Welke soorten driehoeken en hoeken zijn er?

Driehoeken krijgen op twee manieren een naam. Naar de zijden is een driehoek gelijkzijdig (drie gelijke zijden), gelijkbenig (twee gelijke zijden) of ongelijkzijdig (geen gelijke zijden). Naar de hoeken is hij scherphoekig (alle hoeken onder 90°), rechthoekig (één hoek van 90°) of stomphoekig (één hoek boven 90°). De soorten hoeken zijn scherp, recht, stomp, gestrekt (180°) en inspringend (tussen 180° en 360°).

Wat zijn complementaire hoeken?

Complementaire hoeken zijn twee hoeken die samen 90° zijn. Een hoek van 30° en een hoek van 60° zijn complementair, en 35° en 55° ook. De twee kleine hoeken van elke rechthoekige driehoek zijn complementair, want de rechte hoek neemt 90° van de 180° van de driehoek in en laat precies 90° over voor de andere twee.

Wat zijn supplementaire hoeken?

Supplementaire hoeken zijn twee hoeken die samen 180° zijn, dus samen vormen ze een rechte lijn. Een hoek van 120° en een hoek van 60° zijn supplementair; liggen ze naast elkaar, dan heten het nevenhoeken. Draait een deur 50° open vanaf een rechte muur, dan is de hoek aan de andere kant 180° − 50° = 130°.

Hoeveel scherpe hoeken heeft een scherphoekige driehoek?

Een scherphoekige driehoek heeft drie scherpe hoeken, want de naam betekent dat elke hoek kleiner is dan 90°. Elke driehoek heeft minstens twee scherpe hoeken, dus een driehoek met maar twee scherpe hoeken is rechthoekig of stomphoekig. Een gelijkzijdige driehoek, met drie hoeken van 60°, is altijd scherphoekig.

Kan een driehoek twee rechte hoeken hebben?

Een driehoek kan geen twee rechte hoeken hebben. Twee rechte hoeken zijn samen 90° + 90° = 180°, en dat is het totaal voor alle drie de hoeken, dus de derde hoek zou 0° zijn en de twee zijden zouden elkaar nooit raken. Om dezelfde reden heeft een driehoek hooguit één stompe hoek.

Hoe bereken je de oppervlakte van een driehoek?

De oppervlakte van een driehoek bereken je door de basis met de hoogte te vermenigvuldigen en de uitkomst te halveren: basis × hoogte : 2. De hoogte meet je recht omhoog vanaf de basis, onder een rechte hoek. Een driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 5 cm heeft een oppervlakte van 20 cm².

Soorten driehoeken en soorten hoeken uitgelegd

Je snijdt een vierkante boterham van hoek tot hoek door, en je kind in groep 6 vraagt wat voor driehoeken die twee helften zijn. Het huiswerk wil twee namen voor elke driehoek en een ontbrekende hoek, en scherp, stomp en gelijkbenig klinken na schooltijd allemaal hetzelfde. De soorten driehoeken en de soorten hoeken passen op één pagina zodra je de twee vragen achter elke naam kent: hoeveel zijden zijn gelijk, en hoe groot is de grootste hoek?

Welke soorten hoeken zijn er?

De vijf soorten hoeken zijn scherp, recht, stomp, gestrekt en inspringend, en elke soort hangt af van de grootte in graden. De Common Core-standaard 4.MD.C.5 definieert de graad zelf: "een hoek die 1/360 van een cirkel draait, heet een 'hoek van één graad'", dus een hele draai is 360°.

Scherpe hoek: kleiner dan 90°. De wijzers van een klok om 1 uur of 2 uur maken een scherpe hoek (30° en 60°).
Rechte hoek: precies 90°, een haakse hoek. De wijzers om 3 uur maken er een.
Stompe hoek: groter dan 90° en kleiner dan 180°. De wijzers om 4 uur maken 120°.
Gestrekte hoek: precies 180°, een rechte lijn. De wijzers om 6 uur wijzen elk een andere kant op.
Inspringende hoek: groter dan 180° en kleiner dan 360°. De buitenkant van de hoek van 4 uur, de lange weg om, is 360° − 120° = 240°.

Een deur laat dezelfde ladder zien: op een kier maakt hij een scherpe hoek met de deurpost, haaks open een rechte hoek.

