Omtrek van een cirkel berekenen, de oppervlakte vinden en wat pi is

Je kind in groep 8 of de brugklas heeft een werkblad vol cirkels, een rekenmachine en twee formules die bijna hetzelfde lijken. De omtrek van een cirkel is de afstand rondom, de oppervlakte is de ruimte erbinnen, en allebei komen ze van één getal: pi. Zodra je weet welke maat een opgave geeft, de straal of de diameter, kost het berekenen van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel twee of drie stappen.

Wat is pi, en waarom heeft elke cirkel het nodig?

Pi (π) is het aantal keer dat de diameter van een cirkel om de rand heen past, en dat getal is voor elke cirkel ter wereld hetzelfde. Het Wikipedia-artikel over pi geeft als waarde ongeveer 3,14159 en merkt op dat de decimale vorm "nooit eindigt en ook nooit in een blijvend herhalend patroon terechtkomt".

Pi is een irrationaal getal, dus geen enkele breuk of kommagetal is er precies gelijk aan. Het leerboek OpenStax Prealgebra 2e zegt dat leerlingen "π benaderen met 3,14 of 22/7, afhankelijk van of de straal van de cirkel als kommagetal of als breuk gegeven is".

Straal en diameter

De straal en de diameter zijn de twee lengtes waarmee elke formule voor de cirkel begint. De straal (r) loopt van het middelpunt naar de rand, en de diameter (d), ook middellijn genoemd, loopt van rand tot rand door het middelpunt. De diameter is dus altijd twee keer de straal: d = 2 × r.

Een pizza van 30 cm doorsnede heeft een diameter van 30 cm en een straal van 15 cm. Schrijf beide getallen op voordat je een formule gebruikt. De meeste foute antwoorden bij cirkelopgaven beginnen met de verkeerde van de twee.

De omtrek van een cirkel berekenen, stap voor stap

De omtrek van een cirkel is π × diameter, of 2 × π × straal. In de tekening staat de omtrek als C, van het Engelse woord circumference: C = π × d en C = 2 × π × r. Beide formules geven hetzelfde antwoord, want 2 × r is de diameter. OpenStax noemt de cirkelomtrek "de omtrek (perimeter) van een cirkel", hetzelfde woord als bij andere figuren, en dat verbindt de cirkel met de oppervlakte en omtrek van vierkanten en rechthoeken.

1. Zoek de diameter. Meet dwars over de cirkel door het middelpunt, of verdubbel de straal. Een etensbord meet 26 cm, dus d = 26 cm.
2. Kies een waarde voor pi. Gebruik 3,14 bij kommagetallen en hele getallen, 22/7 als de straal een veelvoud van 7 is, of de π-toets op de rekenmachine voor het nauwkeurigste antwoord.
3. Vermenigvuldig pi met de diameter. 3,14 × 26 = 81,64. De gids over kommagetallen vermenigvuldigen en delen laat zien hoe je deze stap met de hand doet.
4. Schrijf de eenheid erbij. De omtrek is ongeveer 81,64 cm. Omtrek is een lengte, dus je gebruikt cm of m, zonder kleine 2.
5. Controleer de grootte. Het antwoord moet iets meer zijn dan 3 diameters: 3 × 26 = 78, en 81,64 is iets meer. Een antwoord kleiner dan 3 diameters of groter dan 4 is fout.

Een wiel met een straal van 30 cm gebruikt de andere vorm: omtrek = 2 × 3,14 × 30 = 188,4 cm.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 8Werkblad · PDF

Waar het misgaat: straal of diameter

De meest gemaakte fout bij de omtrek is de straal invullen in π × d. Een cirkel met een straal van 5 cm krijgt dan 3,14 × 5 = 15,7 cm, de helft van het goede antwoord, 31,4 cm. Vraag "is dit getal de hele breedte, of de helft ervan?" voordat je vermenigvuldigt.

De omgekeerde fout verdubbelt een diameter in 2 × π × r. Een bord van 26 cm wordt dan 2 × 3,14 × 26 = 163,28 cm, twee keer de echte afstand rondom. De controle uit stap 5 vangt beide fouten in een paar seconden.

