Wat is een symmetrieas, en hoeveel symmetrieassen heeft een figuur?

Een symmetrieas is een lijn die een figuur in twee helften verdeelt die precies op elkaar passen als je langs die lijn vouwt, zoals een spiegelbeeld. Hoeveel symmetrieassen een figuur heeft, hangt af van de vorm: een vierkant heeft er 4, een rechthoek 2, een gelijkzijdige driehoek 3, een regelmatige zeshoek 6, een parallellogram 0 en een cirkel oneindig veel.

Hoeveel symmetrieassen heeft een vierkant?

Een vierkant heeft 4 symmetrieassen. Twee ervan verbinden de middens van tegenover elkaar liggende zijden, één verticaal en één horizontaal, en de andere twee zijn de diagonalen die tegenover elkaar liggende hoeken verbinden. Een papieren vierkant dat je langs een van die 4 lijnen vouwt, geeft twee helften die precies op elkaar passen.

Hoeveel symmetrieassen heeft een driehoek?

Hoeveel symmetrieassen een driehoek heeft, hangt af van de soort driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft er 3, van elke hoek naar het midden van de overstaande zijde. Een gelijkbenige driehoek heeft er 1, door het midden tussen de twee gelijke zijden. Een ongelijkzijdige driehoek, met drie verschillende zijden, heeft er 0.

Heeft een rechthoek 4 symmetrieassen?

Een rechthoek die geen vierkant is, heeft 2 symmetrieassen. Die twee lijnen verbinden de middens van tegenover elkaar liggende zijden. De diagonalen lijken ook te werken, maar als je een rechthoek langs een diagonaal vouwt, steken twee hoeken buiten de andere helft uit, dus de helften passen niet op elkaar.

Wat is een spiegelas?

Een spiegelas is een ander woord voor een symmetrieas. In de algebra bedoelt men met symmetrieas meestal de verticale lijn die de grafiek van een parabool in twee spiegelhelften verdeelt. Voor een grafiek y = ax² + bx + c is de symmetrieas de lijn x = −b : (2a), dus y = x² − 6x + 8 heeft zijn symmetrieas bij x = 3.

Welke letters van het alfabet hebben een symmetrieas?

Zestien hoofdletters hebben een symmetrieas in een eenvoudig lettertype zoals Arial. A, M, T, U, V, W en Y hebben een verticale as; B, C, D, E en K hebben een horizontale as; H, I, O en X hebben er allebei. Sierlijke lettertypes veranderen het antwoord, dus controleer de letters op het werkblad van je kind.

Symmetrieas: zo vind je ze in elke figuur

Je kind in groep 5 vouwt een vel papier dubbel, knipt een half hartje langs de vouw en vouwt een perfect hart open. Die vouw beantwoordt de vraag "wat is een symmetrieas?", en hetzelfde idee zit achter het werkblad dat vraagt hoeveel symmetrieassen een figuur heeft. Symmetrieassen vinden kost een vouw, een spiegeltje en één zorgvuldige gewoonte: controleer of de twee helften punt voor punt op elkaar passen.

Wat is een symmetrieas?

Een symmetrieas is een lijn die een figuur verdeelt in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. In Nederland staat symmetrie bij kerndoel 32 van SLO, "eenvoudige meetkundige problemen oplossen": in groep 3 en 4 gaat het om "spiegelen en onderzoeken van symmetrieassen", en in groep 5 en 6 komt "symmetrieassen tekenen" erbij. In de VS vraagt Common Core-standaard 4.G.A.3 kinderen in grade 4, ongeveer groep 6, om "een symmetrieas van een tweedimensionale figuur te herkennen als een lijn door de figuur waarlangs je de figuur kunt vouwen tot passende delen", en om "lijnsymmetrische figuren te herkennen en symmetrieassen te tekenen".

Het papieren hart heeft één symmetrieas, door het midden. Een vierkant heeft er vier, en een ongelijkzijdige driehoek heeft er geen. In Engeland vraagt het nationale curriculum voor Year 4, ongeveer groep 6, om "symmetrieassen te vinden in vlakke figuren in verschillende standen" en om "een eenvoudige symmetrische figuur af te maken ten opzichte van een gegeven symmetrieas".