Zo zie je de soort hoek zonder geodriehoek

De hoek van een vel printerpapier is een rechte hoek, en daarmee sorteer je elke hoek in een seconde. Schuif de papierhoek in de hoek: verdwijnt de hoek binnen de papierhoek, dan is hij scherp; vallen ze samen, dan is hij recht; gaat de hoek verder open dan het papier, dan is hij stomp.

De leerplannen wiskunde van Engeland vragen leerlingen in Year 3, ongeveer groep 5, om "te zien of hoeken groter of kleiner zijn dan een rechte hoek", en in Year 5, ongeveer groep 7, om "scherpe, stompe en inspringende hoeken te schatten en te vergelijken".

Een driehoek benoemen, stap voor stap

Een driehoek benoem je naar zijn zijden en naar zijn hoeken, dus een volledige naam heeft twee woorden. Vier stappen geven allebei.

Tel de gelijke zijden. Drie gelijke zijden maken een gelijkzijdige driehoek, twee gelijke zijden een gelijkbenige driehoek en geen gelijke zijden een ongelijkzijdige driehoek. Op een tekening hebben gelijke zijden hetzelfde aantal streepjes.
Zoek de grootste hoek. De grootste hoek ligt tegenover de langste zijde. Controleer hem met de papierhoek uit het vorige deel.
Benoem de soort hoek. Is de grootste hoek kleiner dan 90°, dan is de driehoek scherphoekig; is hij precies 90°, dan rechthoekig; is hij groter dan 90°, dan stomphoekig.
Zet de twee namen samen. Je vierkante boterham, van hoek tot hoek gesneden, geeft twee rechthoekige gelijkbenige driehoeken: twee gelijke zijden en hoeken van 90°, 45° en 45°. Een rechthoekige boterham op dezelfde manier gesneden geeft twee rechthoekige ongelijkzijdige driehoeken.

Zes driehoeken in twee rijen. Bovenste rij, naar zijden: een gelijkzijdige driehoek met één streepje op elke zijde, een gelijkbenige driehoek met dezelfde streepjes op de twee gelijke zijden, en een ongelijkzijdige driehoek met één, twee en drie streepjes op de drie verschillende zijden. Onderste rij, naar hoeken: een scherphoekige driehoek met de grootste hoek van 70° aangegeven, een rechthoekige driehoek met een vierkantje in de hoek van 90°, en een stomphoekige driehoek met de hoek van 120° aangegeven.

De tekening laat de zes namen op volgorde zien. De bovenste rij is van links naar rechts gelijkzijdig, gelijkbenig en ongelijkzijdig; de onderste rij is scherphoekig (grootste hoek 70°), rechthoekig (90°) en stomphoekig (120°).

Waar het misgaat

Een driehoek kan maar één rechte hoek of één stompe hoek hebben, en kinderen tekenen vaak een "driehoek" met twee. Twee rechte hoeken zijn samen al 90° + 90° = 180°, het totaal voor de hele driehoek, dus de derde hoek zou 0° zijn en de zijden zouden voor altijd evenwijdig lopen.

Hetzelfde feit betekent dat elke driehoek minstens twee scherpe hoeken heeft, en daarom hangt de naam alleen af van de grootste hoek.

Soorten driehoeken naast elkaar

De zes soorten driehoeken vallen uiteen in twee families van drie, een naar zijden en een naar hoeken. Elke driehoek krijgt uit elke familie één naam.

Naam	Zijden	Hoeken	Voorbeeld uit het dagelijks leven
Gelijkzijdig	3 gelijke zijden	Alle drie 60°	Het driehoekige rek bij poolbiljart, het bord "voorrang verlenen"
Gelijkbenig	2 gelijke zijden	De 2 hoeken tegenover de gelijke zijden zijn gelijk	De punt van een zadeldak, een vierkante boterham van hoek tot hoek gesneden
Ongelijkzijdig	Geen gelijke zijden	Alle drie de hoeken verschillen	Een rechthoekige boterham van hoek tot hoek gesneden
Scherphoekig	Elk aantal	Alle drie de hoeken kleiner dan 90°	Een punt van een pizza in 8 stukken (een punt van 45°)
Rechthoekig	Elk aantal	Eén hoek precies 90°	Een geodriehoek, een gevouwen servethoek
Stomphoekig	Elk aantal	Eén hoek groter dan 90°	Een kledinghanger

Sommige combinaties bestaan niet. Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig, want al zijn hoeken zijn 60°, dus een "rechthoekige gelijkzijdige" of "stomphoekige gelijkzijdige" driehoek kan niet. Rechthoekig gelijkbenig (90°, 45°, 45°) en stomphoekig gelijkbenig (120°, 30°, 30°) bestaan allebei.

