Typer trekanter og typer vinkler: en guide for foreldre

Du skjærer en firkantet brødskive diagonalt, og barnet ditt på mellomtrinnet spør hva slags trekanter de to halvdelene er. Leksene vil ha to navn på hver trekant og en vinkel som mangler, og spiss, stump og likebeint høres like ut etter en lang skoledag. Typene trekanter og vinkler får plass på én side når du kjenner de to spørsmålene bak hvert navn: hvor mange sider er like lange, og hvor stor er den største vinkelen?

Hvilke typer vinkler finnes?

De fem typene vinkler er spiss, rett, stump, like og konveks, og hver av dem er bestemt av størrelsen i grader. Common Core-standarden 4.MD.C.5 definerer selve graden: «En vinkel som dreier 1/360 av en sirkel, kalles en vinkel på én grad», så en hel omdreining er 360°.

• Spiss vinkel: mindre enn 90°. Viserne på klokka danner spisse vinkler klokka ett og klokka to (30° og 60°).
• Rett vinkel: nøyaktig 90°, et firkantet hjørne. Viserne klokka tre danner én.
• Stump vinkel: mer enn 90° og mindre enn 180°. Viserne klokka fire danner 120°.
• Like vinkel: nøyaktig 180°, en rett linje. Viserne klokka seks peker i hver sin retning.
• Konveks vinkel: mer enn 180° og mindre enn 360°. Utsiden av vinkelen klokka fire, den lange veien rundt, er 360° − 120° = 240°.

En dør viser den samme stigen: åpnet på gløtt danner den en spiss vinkel med karmen, og åpnet helt i vinkel en rett vinkel.

Slik ser du hvilken vinkel det er, uten gradskive

Hjørnet på et A4-ark er en rett vinkel, og det sorterer enhver vinkel på et sekund. Skyv arkhjørnet inn i vinkelen: gjemmer vinkelen seg inni hjørnet, er den spiss, passer de nøyaktig, er den rett, og åpner vinkelen seg mer enn arket, er den stump.

Den nasjonale læreplanen i England ber elevene i Year 3 «avgjøre om vinkler er større eller mindre enn en rett vinkel», og elevene i Year 5 «anslå og sammenligne spisse, stumpe og konvekse vinkler».

Slik gir du en trekant navn, steg for steg

En trekant får navn etter sidene og etter vinklene, så et fullt navn har to ord. Fire steg gir begge.

1. Tell de like sidene. Tre like lange sider gir en likesidet trekant, to like lange sider gir en likebeint trekant, og ingen like sider gir en ulikesidet trekant. På en tegning har like lange sider det samme antallet små streker.
2. Finn den største vinkelen. Den største vinkelen ligger rett overfor den lengste siden. Kontroller den med arkhjørnet fra avsnittet over.
3. Gi vinkelen navn. Er den største vinkelen mindre enn 90°, er trekanten spissvinklet; er den nøyaktig 90°, er trekanten rettvinklet; er den mer enn 90°, er trekanten stumpvinklet.
4. Sett de to navnene sammen. Den firkantede brødskiva, skåret diagonalt, gir to rettvinklede, likebeinte trekanter: to like sider og vinklene 90°, 45° og 45°. En rektangulær brødskive skåret på samme måte gir to rettvinklede, ulikesidede trekanter.

Tegningen viser de seks navnene i rekkefølge. Den øverste raden, fra venstre mot høyre, er likesidet, likebeint og ulikesidet, og den nederste raden er spissvinklet (største vinkel 70°), rettvinklet (90°) og stumpvinklet (120°).

Delen mange gjør feil

En trekant kan bare ha én rett vinkel eller én stump vinkel, og barn tegner ofte en «trekant» med to. To rette vinkler er allerede 90° + 90° = 180°, summen for hele trekanten, så den tredje vinkelen ville blitt 0°, og sidene ville gått parallelt i all evighet.

Det samme betyr at hver trekant har minst to spisse vinkler, og derfor avhenger navnet bare av den største vinkelen.

Typer trekanter side om side

De seks typene trekanter deler seg i to familier på tre, én etter sider og én etter vinkler. Hver trekant får ett navn fra hver familie.

