Oppervlakte en omtrek uitgelegd: het hek, het tapijt en de formules

Het huiswerk van je kind in groep 5 laat een rechthoek zien van 6 cm lang en 4 cm breed, vraagt naar de oppervlakte en de omtrek, en de antwoorden komen terug als 10 en 24, of 24 en 24. Oppervlakte en omtrek zijn twee metingen van dezelfde figuur, en kinderen halen ze door elkaar omdat beide met dezelfde zijden beginnen. Eén beeld zegt wat omtrek is en wat oppervlakte is: de omtrek is het hek om de tuin, de oppervlakte is het tapijt op de vloer.

Wat is het verschil tussen oppervlakte en omtrek?

De omtrek is de afstand rond een figuur, en de oppervlakte is de platte ruimte binnen de figuur. OpenStax Prealgebra zegt het in twee regels: de omtrek is "een maat voor de afstand rond een figuur", en de oppervlakte is "een maat voor het vlak dat een figuur bedekt".

Bij een moestuinbak is het hekje eromheen de omtrek, in meters, en de aarde erin de oppervlakte, in vierkante meters.

De rechthoek van 6 bij 4 uit het huiswerk laat beide tegelijk zien. Loop langs de rand en je legt 6 + 4 + 6 + 4 = 20 eenheden af; tel de vierkantjes binnenin en je krijgt 4 rijen van 6, dus 6 × 4 = 24 vierkante eenheden.

Waarom kinderen de twee door elkaar halen

Kinderen halen oppervlakte en omtrek door elkaar omdat beide vragen dezelfde twee getallen gebruiken, en een kind dat de figuur niet voor zich ziet, kiest een bewerking op goed geluk. 6 + 4 optellen geeft 10, en dat is geen van beide antwoorden; vermenigvuldigen geeft 24, en dat is alleen de oppervlakte.

In Nederland lopen beide begrippen door de hele basisschool. Kerndoel 33 bij SLO vraagt dat leerlingen "leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte". Groep 3 en 4 verkennen omtrek als "de afstand die wordt afgelegd als je om een plat object of om een ruimte heen loopt" en oppervlakte in "zoveel rijen van zoveel vierkantjes"; groep 5 en 6 krijgen de "vierkante meter (m²) als standaardmaat voor oppervlakte" en de maten dm², cm² en mm²; groep 7 en 8 oefenen "de formule voor het bepalen van de omtrek van rechthoekige figuren" en de formule "oppervlakte is lengte x breedte".

In de Verenigde Staten beginnen beide ideeën in het derde schooljaar, ongeveer groep 5. Common Core-standaard 3.MD.C.7a vraagt kinderen "de oppervlakte van een rechthoek met hele zijden te vinden door hem te betegelen, en te laten zien dat die oppervlakte gelijk is aan het product van de zijden". Standaard 3.MD.D.8 voegt de omtrek toe en vraagt "rechthoeken met dezelfde omtrek en een andere oppervlakte, of met dezelfde oppervlakte en een andere omtrek" te laten zien, en 4.MD.A.3 gaat verder met "de formules voor oppervlakte en omtrek van rechthoeken toepassen in praktische en wiskundige problemen".

Engeland kiest een trager pad. De leerplannen van het nationale curriculum vragen leerlingen in Year 4 om "de oppervlakte van rechthoekige samengestelde figuren te vinden door vierkantjes te tellen", en in Year 6 om "te herkennen dat figuren met dezelfde oppervlakte een andere omtrek kunnen hebben en andersom". Het overzicht van welke rekenstof bij welke groep hoort laat zien waar deze onderwerpen naast vermenigvuldigen en breuken staan.

Omtrek en oppervlakte van een rechthoek berekenen, stap voor stap

De omtrek van een rechthoek is 2 × (lengte + breedte), en de oppervlakte is lengte × breedte. Zes stappen brengen een kind van de tekening naar beide antwoorden met de goede eenheden.

1. Zet bij elke zijde een getal. De overstaande zijden van een rechthoek zijn gelijk, dus een rechthoek van 6 bij 4 heeft zijden 6, 4, 6 en 4. Schrijf alle vier de getallen bij de tekening.
2. Controleer of de eenheden gelijk zijn. Een zijde van 2 m en een zijde van 50 cm worden eerst 200 cm en 50 cm (of 2 m en 0,5 m) voordat je optelt of vermenigvuldigt.
3. Tel voor de omtrek alle vier de zijden op. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. De korte weg 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 geeft hetzelfde antwoord.
4. Schrijf de omtrek met een lengte-eenheid. Staan de zijden in centimeters, dan is de omtrek 20 cm.
5. Vermenigvuldig voor de oppervlakte de lengte met de breedte. 6 × 4 = 24. Tel op ruitjespapier de vierkantjes ter controle: 4 rijen van 6 vierkantjes zijn 24.
6. Schrijf de oppervlakte met een vierkante eenheid. De oppervlakte is 24 vierkante centimeter, geschreven als 24 cm², omdat je vierkantjes van 1 cm bij 1 cm telt.