Welke namen je kind in welk leerjaar nodig heeft

In Nederland vragen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO op de basisschool om "redeneren met en over eigenschappen van meetkundige figuren en begrippen". Voor de onderbouw van havo en vwo noemen ze "redeneren met hoeken en eigenschappen van hoeken in meetkundige figuren". In de VS komen de namen van hoeken en de eerste soort driehoek in grade 4, ongeveer groep 6. Common Core 4.G.A.1 vraagt kinderen "hoeken (recht, scherp, stomp)" te tekenen, en 4.G.A.2 vraagt ze "rechthoekige driehoeken als groep te herkennen".

Grade 5 voegt het idee toe dat groepen in elkaar passen. Standaard 5.G.B.3 zegt dat "kenmerken van een groep tweedimensionale figuren ook gelden voor alle subgroepen van die groep", en 5.G.B.4 vraagt kinderen "tweedimensionale figuren in een hiërarchie te ordenen op hun eigenschappen". Complementaire en supplementaire hoeken komen in grade 7 (7.G.B.5), en het formele bewijs voor de hoekensom van 180° wacht tot grade 8 (8.G.A.5).

In Engeland "vergelijken en ordenen" leerlingen in Year 4 "meetkundige vormen, waaronder vierhoeken en driehoeken, op hun eigenschappen en grootte", en in Year 6 "vinden ze onbekende hoeken in elke driehoek, vierhoek en regelmatige veelhoek". Zie wat je kind per leerjaar moet kunnen voor de rest van elk leerjaar.

De 180°-regel en ontbrekende hoeken

De drie hoeken van elke driehoek zijn samen 180°. OpenStax Prealgebra schrijft het als "voor elke ΔABC is de som van de hoeken 180°."

Een ontbrekende hoek is 180° min de twee hoeken die je kent. Met hoeken van 50° en 60° is de derde hoek 180° − 50° − 60° = 70°. Controleer door op te tellen: 50° + 60° + 70° = 180°.

Een driehoek met hoeken van 50° en 60° en een vraagteken in de derde hoek, naast zijn drie afgescheurde hoeken die punt aan punt op een rechte lijn liggen: 50°, 70° en 60° vullen samen een halve cirkel van 180°, met 180° − 50° − 60° = 70° eronder.

Bij een rechthoekige driehoek heb je maar één bekende hoek nodig. De rechte hoek neemt 90°, dus een rechthoekige driehoek met een hoek van 35° heeft een derde hoek van 180° − 90° − 35° = 55°.

Nog twee hoekfeiten gebruiken dezelfde aftreksom. Complementaire hoeken zijn samen 90°, dus het complement van 35° is 90° − 35° = 55°; supplementaire hoeken zijn samen 180°, dus het supplement van 50° is 180° − 50° = 130°. OpenStax definieert ze op dezelfde manier: "Als de som van twee hoeken 180° is, zijn de hoeken supplementair."

De derde hoek vinden is aftrekken met twee cijfers, vaak met lenen, zoals 180 − 65 = 115. De gids over aftrekken met lenen helpt als de nul in 180 voor problemen zorgt.

Gratis spelen in je browserGetallen van 2 cijfers aftrekkenGroep 3–4

De scheurproef bewijst de 180°-regel thuis. Teken een driehoek, kleur de hoeken, knip hem uit, scheur de drie hoeken af en leg de punten tegen een liniaal: ze vullen altijd een rechte lijn, en dat is 180°. Common Core 8.G.A.5 stelt hetzelfde idee voor: "leg drie kopieën van dezelfde driehoek zo neer dat de som van de drie hoeken een lijn lijkt te vormen".

De oppervlakte van een driehoek berekenen

De oppervlakte van een driehoek is de helft van basis keer hoogte: basis × hoogte : 2. De hoogte meet je onder een rechte hoek van de basis naar de tegenoverliggende hoek, dus alleen bij een rechthoekige driehoek is de hoogte gelijk aan een zijde.

De formule komt uit een rechthoek. Snijd een rechthoek van 8 cm bij 5 cm van hoek tot hoek door, net als de boterham, en elke helft is een driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 5 cm. De rechthoek bedekt 8 × 5 = 40 cm², dus elke driehoek bedekt 40 : 2 = 20 cm².