Een vierkant met 4 gestippelde symmetrieassen, een rechthoek met 2, een gelijkzijdige driehoek met 3 en een regelmatige zeshoek met 6, met het aantal onder elke figuur.

Het Wikipedia-artikel over spiegelsymmetrie noemt "lijnsymmetrie" en "spiegelsymmetrie" als namen voor hetzelfde idee; een symmetrieas heet ook spiegelas of spiegellijn.

Lijnsymmetrie en draaisymmetrie

Lijnsymmetrie en draaisymmetrie zijn twee verschillende eigenschappen, en werkbladen in hogere groepen vragen naar allebei. Lijnsymmetrie betekent dat de figuur op zichzelf te vouwen is. Draaisymmetrie betekent dat de figuur er hetzelfde uitziet als je hem minder dan een hele slag om zijn middelpunt draait.

Een vierkant heeft ze allebei: het vouwt op 4 manieren op zichzelf, en het ziet er na een kwartslag van 90° hetzelfde uit. Een parallellogram zonder rechte hoeken heeft draaisymmetrie (het past op zichzelf na een halve draai van 180°) maar helemaal geen symmetrieas. De hoofdletters S, N en Z gedragen zich net zo.

Zo vind je symmetrieassen, stap voor stap

Symmetrieassen vind je door elke mogelijke vouw één voor één te testen en alleen de vouwen te tellen waarbij beide helften precies op elkaar passen. De methode werkt voor elke vlakke figuur op een werkblad van groep 5 of groep 6.

Trek de figuur over of knip hem uit. Teken de figuur op dun papier of knip hem uit kladpapier.
Probeer de verticale vouw. Vouw de figuur van links naar rechts en houd hem voor een raam. Ligt elke rand van de ene helft op de andere helft, dan is de vouw een symmetrieas.
Probeer de horizontale vouw. Vouw het papier open en vouw het van boven naar beneden, en controleer de randen opnieuw.
Probeer de schuine vouwen. Test bij een veelhoek vouwen van hoek naar overstaande hoek en van het midden van een zijde naar het midden van de overstaande zijde. Elk uiteinde van een symmetrieas van een veelhoek ligt op een hoek of op het midden van een zijde.
Gebruik de spiegeltest voor tekeningen. Zet een klein spiegeltje rechtop op de lijn die je wilt testen. Lijkt de helft die je ziet plus haar spiegelbeeld op de hele figuur, dan is de lijn een symmetrieas.
Teken en tel. Teken elke lijn die slaagde met een liniaal als stippellijn, en tel dan elke lijn één keer.

Meetkunde in groep 6 valt in hetzelfde schooljaar als vermenigvuldigen en delen met grotere getallen (Common Core 4.NBT.B.5 en 4.NBT.B.6), en het rekenspel voor groep 6 oefent dat rekenwerk.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 6Werkblad · PDF

Waar het misgaat: de diagonalen van een rechthoek

De diagonalen van een rechthoek zijn geen symmetrieassen, en dat is het vaakste foute antwoord op symmetriewerkbladen. Een diagonaal snijdt de rechthoek in twee even grote driehoeken, en dat lijkt te moeten tellen. Vouwen langs de diagonaal vertelt de waarheid: de gevouwen driehoek komt scheef te liggen, en twee hoeken steken buiten de andere helft uit.

Links een rechthoek met zijn 2 echte symmetrieassen groen gestippeld en een vinkje; rechts dezelfde rechthoek gevouwen langs een diagonaal, met de gevouwen helft die over de rand uitsteekt, en een kruisje.

De helften moeten spiegelbeelden zijn, dus elk punt aan de ene kant heeft een partner op dezelfde afstand aan de andere kant. Een vierkant slaagt voor de diagonale vouw omdat alle zijden even lang zijn, en daarom heeft een vierkant 4 assen en een rechthoek 2.

Hoeveel symmetrieassen heeft elke figuur?

Het aantal symmetrieassen van elke bekende figuur ligt vast, dus een kind kan een antwoord op een werkblad met één lijst controleren. De aantallen gaan uit van de meest algemene versie van elke figuur: een rechthoek die geen vierkant is, een gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is en een ruit die geen vierkant is.