Een ontbrekende zijde vinden

Een ontbrekende zijde vind je door de formule terug te rekenen. Heeft een rechthoek een omtrek van 30 cm en een lengte van 9 cm, dan is de halve omtrek 30 : 2 = 15 cm, en dat is lengte + breedte, dus de breedte is 15 − 9 = 6 cm.

Oppervlakte werkt net zo, maar dan met delen. Een kamer heeft 24 m² vloer en is 6 m lang: 24 = 6 × breedte, dus de breedte is 24 : 6 = 4 m. Standaard 4.MD.A.3 noemt dit "de oppervlakteformule zien als een vermenigvuldiging met een onbekende factor", en de gids over redactiesommen oplossen helpt kinderen beslissen naar welke formule een verhaaltje vraagt.

Omtrek en oppervlakte in één oogopslag

Omtrek en oppervlakte beantwoorden verschillende vragen over dezelfde figuur, dus ze gebruiken verschillende eenheden en verschillende bewerkingen.

Een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden, dus de formules zijn korte versies van die voor de rechthoek. Een vierkant met zijden van 5 m heeft een omtrek van 4 × 5 = 20 m en een oppervlakte van 5 × 5 = 25 m².

Kun je de omtrek vinden uit de oppervlakte?

De oppervlakte alleen vertelt je de omtrek niet, want veel rechthoeken hebben dezelfde oppervlakte. Een oppervlakte van 24 vierkante eenheden past bij al deze rechthoeken:

• 4 bij 6: omtrek 2 × (4 + 6) = 20
• 3 bij 8: omtrek 2 × (3 + 8) = 22
• 2 bij 12: omtrek 2 × (2 + 12) = 28
• 1 bij 24: omtrek 2 × (1 + 24) = 50

Geef één zijde erbij en het antwoord ligt vast. Bij een oppervlakte van 24 en een breedte van 3 is de lengte 24 : 3 = 8 en de omtrek 22; bij een vierkant met oppervlakte 36 is de zijde 6, want 6 × 6 = 36, en de omtrek 4 × 6 = 24.

Dezelfde omtrek, een andere oppervlakte: het touwtjesproefje

Rechthoeken met dezelfde omtrek kunnen heel verschillende oppervlaktes hebben, en een lus touw bewijst het aan de keukentafel. Knoop een touwtje van 24 cm tot een lus, span het op ruitjespapier tot rechthoeken en tel de vierkantjes in elke rechthoek.

Een omtrek van 24 betekent lengte + breedte = 12, dus de rechthoeken met hele zijden zijn:

• 1 bij 11: oppervlakte 11
• 2 bij 10: oppervlakte 20
• 3 bij 9: oppervlakte 27
• 4 bij 8: oppervlakte 32
• 5 bij 7: oppervlakte 35
• 6 bij 6: oppervlakte 36

Hetzelfde hek van 24 cm omsluit 11 vierkante eenheden in een lange, smalle vorm en 36 in een vierkant. Onder de rechthoeken wint het vierkant altijd, en daarom haalt een boer met een vaste lengte hek het meeste weiland uit een vierkant stuk land.

Elke oppervlakte in dat rijtje is een tafelsom. De gids over sprongen tellen laat zien hoe rijen vierkantjes tellen uitgroeit tot vermenigvuldigen, en het tafelspel oefent de tafels.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

L-vormige kamers en andere samengestelde figuren

De oppervlakte van een L-vormige figuur vind je door haar in rechthoeken te splitsen en hun oppervlaktes op te tellen. Standaard 3.MD.C.7d vraagt kinderen "de oppervlakte van rechthoekige samengestelde figuren te vinden door ze te splitsen in rechthoeken die niet overlappen en de oppervlaktes van die delen op te tellen".

Neem een L die onderaan 6 eenheden breed is en links 5 eenheden hoog. Splits haar in een strook onderaan van 6 × 2 = 12 en een kolom erbovenop van 2 × 3 = 6, dus de oppervlakte is 12 + 6 = 18 vierkante eenheden.

Voor de omtrek heb je elke buitenrand nodig, ook de twee binnenhoeken die een kind vaak overslaat. Rond de L zijn de randen 2, 3, 4, 2, 6 en 5, samen 22 eenheden; de 4 is de bovenkant van de onderste strook (6 − 2), en de 3 is de hoogte van de kolom (5 − 2).