OpenStax schrijft de formule als A = ½bh, "waarbij b de basis is en h de hoogte". Halveren en met ½ vermenigvuldigen zijn dezelfde stap (zie breuken voor ouders). Common Core zet de oppervlakte van een driehoek in grade 6 (6.G.A.1), na het werk met rechthoeken in oppervlakte en omtrek.

Zo controleer je de vooruitgang met driehoeken en hoeken

Vijf snelle vragen laten zien of een kind de namen kent of gokt.

De klokvraag: Welke hoek maken de wijzers om 3 uur, 6 uur en 2 uur? Recht (90°), gestrekt (180°) en scherp (60°).
De vraag naar twee namen: Wat zijn de twee namen van een driehoek met hoeken van 90°, 45° en 45°? Rechthoekig en gelijkbenig.
De ontbrekende hoek: Een driehoek heeft hoeken van 40° en 75°. De derde is 180° − 40° − 75° = 65°.
De onmogelijke driehoek: Kan een driehoek hoeken van 100° en 90° hebben? Nee, want 100° + 90° = 190° is al meer dan 180°.
De oppervlaktevraag: Een driehoek heeft een basis van 10 cm en een hoogte van 6 cm. De oppervlakte is 10 × 6 : 2 = 30 cm².

Een toets van vijf minuten aan de keukentafel

Een toets van vijf minuten aan de keukentafel werkt het best met echte voorwerpen. Vouw een servet, snijd een tosti door, houd een kledinghanger omhoog en vraag twee namen voor elke driehoek, met de papierhoek als enige gereedschap.

Zitten de namen goed maar lopen de ontbrekende hoeken vast, dan zit het gat in aftrekken vanaf 180. Het rekenspel voor groep 6 oefent het rekenwerk van dat leerjaar, en het rekenspel voor ouders en kinderen maakt van oefenen een wedstrijd die je samen speelt.

Veelgemaakte fouten en randgevallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij vragen over driehoeken en hoeken.

Alleen op het oog benoemen: Een driehoek die er recht uitziet, wordt rechthoekig genoemd zonder controle. Gebruik de papierhoek of de gegeven hoek, want 85° en 90° lijken op elkaar.
"Scherphoekige driehoek" lezen als één scherpe hoek: Elke driehoek heeft minstens twee scherpe hoeken. Een scherphoekige driehoek heeft er drie onder 90°.
Aftrekken van 360°: Een kind vindt een ontbrekende hoek als 360° − 50° − 60° = 250°. De hoeken van een driehoek zijn samen 180°; 360° is het totaal rond een punt.
De schuine zijde als hoogte gebruiken: In een scherphoekige of stomphoekige driehoek is de hoogte een rechte lijn onder 90° met de basis, en die is korter dan de schuine zijde.

Is een gelijkzijdige driehoek ook gelijkbenig?

Een gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig volgens de ruime definitie, die zegt dat een gelijkbenige driehoek minstens twee gelijke zijden heeft. Lesboeken verschillen: sommige definiëren gelijkbenig als precies twee gelijke zijden, en OpenStax zegt "een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden met dezelfde lengte." Kijk welke definitie de rekenmethode van je kind gebruikt. De ruime lezing past bij het idee uit grade 5 dat een subgroep alle eigenschappen van zijn groep houdt.

Je checklist voor driehoeken en hoeken en de volgende stappen

Papierhoek: houd een vel papier bij de hand als controle voor rechte hoeken.
Twee vragen: tel bij elke driehoek de gelijke zijden en zoek dan de grootste hoek.
Twee namen: zeg ze allebei, zoals rechthoekig ongelijkzijdig of stomphoekig gelijkbenig.
Controle op 180°: tel de drie hoeken op na elk antwoord voor een ontbrekende hoek.
Oppervlakte halveren: vermenigvuldig basis met hoogte, halveer, en schrijf het antwoord in vierkante eenheden.
Redactiesommen: komt een hoekvraag als verhaaltje, dan helpen de stappen in redactiesommen oplossen bij het kiezen van de bewerking.

Oefen het in de MathIt-app

Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler en een korte dagelijkse oefening die aftrekken, vermenigvuldigen en halveren vlot houdt voor ontbrekende hoeken en oppervlaktes. Kinderen kunnen het ook in live rekenwedstrijden opnemen tegen 1 tot 4 vrienden of familieleden, in elk van 33 talen.

Soorten driehoeken en soorten hoeken: een uitleg voor ouders

In het kort