Hvordan regner du ut omkrets og areal av en sirkel?

Omkretsen av en sirkel er π × diameter, eller 2 × π × radius, og arealet er π × radius × radius. Pi (π) er omtrent 3,14. En sirkel med radius 5 cm har omkretsen 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm og arealet 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cm². Omkrets er en lengde, mens areal måles i kvadratenheter.

Pi (π) er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel, og det er det samme for alle sirkler. Verdien er omtrent 3,14159. Pi er et irrasjonalt tall, så det kan ikke skrives som en brøk av to hele tall, og desimalene tar aldri slutt og gjentar seg aldri. På skolen runder vi det vanligvis av til 3,14 eller 22/7.

Hvor mange desimaler har pi?

Pi har uendelig mange desimaler, fordi desimalutviklingen aldri tar slutt og aldri går over i et mønster som gjentar seg. Datamaskiner har regnet ut hundrevis av billioner sifre, men praktisk arbeid trenger svært få. NASAs Jet Propulsion Laboratory bruker 3,141592653589793, altså 15 desimaler, til sin mest nøyaktige navigasjon mellom planetene.

Pi-dagen er 14. mars hvert år, fordi datoen skrevet på amerikansk vis, 3/14, ligner de tre første sifrene i pi, 3,14. Skoler og matteklubber markerer den ofte med sirkelaktiviteter, konkurranser i å huske desimaler og runde kaker eller pai. NASA lager en Pi Day Challenge med sirkeloppgaver fra verdensrommet for elever.

Hvor stor er omkretsen av jorda?

Omkretsen av jorda ved ekvator er omtrent 40 075 km. NASAs faktaark om jorda oppgir en radius ved ekvator på 6 378,137 km, og 2 × π × 6 378,137 er omtrent 40 075 km. Avstanden rundt polene er litt kortere, fordi jorda er litt flatklemt. Omkretsen er altså nesten nøyaktig 40 000 km, et tall som er lett å huske.

Hvordan finner du omkretsen når du kjenner arealet?

Omkretsen finner du fra arealet i tre steg: del arealet på π, ta kvadratroten for å få radien, og gang så med 2 × π. En sirkel med arealet 78,5 cm² gir 78,5 : 3,14 = 25, kvadratroten av 25 er 5 cm, og omkretsen er 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.

Areal og omkrets av sirkel, forklart steg for steg

Barnet ditt på 6. trinn har et oppgaveark fullt av sirkler, en kalkulator og to formler som ser nesten like ut. Omkretsen av en sirkel er avstanden rundt den, arealet er plassen inni den, og begge kommer fra ett tall som heter pi. Når du vet hvilket mål oppgaven gir deg (radien eller diameteren), tar det to eller tre steg å regne ut omkretsen og arealet av en sirkel.

Hva er pi, og hvorfor trenger hver sirkel det?

Pi (π) er antallet ganger diameteren til en sirkel går rundt kanten, og det er det samme for alle sirkler i verden. Wikipedia-artikkelen om pi oppgir verdien til omtrent 3,14159 og skriver at desimalformen «aldri tar slutt og aldri går over i et mønster som gjentar seg».

Pi er et irrasjonalt tall, så ingen brøk eller desimaltall er nøyaktig lik det. OpenStax Prealgebra 2e ber elevene «tilnærme π med 3,14 eller 22/7, avhengig av om radien er gitt som desimaltall eller brøk».

En sirkel med diameteren d i blått og radien r i grønt; under den er omkretsen rullet ut til en rett linje som rommer tre diametre pluss en liten ekstra bit, med C = π × d, C = 2 × π × r og d = 2 × r.

Norske lærebøker kaller omkretsen O, så de skriver O = π × d der tegningen, som engelske bøker, bruker bokstaven C.

Radius og diameter

Radien og diameteren er de to lengdene som hver sirkelformel starter fra. Radien (r) går fra sentrum til kanten, og diameteren (d) går fra kant til kant gjennom sentrum, så diameteren er alltid dobbelt så lang som radien: d = 2 × r.

En pizza som er 30 cm på tvers, har diameteren 30 cm og radien 15 cm. Skriv ned begge tallene før du rører en formel. De fleste gale svarene i sirkellekser starter med feil tall av de to.

Slik regner du ut omkretsen av en sirkel, steg for steg

Omkretsen av en sirkel er π × diameter, skrevet O = π × d, eller 2 × π × radius, skrevet O = 2 × π × r. Begge formlene gir det samme svaret, fordi 2 × r er diameteren. OpenStax beskriver omkretsen som sirkelens «perimeter», det samme ordet som brukes om omkretsen av mangekanter, og det knytter den til areal og omkrets av kvadrater og rektangler.