Hoe je de voortgang met oppervlakte en omtrek controleert

Vijf korte vragen laten zien of een kind oppervlakte en omtrek begrijpt of naar de bewerking gokt.

• De sorteervraag: Vraag of een hek, een vloerkleed, een fotolijst en een gazon over omtrek of oppervlakte gaan. Hek en lijst gaan over omtrek; kleed en gazon over oppervlakte.
• De gewone rechthoek: Geef een rechthoek van 7 bij 3. De omtrek is 20 en de oppervlakte 21, en het kind zet er de eenheden bij (cm en cm²).
• Het vierkant: Geef een vierkant met zijden van 9 m. De omtrek is 36 m en de oppervlakte 81 m².
• De ontbrekende zijde: Geef een oppervlakte van 40 m² en een lengte van 8 m. De breedte is 5 m, gevonden met 40 : 8.
• De denkvraag: Vraag welke rechthoek met een omtrek van 20 de grootste oppervlakte heeft. Het antwoord is het vierkant van 5 bij 5, met 25 vierkante eenheden.

Een toets van vijf minuten aan de keukentafel

Een toets van vijf minuten met drie gemengde vragen (één rechthoek, één ontbrekende zijde, één L-vorm) laat meer zien dan een blad met één soort som. Laat het kind de figuur tekenen en "rondom" of "binnenin" zeggen voordat het gaat rekenen.

Kinderen die de oppervlaktemethode goed hebben maar vastlopen op het vermenigvuldigen, hebben de tafels harder nodig dan de meetkunde. Het rekenspel voor groep 5 en het rekenspel voor groep 6 behandelen het rekenwerk op niveau waar elke oppervlaktesom op leunt, en de gids over cijferend vermenigvuldigen uitleggen helpt als de zijden twee cijfers krijgen.

Veelgemaakte fouten bij oppervlakte en omtrek

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij oppervlakte en omtrek, en elke fout heeft een oplossing van één regel.

• Maar twee zijden optellen: Een rechthoek van 6 bij 4 krijgt een omtrek van 10 in plaats van 20. Zet bij alle vier de zijden een getal voordat je optelt, of gebruik 2 × (lengte + breedte).
• Vermenigvuldigen voor de omtrek: Een kind schrijft 6 × 4 = 24 als omtrek. Vraag eerst "rondom of binnenin?"; rondom betekent optellen.
• Eenheden door elkaar: Een tuin van 2 m bij 50 cm krijgt een oppervlakte van 100. Zet eerst om: 200 cm × 50 cm = 10.000 cm², of 2 m × 0,5 m = 1 m².
• De vierkante eenheid vergeten: Een oppervlakte geschreven als 24 cm leest als een lengte. Oppervlakte telt altijd vierkantjes, dus het antwoord is 24 cm².

Randgeval: waarom oppervlakte vierkante eenheden gebruikt

Oppervlakte gebruikt vierkante eenheden omdat de meting eenheidsvierkantjes telt. Standaard 3.MD.C.5a zegt dat "een vierkant met zijde 1 eenheid, een eenheidsvierkant genoemd, een oppervlakte heeft van één vierkante eenheid", dus een rechthoek die door 24 van die vierkantjes wordt bedekt, heeft een oppervlakte van 24 vierkante eenheden.

De vierkante eenheid verklaart ook waarom de zijden verdubbelen de oppervlakte niet verdubbelt. Een rechthoek van 2 bij 3 beslaat 6 vierkantjes en een rechthoek van 4 bij 6 er 24, dat is 4 keer zoveel, terwijl de omtrek groeit van 10 naar 20, maar 2 keer zoveel.

Je checklist voor oppervlakte en omtrek en de volgende stappen

• Rondom of binnenin: beslis wat de vraag wil voordat je rekent.
• Alle vier de zijden: zet bij elke zijde van een rechthoek een getal, ook bij de twee die de tekening leeg laat.
• Dezelfde eenheden: zet elke zijde om naar één eenheid voordat je optelt of vermenigvuldigt.
• De goede eenheid bij het antwoord: cm voor de omtrek, cm² voor de oppervlakte.
• Ruitjespapier: teken de rechthoek en tel de vierkantjes om het product te controleren.
• Tegeltjes of crackers: bouw rechthoeken met vierkante tegeltjes, probeer daarna de touwlus van 24 cm en zoek de grootste oppervlakte.

Het werkblad vermenigvuldigen voor groep 5 geeft printbare oefening met een antwoordblad.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 5Werkblad · PDF

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en een korte dagelijkse oefening. Kinderen kunnen ook 1 tot 4 vrienden of familieleden uitdagen in live rekenwedstrijden, in elk van de 33 talen.