Noen kombinasjoner finnes aldri. En likesidet trekant er alltid spissvinklet, fordi alle vinklene er 60°, så en «rettvinklet likesidet» eller «stumpvinklet likesidet» trekant kan ikke finnes. Rettvinklet likebeint (90°, 45°, 45°) og stumpvinklet likebeint (120°, 30°, 30°) finnes begge.

Hvilke navn barnet ditt trenger på hvilket trinn

I Norge skal eleven etter 4. trinn kunne «beskrive og utforske egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer ved å bruke vinkler, kanter, hjørner og flater», ifølge kompetansemålene etter 4. trinn i LK20. Etter 9. trinn skal eleven kunne «utforske, beskrive og argumentere for sammenhenger mellom sidelengdene i trekanter» (kompetansemålene etter 9. trinn).

I USA kommer navnene på vinklene og den første trekantkategorien i fjerde skoleår. Common Core 4.G.A.1 ber elevene tegne «vinkler (rette, spisse, stumpe)», og 4.G.A.2 ber dem «kjenne igjen rettvinklede trekanter som en kategori». Femte skoleår legger til at kategorier ligger inni hverandre: standard 5.G.B.3 sier at «egenskaper som hører til en kategori av todimensjonale figurer, hører også til alle underkategoriene», og 5.G.B.4 ber elevene «ordne todimensjonale figurer i et hierarki etter egenskaper». Komplementvinkler og supplementvinkler kommer i sjuende skoleår (7.G.B.5), og det formelle argumentet for vinkelsummen 180° venter til åttende skoleår (8.G.A.5).

I England skal elevene i Year 4 «sammenligne og klassifisere geometriske figurer, også firkanter og trekanter, etter egenskaper og størrelse», og elevene i Year 6 «finne ukjente vinkler i alle trekanter, firkanter og regulære mangekanter». Se hva barnet skal kunne i matte på hvert trinn for resten av hvert år.

180°-regelen og vinkler som mangler

De tre vinklene i hver trekant er til sammen 180°. OpenStax Prealgebra sier det slik: «For enhver ΔABC er summen av vinklene 180°.»

En vinkel som mangler, er 180° minus de to vinklene du kjenner. Med vinklene 50° og 60° er den tredje vinkelen 180° − 50° − 60° = 70°. Kontroller ved å legge sammen: 50° + 60° + 70° = 180°.

En rettvinklet trekant trenger bare én kjent vinkel. Den rette vinkelen tar 90°, så en rettvinklet trekant med en vinkel på 35° har en tredje vinkel på 180° − 90° − 35° = 55°.

To vinkelfakta til bruker den samme subtraksjonen. Komplementvinkler er til sammen 90°, så komplementvinkelen til 35° er 90° − 35° = 55°; supplementvinkler er til sammen 180°, så supplementvinkelen til 50° er 180° − 50° = 130°. OpenStax definerer dem på samme måte: «Hvis summen av to vinkler er 180°, er vinklene supplementvinkler.»

Å finne den tredje vinkelen er subtraksjon med tosifrede tall, ofte med veksling, som i 180 − 65 = 115. Guiden om subtraksjon med veksling hjelper når nullen i 180 skaper trøbbel.

Spill gratis i nettleserenMinus med 2-sifrede tall1.–2. trinn

Testen med de avrevne hjørnene beviser 180°-regelen hjemme. Tegn en hvilken som helst trekant, fargelegg hjørnene, klipp den ut, riv av de tre hjørnene og legg spissene inntil en linjal: de fyller alltid en rett linje, som er 180°. Common Core 8.G.A.5 foreslår den samme ideen: «legg tre kopier av den samme trekanten slik at summen av de tre vinklene ser ut til å danne en linje».

Slik regner du ut arealet av en trekant

Arealet av en trekant er halvparten av grunnlinjen ganger høyden: A = ½ × g × h, som er det samme som (g × h) : 2. Høyden måles vinkelrett fra grunnlinjen til det motsatte hjørnet, så den er lik en side bare i en rettvinklet trekant.