Figuur	Symmetrieassen	Waar de assen liggen	Draaisymmetrie?
Cirkel	Oneindig veel	Elke lijn door het middelpunt	Ja, elke draai
Vierkant	4	2 door de middens van overstaande zijden, 2 diagonalen	Ja, elke 90°
Rechthoek	2	Door de middens van overstaande zijden	Ja, 180°
Gelijkzijdige driehoek	3	Elke hoek naar het midden van de overstaande zijde	Ja, elke 120°
Gelijkbenige driehoek	1	Van de tophoek tussen de gelijke zijden naar het midden van de basis	Nee
Ongelijkzijdige driehoek	0	Geen	Nee
Regelmatige vijfhoek	5	Elke hoek naar het midden van de overstaande zijde	Ja, elke 72°
Regelmatige zeshoek	6	3 van hoek naar hoek, 3 van midden naar midden	Ja, elke 60°
Parallellogram	0	Geen	Ja, 180°
Ruit	2	Beide diagonalen	Ja, 180°
Vlieger	1	De diagonaal door de hoeken waar gelijke zijden samenkomen	Nee

De rijen met driehoeken sluiten aan bij de namen van driehoeken die kinderen in dezelfde jaren leren, en de gids over soorten driehoeken en hoeken legt gelijkzijdig, gelijkbenig en ongelijkzijdig uit aan de hand van de zijden.

Waarom een regelmatige veelhoek met n zijden n assen heeft

Een regelmatige veelhoek heeft n symmetrieassen als hij n gelijke zijden en n gelijke hoeken heeft. Een veelhoek met een oneven aantal zijden, zoals de vijfhoek, heeft één as van elke hoek naar het midden van de overstaande zijde, dus 5 hoeken geven 5 assen. Een veelhoek met een even aantal zijden, zoals de zeshoek, heeft n : 2 assen van hoek naar hoek en n : 2 assen van midden naar midden: 3 + 3 = 6.

De draaihoek volgt hetzelfde patroon: een regelmatige veelhoek met n zijden ziet er na een draai van 360° : n hetzelfde uit. Een zeshoek past op zichzelf elke 360 : 6 = 60°, en een vijfhoek elke 360 : 5 = 72°. Die hoeken zijn deelsommen.

Gratis spelen in je browserDeelsommenGroep 5+

Symmetrie-activiteiten thuis

Symmetrie-activiteiten thuis maken van de definitie iets wat je kind kan zien en aanraken. Elke activiteit kost ongeveer tien minuten met spullen die je al hebt.

Letters van het alfabet: Schrijf de hoofdletters in een eenvoudig lettertype en test elke letter met een spiegeltje. In een lettertype als Arial hebben A, M, T, U, V, W en Y een verticale as; B, C, D, E en K een horizontale as; en H, I, O en X hebben er allebei.
Vlinders en bladeren: Vergelijk een plaatje van een vlinder met een blad uit de tuin. Beide zijn bijna spiegelbeelden, en dat begint een goed gesprek over wat "precies" betekent in de wiskunde.
Klodderschilderij: Vouw een vel papier, vouw het open, laat verf aan één kant van de vouw vallen en druk de helften op elkaar. De afdruk is elke keer symmetrisch ten opzichte van de vouw.
Uitgeknipte figuren: Vouw papier één keer, knip een vorm langs de vouw en voorspel hoe hij er opengevouwen uitziet.

Een figuur dubbelvouwen laat ook helften zien zoals bij breuken: elk deel is 1/2 van het geheel, en de gids over breuken voor ouders bouwt op dezelfde vouw.

Spiegeltekenen

Spiegeltekenen is de activiteit die past bij "symmetrieassen tekenen" in groep 5 en 6 en bij het Engelse Year 4-doel om "een eenvoudige symmetrische figuur af te maken". Teken de helft van een huisje op ruitjespapier naast een rechte lijn, en vraag je kind de andere helft te tekenen met elke hoek even veel hokjes van de lijn.

Met een handspiegeltje op de lijn kan je kind de tekening zelf controleren. Ga van een verticale lijn naar een horizontale en dan naar een schuine: het stuk "in verschillende standen" uit het curriculum.

Zo controleer je de vooruitgang met symmetrie

Vijf korte vragen laten zien of een kind symmetrieassen begrijpt of gokt op het uiterlijk van een figuur.