De oppervlakte van een cirkel berekenen

De oppervlakte van een cirkel is π × straal × straal, kort A = π × r². De oppervlakte telt de vierkante eenheden binnen de cirkel, dus het antwoord staat altijd in vierkante eenheden zoals cm² of m².

Een cirkel met een straal van 5 cm heeft een oppervlakte van 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Het etensbord uit het stappenplan heeft een straal van 13 cm, dus de oppervlakte is 3,14 × 13 × 13 = 3,14 × 169 = 530,66 cm². Een pizza van 30 cm heeft een straal van 15 cm en een oppervlakte van 3,14 × 225 = 706,5 cm².

De volgorde telt: kwadrateer eerst de straal en vermenigvuldig dan met π. De kleine 2 in r² is een exponent, die de gids over machten uitlegt, en kinderen die hun kwadraten uit het hoofd kennen (25, 36, 49, 64) hebben elke oppervlakte in één stap.

Gratis spelen in je browserKwadratenGroep 6–8

Waarom de formule voor de oppervlakte klopt

De formule voor de oppervlakte komt van een cirkel die je in smalle punten snijdt, zoals een pizza, en naast elkaar legt. Leg de punten om en om met de punt omhoog en omlaag, en ze vormen bijna een parallellogram. Hoe meer punten je snijdt, hoe meer de vorm op een rechthoek lijkt.

De lange zijde van die vorm is de helft van de omtrek, dus de helft van 2 × π × r, en dat is π × r. De hoogte is één straal, r. Een rechthoek van π × r lang en r hoog heeft een oppervlakte van π × r × r, en dat is de formule.

Common Core-standaard 7.G.B.4 vraagt Amerikaanse leerlingen in grade 7 om "de formules voor de oppervlakte en de omtrek van een cirkel te kennen en ermee problemen op te lossen; geef een informele afleiding van het verband tussen de omtrek en de oppervlakte van een cirkel", en deze tekening met de punten is die informele afleiding. In Nederland noemt kerndoel 33 van SLO voor groep 7 en 8 "onderzoekjes naar de omtrek van niet-rechthoekige figuren zoals cirkels".

Omtrek, oppervlakte, diameter en straal naast elkaar

Omtrek, oppervlakte, diameter en straal beschrijven vier verschillende dingen van dezelfde cirkel.

De omtrek groeit gelijk op met de straal, maar de oppervlakte groeit met het kwadraat van de straal. Een pizza van 40 cm heeft een straal van 20 cm en een oppervlakte van 3,14 × 400 = 1256 cm², bijna twee keer de 706,5 cm² van een pizza van 30 cm.

Welke maat een opgave vraagt

De woorden in een verhaaltjessom vertellen welke formule je nodig hebt. "Rondom", "rand", "afzetten", "hek" en "hoe ver rolt het wiel" wijzen naar de omtrek. "Bedekken", "binnen", "verven", "tapijt" en "hoeveel pizza" wijzen naar de oppervlakte.

De gids over inhoud berekenen gebruikt de oppervlakte van de cirkel als grondvlak van een cilinder: de inhoud van een blik is π × r² × h.

Proefjes met cirkels aan de keukentafel

Proefjes aan de keukentafel laten een kind pi met de eigen handen vinden voordat het in een formule komt. Elk proefje kost ongeveer tien minuten met een liniaal, touw en een paar ronde voorwerpen.

• Touw om een bord: Leg touw om een etensbord, zet een streepje en leg het touw langs een liniaal. Een bord van 26 cm geeft ongeveer 81 of 82 cm, en 82 : 26 is ongeveer 3,15, dicht bij pi.
• Deksels meten: Meet de diameter en de omtrek van drie deksels van verschillende grootte. Deel elke omtrek door de diameter; elk antwoord komt rond 3,1 uit.
• Een blik rollen: Zet een stip op de rand van een blik, rol het één hele keer over een vel papier en meet het spoor. Het spoor is de omtrek.
• Omtrekken en tellen: Trek een deksel om op ruitjespapier van 1 cm en tel de hele en halve hokjes erbinnen. Een deksel met een straal van 4 cm bedekt ongeveer 50 hokjes, en 3,14 × 16 = 50,24.