Formelen kommer fra et rektangel. Skjær et rektangel på 8 cm × 5 cm diagonalt, som brødskiva, og hver halvdel er en trekant med grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm. Rektangelet dekker 8 × 5 = 40 cm², så hver trekant dekker 40 : 2 = 20 cm².

OpenStax skriver formelen som A = ½bh, «der b er grunnlinjen og h er høyden». Å halvere og å gange med ½ er det samme steget (se brøk forklart for foreldre). Common Core legger arealet av trekanter til sjette skoleår (6.G.A.1), etter arbeidet med rektangler i areal og omkrets.

Slik sjekker du framgangen med trekanter og vinkler

Fem raske spørsmål viser om et barn kan navnene eller gjetter.

• Klokkespørsmålet: Hvilken vinkel danner viserne klokka tre, klokka seks og klokka to? Rett (90°), like (180°) og spiss (60°).
• Spørsmålet om to navn: Hva er de to navnene på en trekant med vinklene 90°, 45° og 45°? Rettvinklet og likebeint.
• Vinkelen som mangler: En trekant har vinklene 40° og 75°. Den tredje er 180° − 40° − 75° = 65°.
• Den umulige trekanten: Kan en trekant ha vinklene 100° og 90°? Nei, fordi 100° + 90° = 190° allerede er mer enn 180°.
• Arealspørsmålet: En trekant har grunnlinje 10 cm og høyde 6 cm. Arealet er 10 × 6 : 2 = 30 cm².

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet virker best med ekte ting. Brett en serviett, skjær en toastskive, hold opp en kleshenger og be om to navn på hver trekant, med arkhjørnet som eneste verktøy.

Sitter navnene, men vinklene som mangler, stopper opp, ligger hullet i subtraksjon fra 180. Mattespillet for 4. trinn driller tallarbeidet på det trinnet, og mattespillet for foreldre og barn gjør øvingen til en kamp dere kan spille sammen.

Vanlige feil og spesialtilfeller

Fire feil står bak de fleste gale svarene på oppgaver om trekanter og vinkler.

• Å gi navn bare etter utseendet: En trekant som ser rettvinklet ut, blir kalt rettvinklet uten kontroll. Bruk arkhjørnet eller den oppgitte vinkelen, fordi 85° og 90° ser like ut.
• Å lese «spissvinklet trekant» som én spiss vinkel: Hver trekant har minst to spisse vinkler. En spissvinklet trekant trenger alle tre under 90°.
• Å trekke fra 360°: Et barn finner en vinkel som mangler i en trekant, som 360° − 50° − 60° = 250°. Vinklene i en trekant er til sammen 180°, og 360° er summen rundt et punkt.
• Å bruke den skrå siden som høyde: I en spissvinklet eller stumpvinklet trekant er høyden en rett linje som står 90° på grunnlinjen, og den er kortere enn den skrå siden.

Er en likesidet trekant også likebeint?

En likesidet trekant er også likebeint med den inkluderende definisjonen, som sier at en likebeint trekant har minst to like lange sider. Lærebøker er ulike: noen definerer likebeint som nøyaktig to like sider, og OpenStax sier at «en likebeint trekant har to sider med samme lengde». Sjekk hvilken definisjon læreboka til barnet ditt bruker. Den inkluderende lesningen passer med ideen fra femte skoleår om at en underkategori beholder alle egenskapene til kategorien sin.

Sjekklisten din for trekanter og vinkler, og neste steg

• Arkhjørnet: ha et ark for hånden som kontroll for rette vinkler.
• To spørsmål: tell de like sidene i hver trekant, og finn så den største vinkelen.
• To navn: si begge, for eksempel rettvinklet og ulikesidet eller stumpvinklet og likebeint.
• 180°-kontroll: legg sammen de tre vinklene etter hvert svar på en vinkel som mangler.
• Halver for arealet: gang grunnlinjen med høyden, del på 2 og skriv svaret i kvadratenheter.
• Tekstoppgaver: når en vinkeloppgave kommer som en fortelling, hjelper stegene i hvordan du løser tekstoppgaver i matte med å velge regneart.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving som holder subtraksjon, multiplikasjon og halvering raske for oppgaver med vinkler og areal. Barn kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.