Het vierkant en de rechthoek: Vraag naar het aantal assen van elk. De antwoorden zijn 4 en 2, en het kind legt uit waarom de diagonalen van de rechthoek niet werken.
De drie driehoeken: Laat een gelijkzijdige, een gelijkbenige en een ongelijkzijdige driehoek zien. De antwoorden zijn 3, 1 en 0.
De gedraaide figuur: Teken een gelijkbenige driehoek die op zijn kant ligt. Een kind dat nog steeds de ene as vindt, haalt het doel "in verschillende standen".
De letters: Vraag welke van H, E, S en A een symmetrieas hebben. H, E en A wel; S heeft er geen.
De halve tekening: Geef een halve figuur naast een lijn en vraag om de rest.

Een toets van vijf minuten aan de keukentafel

Een symmetrietoets van vijf minuten gebruikt drie uitgeknipte figuren: een vierkant, een rechthoek en een parallellogram. Vraag je kind het aantal assen van elke figuur te voorspellen en dan te vouwen om het te controleren.

De voorspellingen moeten 4, 2 en 0 zijn, en een kind dat 4 voorspelt voor de rechthoek, is in de diagonaalval gelopen. Het rekenspel voor groep 5 en het overzicht van wat een kind per groep moet kunnen in rekenen laten zien waar symmetrie staat naast de rest van het werk van dat jaar.

Veelgemaakte fouten met symmetrieassen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden op symmetriewerkbladen, en elke fout heeft een korte oplossing.

De diagonalen van een rechthoek meetellen: Een rechthoek krijgt 4 assen in plaats van 2. Vouw een papieren rechthoek langs een diagonaal en laat de hoeken het antwoord geven.
De diagonalen van een parallellogram meetellen: Een parallellogram krijgt 2 assen in plaats van 0. Elke diagonaal deelt hem in twee gelijke driehoeken, maar geen van beide vouwen past.
Een as twee keer tellen: Een kind telt de bovenste en de onderste helft van dezelfde lijn als twee assen. Teken elke as één keer van rand tot rand en tel dan de getekende lijnen.
Een schuine as missen: Een figuur die scheef is afgedrukt, verstopt zijn assen. Draai het werkblad en test opnieuw.

Randgeval: de cirkel en de regelmatige veelhoeken

Een cirkel heeft oneindig veel symmetrieassen, omdat elke lijn door het middelpunt hem op zichzelf vouwt. Het Wikipedia-artikel over spiegelsymmetrie stelt dat "een cirkel oneindig veel symmetrieassen heeft", dus "oneindig veel" is het verwachte antwoord.

Een regelmatige veelhoek met n zijden heeft precies n assen, dus een regelmatige achthoek heeft er 8 en een regelmatige twaalfhoek 12. De regel geldt alleen voor regelmatige veelhoeken.

In de algebra komt hetzelfde idee terug als de symmetrieas van een grafiek. OpenStax Elementary Algebra 2e geeft de symmetrieas van y = ax² + bx + c als de lijn x = −b : (2a), dus de grafiek van y = x² − 6x + 8 vouwt op zichzelf langs x = 3. De gids over oppervlakte en omtrek behandelt de andere maten van figuren uit dezelfde jaren.

Je checklist voor symmetrieassen en de volgende stappen

Vouwtest: vouw een papieren kopie en controleer of elke rand op zijn partner ligt.
Elke richting: test de verticale, de horizontale en beide schuine vouwen voordat je telt.
Rechthoekval: onthoud dat een rechthoek 2 assen heeft en dat zijn diagonalen niet meetellen.
Regelmatige figuren: een regelmatige veelhoek met n zijden heeft n assen, en een cirkel heeft er oneindig veel.
Eén keer tellen: teken elke as van rand tot rand en tel dan de getekende lijnen.
Twee soorten: houd lijnsymmetrie (vouwen) en draaisymmetrie (draaien) uit elkaar.

Oefen het in de MathIt-app

Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en een korte dagelijkse oefening voor de rekenfeiten die op school naast de meetkunde staan. Ouders en kinderen kunnen ook rekenduels in realtime spelen met 2 tot 5 spelers, en de pagina over het rekenspel voor ouders en kinderen laat zien hoe een ronde met het gezin werkt.

Symmetrieassen uitgelegd: wat ze zijn en hoeveel elke figuur er heeft

In het kort