Zo controleer je de vooruitgang

Vijf korte vragen laten zien of een kind cirkels begrijpt of een formule overschrijft.

• De woorden: Wijs een cirkel aan en vraag naar de straal, de diameter en de omtrek. Een kind dat alle drie met een vinger kan aanwijzen, weet wat elk woord betekent.
• Het basispaar: Geef een straal van 10 cm. De omtrek is 62,8 cm en de oppervlakte is 314 cm², elk met de goede eenheid.
• De diametervalkuil: Geef een diameter van 8 cm en vraag naar de oppervlakte. De straal is 4, dus de oppervlakte is 3,14 × 16 = 50,24 cm².
• De groottecontrole: Vraag of een omtrek van 9 cm kan bij een cirkel met een doorsnede van 4 cm. Dat kan niet, want 3 × 4 = 12 al.
• De omgekeerde vraag: Geef een omtrek van 31,4 cm en vraag naar de diameter: 31,4 : 3,14 = 10 cm.

Een kind dat de aanpak kent maar vastloopt op 3,14 × 16, heeft meer oefening in vermenigvuldigen nodig dan in meetkunde. Het rekenspel voor groep 8 oefent het rekenwerk, en volwassenen die dit opnieuw leren, kunnen het rekenspel voor volwassenen gebruiken voor dezelfde sommen.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij cirkels

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij cirkels, en elke fout heeft een korte oplossing.

• (π × r)² schrijven in plaats van π × r²: Met r = 5 geeft (3,14 × 5)² = 15,7 × 15,7 = 246,49, meer dan 3 keer de echte oppervlakte van 78,5. Kwadrateer alleen de straal en vermenigvuldig dan met π.
• De diameter kwadrateren: Een cirkel van 10 cm doorsnede krijgt dan 3,14 × 10 × 10 = 314, en dat is 4 keer de echte oppervlakte van 78,5 cm². Halveer eerst de diameter.
• De eenheden door elkaar halen: Een omtrek in cm² of een oppervlakte in cm beschrijft de verkeerde soort maat. Omtrek is een lengte in cm; oppervlakte staat in cm².
• Te vroeg afronden: Een straal van 2,45 m afgerond op 2 m kost ongeveer een derde van de oppervlakte. Rond alleen het eindantwoord af.

Randgeval: 22/7 of 3,14?

De breuk 22/7 en het kommagetal 3,14 zijn allebei benaderingen van pi, en ze geven iets andere antwoorden. 22/7 is ongeveer 3,1429 en 3,14 is iets minder dan pi, dus de echte waarde van ongeveer 3,1416 ligt ertussen.

Gebruik 22/7 als de straal of de diameter een veelvoud van 7 is, omdat de zevens tegen elkaar wegvallen. Een cirkel met een straal van 7 cm heeft een omtrek van 2 × 22/7 × 7 = 44 cm en een oppervlakte van 22/7 × 7 × 7 = 154 cm², terwijl 3,14 uitkomt op 43,96 cm en 153,86 cm². De π-toets op de rekenmachine geeft 153,94 cm².

Om van een oppervlakte terug te rekenen naar een straal, deel je door π en trek je de wortel, en dat behandelt de gids over worteltrekken.

Je checklist voor cirkels en de volgende stappen

• Straal of diameter: schrijf beide op voordat je een formule gebruikt, met d = 2 × r.
• Omtrek: vermenigvuldig π × d, of 2 × π × r, en geef het antwoord in cm of m.
• Oppervlakte: kwadrateer eerst de straal, vermenigvuldig dan met π en geef het antwoord in cm² of m².
• Waarde van pi: gebruik 3,14 voor het meeste huiswerk, 22/7 bij veelvouden van 7, of de π-toets als de opgave dat vraagt.
• Groottecontrole: de omtrek is iets meer dan 3 diameters, en de oppervlakte is iets meer dan 3 keer het kwadraat van de straal.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en een korte dagelijkse oefening die de kwadraten en de tafels achter elke cirkelopgave vlot houdt. Je kunt ook 1 tot 4 vrienden of gezinsleden uitdagen in rekenduels in realtime, in een van 33 talen.