Finn diameteren. Mål tvers over sirkelen gjennom sentrum, eller doble radien. En middagstallerken er 26 cm på tvers, så d = 26 cm.
Velg en verdi for pi. Bruk 3,14 for desimaltall og hele tall, 22/7 når radien er et tall i sjugangen, eller π-tasten på kalkulatoren for det mest nøyaktige svaret.
Gang pi med diameteren. 3,14 × 26 = 81,64. Guiden om å gange og dele desimaltall viser dette steget for hånd.
Skriv enheten. Omkretsen er omtrent 81,64 cm. Omkrets er en lengde, så den skrives i cm, dm eller m, uten liten 2-er.
Kontroller størrelsen. Svaret skal være litt mer enn 3 diametre: 3 × 26 = 78, og 81,64 er litt mer. Et svar som er mindre enn 3 diametre eller større enn 4, er feil.

Et hjul med radius 30 cm bruker den andre formen: O = 2 × 3,14 × 30 = 188,4 cm.

Gratis utskriftsarkMultiplikasjon — 6.-klassingerArbeidsark · PDF

Delen mange gjør feil: radius eller diameter

Den vanligste feilen med omkrets er å sette radien inn i O = π × d. En sirkel med radius 5 cm får da 3,14 × 5 = 15,7 cm, som er halvparten av det riktige svaret, 31,4 cm. Spør «er dette tallet hele veien over, eller halvparten?» før du ganger.

Den motsatte feilen dobler en diameter i O = 2 × π × r. En tallerken som er 26 cm på tvers, blir 2 × 3,14 × 26 = 163,28 cm, dobbelt så langt som den virkelige avstanden rundt den. Størrelseskontrollen fra steg 5 fanger begge feilene på noen sekunder.

Slik regner du ut arealet av en sirkel

Arealet av en sirkel er π × radius × radius, skrevet A = π × r². Arealet teller kvadratenhetene inni sirkelen, så det skrives alltid i kvadratenheter som cm² eller m².

En sirkel med radius 5 cm har arealet 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Middagstallerkenen fra steglista har radius 13 cm, så arealet er 3,14 × 13 × 13 = 3,14 × 169 = 530,66 cm². En pizza på 30 cm har radius 15 cm og arealet 3,14 × 225 = 706,5 cm².

Rekkefølgen betyr noe: kvadrer radien først, og gang så med π. Den lille 2-eren i r² er en eksponent, som guiden om potenser forklarer, og barn som kan kvadrattallene sine utenat (25, 36, 49, 64), blir ferdige med hvert areal i ett steg.

Spill gratis i nettleserenKvadrattall4.–6. trinn

Hvorfor arealformelen virker

Arealformelen kommer av å skjære en sirkel i tynne sektorer, som en pizza, og legge dem side om side. Snu sektorene annenhver gang opp og ned, så danner de en figur som ligner et parallellogram. Jo flere sektorer du skjærer, desto mer ligner figuren et rektangel.

En sirkel delt i 16 sektorer, den øverste halvdelen blå og den nederste gul, lagt om til nesten et parallellogram der den lange kanten er π × r og høyden er r, som gir A = π × r × r.

Den lange kanten av figuren er halve omkretsen, altså halvparten av 2 × π × r, som er π × r. Høyden er én radius, r. Et rektangel som er π × r langt og r høyt, har arealet π × r × r, og det er formelen.

I Norge skal eleven etter 6. trinn kunne «måle radius, diameter og omkrets i sirkler og utforske og forklare sammenhengen mellom pi og diameteren i en sirkel», ifølge kompetansemålene etter 6. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 7.G.B.4 elevene i sjuende skoleår «kjenne formlene for arealet og omkretsen av en sirkel og bruke dem til å løse problemer; gi en uformell utledning av sammenhengen mellom omkretsen og arealet av en sirkel», og bildet med sektorene er nettopp den uformelle utledningen.

Omkrets, areal, diameter og radius side om side

Omkrets, areal, diameter og radius beskriver fire ulike ting ved den samme sirkelen.

Mål	Hva det er	Formel	Enhet	Når du trenger det
Radius (r)	Fra sentrum til kanten	r = d : 2	cm, m	Startpunktet for areal; passeren stilles inn på den
Diameter (d)	Fra kant til kant gjennom sentrum	d = 2 × r	cm, m	Måle tallerkener, rør, pizzaer, hjul
Omkrets (O)	Avstanden rundt sirkelen	O = π × d = 2 × π × r	cm, m	Gjerde rundt et rundt bed, bånd rundt en kake, hjulomdreininger
Areal (A)	Plassen inni sirkelen	A = π × r²	cm², m²	Maling, gressfrø, pizzastørrelse, duker

Omkretsen vokser i takt med radien, men arealet vokser med radien i andre. En pizza på 40 cm har radius 20 cm og arealet 3,14 × 400 = 1 256 cm², nesten 1,8 ganger de 706,5 cm² til en pizza på 30 cm, selv om den bare er 10 cm bredere.

Hva oppgaven spør etter

Ordene i en tekstoppgave viser hvilken formel du skal bruke. «Rundt», «kant», «bord», «gjerde» og «hvor langt ruller hjulet» peker mot omkrets. «Dekke», «inni», «male», «teppe» og «hvor mye pizza» peker mot areal.

Guiden om hvordan du regner ut volum bruker arealet av sirkelen som grunnflate i en sylinder: volumet av en boks er π × r² × h.

