 11: areal 11
• 2 og 10: areal 20
• 3 og 9: areal 27
• 4 og 8: areal 32
• 5 og 7: areal 35
• 6 og 6: areal 36

De samme 24 cm med gjerde omslutter 11 ruter i en lang, smal figur og 36 i et kvadrat. Kvadratet vinner alltid blant rektanglene, og derfor får en bonde med en fast lengde gjerde mest beite av et kvadratisk jorde.

Hvert areal i listen er et fakta fra gangetabellen. Guiden om telling med hopp viser hvordan det å telle rader med ruter vokser til multiplikasjon, og gangetabellspillet øver inn faktaene.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

L-formede rom og andre sammensatte figurer

Arealet av en L-formet figur finner du ved å dele den i rektangler og legge sammen arealene. Standarden 3.MD.C.7d ber barna «finne arealet av rettvinklede figurer ved å dele dem i rektangler som ikke overlapper, og legge sammen arealene av delene». Den norske læreplanen har et lignende mål for 6. trinn: å «utforske praktiske problemer med areal ved å bruke oppdeling og distributivitet».

Ta en L som er 6 enheter bred nederst og 5 enheter høy på venstre side. Del den i en bunnstripe på 6 × 2 = 12 og en søyle oppå på 2 × 3 = 6, så arealet er 12 + 6 = 18 ruter.

Omkretsen trenger alle ytterkantene, også de to indre kantene som barn ofte hopper over. Går du rundt L-en, er kantene 2, 3, 4, 2, 6 og 5, som blir 22 enheter til sammen; 4 er toppen av bunnstripen (6 − 2), og 3 er høyden på søylen (5 − 2).

Slik sjekker du framgangen med areal og omkrets

Fem korte spørsmål viser om barnet forstår areal og omkrets, eller gjetter på regnearten.

• Sorteringsspørsmålet: Spør om et gjerde, et teppe, en bilderamme og en plen er oppgaver med omkrets eller areal. Gjerde og ramme er omkrets; teppe og plen er areal.
• Det enkle rektangelet: Gi et rektangel på 7 og 3. Omkretsen er 20 og arealet 21, og barnet bør skrive på enhetene (cm og cm²).
• Kvadratet: Gi et kvadrat med sider på 9 m. Omkretsen er 36 m og arealet 81 m².
• Den ukjente siden: Gi et areal på 40 m² og en lengde på 8 m. Bredden er 5 m, funnet med 40 : 8.
• Resonneringsspørsmålet: Spør hvilket rektangel med omkrets 20 som har størst areal. Svaret er kvadratet på 5 og 5, med 25 ruter.

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet

En test på fem minutter med tre blandede spørsmål (ett rektangel, én ukjent side, én L-figur) viser mer enn en hel side med én type. Be barnet tegne figuren og si «rundt» eller «inni» før det regner.

Barn som får arealmetoden riktig, men stopper opp på multiplikasjonen, trenger faktaene mer enn geometrien. Mattespill for 3. trinn og mattespill for 4. trinn dekker tallarbeidet på trinnet som hver arealoppgave hviler på, og guiden om hvordan du lærer bort multiplikasjon med flersifrede tall hjelper når sidene blir tosifrede.

Vanlige feil med areal og omkrets

Fire feil står bak de fleste gale svarene på oppgaver med areal og omkrets, og hver av dem har en løsning på én linje.

• Å legge sammen bare to sider: Et rektangel på 6 og 4 får omkrets 10 i stedet for 20. Skriv på alle fire sidene før du legger sammen, eller bruk 2 × (lengde + bredde).
• Å gange for å finne omkretsen: Barnet skriver 6 × 4 = 24 som omkrets. Spør «rundt eller inni?» først; rundt betyr å legge sammen.
• Å blande enheter: En hage på 2 m og 50 cm får areal 100. Gjør om først: 200 cm × 50 cm = 10 000 cm², eller 2 m × 0,5 m = 1 m².
• Å glemme kvadratiske enheter: Et areal skrevet som 24 cm leses som en lengde. Areal teller alltid ruter, så svaret er 24 cm² eller 24 kvadratcentimeter.

Grensetilfelle: hvorfor areal har kvadratiske enheter

Areal har kvadratiske enheter fordi målingen teller enhetskvadrater. Standarden 3.MD.C.5a sier at «et kvadrat med sidelengde 1 enhet, kalt et enhetskvadrat, har ett kvadratisk enhetsareal», så et rektangel som dekkes av 24 slike kvadrater, har et areal på 24 kvadratiske enheter.

Den kvadratiske enheten forklarer også hvorfor arealet ikke dobles når sidene dobles. Et rektangel på 2 og 3 dekker 6 ruter, og et rektangel på 4 og 6 dekker 24, som er 4 ganger så mange, mens omkretsen vokser fra 10 til 20, bare 2 ganger så mye.

Sjekklisten din for areal og omkrets og neste steg

• Rundt eller inni: avgjør hva oppgaven spør etter før du regner.
• Alle fire sidene: skriv på hver side av rektangelet, også de to tegningen lar stå tomme.
• Samme enheter: gjør om alle sidene til én enhet før du legger sammen eller ganger.
• Riktig enhet i svaret: cm for omkrets, cm² for areal.
• Ruteark: tegn rektangelet og tell rutene for å kontrollere produktet.
• Brikker eller kjeks: bygg rektangler med kvadratiske brikker, og prøv så hyssingløkken på 24 cm og finn det største arealet.

Oppgavearket for multiplikasjon på 3. trinn gir utskrivbar øving med fasit.

Gratis utskriftsarkMultiplikasjon — 3.-klassingerArbeidsark · PDF

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og kort daglig øving. Barn kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i mattedueller i sanntid, på 33 språk.