Sirkelaktiviteter ved kjøkkenbordet

Sirkelaktiviteter ved kjøkkenbordet lar barnet finne pi med egne hender før tallet brukes i en formel. Hver aktivitet tar omtrent ti minutter med linjal, hyssing og noen runde ting.

Hyssing rundt en tallerken: Legg hyssing rundt en middagstallerken, merk den og legg den langs en linjal. En tallerken på 26 cm gir omtrent 81 eller 82 cm, og 82 : 26 er omtrent 3,15, nær pi.
Mål glasslokk: Mål diameteren og omkretsen av tre lokk i ulike størrelser. Del hver omkrets på diameteren; hvert svar havner nær 3,1.
Rull en boks: Merk et punkt på kanten av en hermetikkboks, rull den én hel runde langs et ark og mål sporet. Sporet er omkretsen.
Tegn og tell: Tegn rundt et glasslokk på ruteark med centimeterruter og tell hele og halve ruter inni. Et lokk med radius 4 cm dekker omtrent 50 ruter, og 3,14 × 16 = 50,24.

Slik sjekker du framgangen

Fem korte spørsmål viser om et barn forstår sirkler eller bare skriver av en formel.

Begrepssjekken: Pek på en sirkel og spør etter radien, diameteren og omkretsen. Et barn som kan vise alle tre med en finger, vet hva hvert ord betyr.
Grunnparet: Gi radius 10 cm. Omkretsen er 62,8 cm og arealet 314 cm², med riktig enhet på hvert svar.
Diameterfella: Gi diameteren 8 cm og spør etter arealet. Radien er 4, så arealet er 3,14 × 16 = 50,24 cm².
Størrelseskontrollen: Spør om en omkrets på 9 cm er mulig for en sirkel som er 4 cm på tvers. Det er den ikke, fordi 3 × 4 = 12 allerede.
Det omvendte spørsmålet: Gi omkretsen 31,4 cm og spør etter diameteren: 31,4 : 3,14 = 10 cm.

Et barn som kan metoden, men stopper opp ved 3,14 × 16, trenger mer øving i multiplikasjon enn i geometri. Mattespillet for 6. trinn øver på tallarbeidet, og voksne som lærer dette på nytt, kan bruke mattespillet for voksne til de samme faktaene.

Vanlige feil og spesialtilfeller med sirkler

Fire feil står bak de fleste gale svarene om sirkler, og hver av dem har en kort løsning.

Å skrive (π × r)² i stedet for π × r²: Med r = 5 gir (3,14 × 5)² = 15,7 × 15,7 = 246,49, mer enn 3 ganger det virkelige arealet på 78,5. Kvadrer bare radien, og gang så med π.
Å kvadrere diameteren: En sirkel som er 10 cm på tvers, får 3,14 × 10 × 10 = 314, som er 4 ganger det virkelige arealet på 78,5 cm². Halver diameteren først.
Å blande enhetene: En omkrets i cm² eller et areal i cm beskriver feil slags mål. Omkrets er en lengde i cm; areal er i cm².
Å runde av radien for tidlig: En radius på 2,45 m rundet av til 2 m mister omtrent en tredjedel av arealet. Rund bare av det endelige svaret.

Spesialtilfelle: 22/7 eller 3,14?

Brøken 22/7 og desimaltallet 3,14 er begge tilnærminger til pi, og de gir litt ulike svar. 22/7 er omtrent 3,1429 og 3,14 er litt mindre enn pi, så den virkelige verdien på omtrent 3,1416 ligger mellom dem.

Bruk 22/7 når radien eller diameteren er et tall i sjugangen, fordi sjuerne forkortes bort. En sirkel med radius 7 cm har omkretsen 2 × 22/7 × 7 = 44 cm og arealet 22/7 × 7 × 7 = 154 cm², mens 3,14 gir 43,96 cm og 153,86 cm². π-tasten på kalkulatoren gir 153,94 cm².

For å regne baklengs fra et areal til en radius deler du på π og tar kvadratroten, som guiden om kvadratrot forklarer.

Sjekklisten din for sirkler og neste steg

Radius eller diameter: skriv ned begge før du bruker en formel, med d = 2 × r.
Omkrets: gang π × d, eller 2 × π × r, og gi svaret i cm eller m.
Areal: kvadrer radien først, gang så med π, og gi svaret i cm² eller m².
Verdien av pi: bruk 3,14 til de fleste lekser, 22/7 for tall i sjugangen, eller π-tasten når oppgaven ber om det.
Størrelseskontroll: omkretsen er litt mer enn 3 diametre, og arealet er litt mer enn 3 kvadrater med radien som side.

Øv på det i MathIt-appen

Rundt 90 mattespill med tilpasset vanskegrad, daglig øving og dueller for 2–5 spillere — gratis på iOS og Android.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving som holder kvadrattallene og gangefaktaene bak hver sirkeloppgave raske. Du kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.

Slik regner du ut omkrets og areal av en sirkel (og hva pi er)

Kort oppsummert