Wat is een macht, en hoe werken de rekenregels voor machten?

Bij een macht zegt het kleine verhoogde getal, de exponent, hoe vaak je het grondtal met zichzelf vermenigvuldigt, dus 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. De rekenregels volgen daaruit: machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldig je door de exponenten op te tellen, deel je door ze af te trekken, en een macht van een macht krijg je door ze te vermenigvuldigen.

Een exponent is het kleine verhoogde getal achter een grondtal, en het zegt hoe vaak je dat grondtal als factor gebruikt. In 10³ is 10 het grondtal en 3 de exponent, dus 10³ = 10 × 10 × 10 = 1.000. Je leest het als "10 tot de derde" of "10 tot de macht 3".

Wat betekent een negatieve exponent?

Een negatieve exponent betekent één gedeeld door dezelfde macht met een positieve exponent. Dus 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, en 10⁻² = 1⁄100 = 0,01. Het antwoord blijft positief als het grondtal positief is, want het minteken in de exponent wijst naar een omgekeerde, niet naar een negatief getal.

Waarom is elk getal tot de macht 0 gelijk aan 1?

Elk getal behalve 0 tot de macht 0 is 1, omdat elke stap omlaag in de exponent één keer door het grondtal deelt. Bij grondtal 2 loopt het rijtje 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, en nog één keer delen door 2 geeft 2⁰ = 1. De deelregel zegt hetzelfde: 5⁴ : 5⁴ = 5⁰, en elk getal gedeeld door zichzelf is 1.

Tel je de exponenten op bij vermenigvuldigen?

Je telt de exponenten op als je twee machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, dus 3² × 3³ = 3⁵ = 243. Bij verschillende grondtallen werkt de regel niet: 2³ × 3² is 8 × 9 = 72, en de exponenten kun je niet samennemen. Optellen is ook fout bij een macht van een macht, waar (2³)² = 2⁶ en de exponenten vermenigvuldigen.

Hoe typ je een macht?

Een rekenmachine, spreadsheet of gewoon tekstbericht schrijft een macht met het dakje, dus 2^5 betekent 2⁵. In Excel of Google Spreadsheets geven =2^5 en =MACHT(2;5) allebei 32. In een tekstverwerker typ je het getal en zet je de exponent in superscript.

Machten uitgelegd: rekenregels en voorbeelden

Je kind moet voor huiswerk 2⁵ uitrekenen, en op het blad staat 10. Machten lijken een detail, een getal dat klein en hoog staat, maar dat detail maakt van 10 ineens 32. Onder alle rekenregels voor machten zit één idee, en zodra dat helder is, zijn de regels geen lijstje meer om uit je hoofd te leren.

Wat is een macht?

Een macht is een grondtal met een klein verhoogd getal erachter, de exponent, die zegt hoe vaak je het grondtal als factor gebruikt. In 2⁵ is 2 het grondtal en 5 de exponent, dus 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Het geheel heet een macht, en je leest het als "2 tot de vijfde".

Het OpenStax-leerboek Prealgebra zegt het in één regel: "de exponent vertelt ons hoe vaak we het grondtal a als factor gebruiken." Herhaald vermenigvuldigen is voor machten wat herhaald optellen is voor de tafels: 2 × 5 telt vijf keer 2 op, en 2⁵ vermenigvuldigt vijf keer 2.

Machten van 2 groeien door te verdubbelen. Elke stap vermenigvuldigt met nog een 2, dus het rijtje loopt 2, 4, 8, 16, 32, en na tien stappen sta je op 2¹⁰ = 1.024.

Een verdubbelingsketen van blokjesroosters die 2 tot de eerste tot en met 2 tot de vijfde laat zien als 2, 4, 8, 16 en 32 blokjes, met het hele product 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 erboven en de herinnering dat 2 tot de vijfde niet 2 × 5 = 10 is.

Kwadraat en derde macht: waar de namen vandaan komen

De exponenten 2 en 3 hebben een eigen naam, omdat ze een vorm beschrijven. Een vierkant met zijden van 4 bevat 4 × 4 = 16 eenheidsvierkantjes, dus 4² heet "4 kwadraat". Een kubus met ribben van 3 bevat 3 × 3 × 3 = 27 eenheidskubusjes, dus 3³ heet "3 tot de derde" of "3 tot de derde macht".

In Nederland zit dit in groep 7 en 8. De uitwerking van kerndoel 26 bij SLO noemt daar "bijzondere getallen, zoals kwadraten, gemene veelvouden, delers en priemgetallen"; machten met andere exponenten volgen in de brugklas. Het nationale curriculum van Engeland zet het in Year 5, ongeveer groep 7, waar leerlingen "kwadraten en derde machten herkennen en gebruiken, en de notatie voor kwadraat (²) en derde macht (³)". Het spel met kwadraten oefent de eerste twaalf kwadraten tot 7² = 49 en 12² = 144 zonder tellen terugkomen.

Gratis spelen in je browserKwadratenGroep 6–8

Waarom machten ertoe doen: machten van 10 en plaatswaarde

Machten verschijnen op school eerst als machten van 10, omdat ze de plaatswaarde beschrijven. Elke plek in een getal is 10 keer zoveel waard als de plek rechts ervan, dus de plekken zijn 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1.000 en 10⁶ = 1.000.000.

Standaard 5.NBT.A.2 van de Amerikaanse Common Core vraagt in het vijfde schooljaar, ongeveer groep 7, om "patronen in het aantal nullen van het product uit te leggen bij vermenigvuldigen met machten van 10" en om "exponenten van hele getallen te gebruiken voor machten van 10". De exponent telt de nullen: 4 × 10³ = 4.000, en 3,7 × 10² = 370, waarbij de komma twee plaatsen naar rechts schuift.

De gids over plaatswaarde voor ouders behandelt de kolommen achter dat patroon. Machten lopen ook door het ontbinden in priemfactoren, waar 360 wordt geschreven als 2³ × 3² × 5 in het stuk over priemgetallen uitgelegd.

Machten in de rekenvolgorde

Machten komen als tweede in de rekenvolgorde, na de haakjes en vóór vermenigvuldigen en delen. Het ezelsbruggetje "Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord" zet machtsverheffen ook op die plek, al is het verouderd omdat het delen vóór vermenigvuldigen lijkt te zetten. Standaard 6.EE.A.1 van de Common Core vraagt in het zesde schooljaar, ruwweg groep 8, om "getallenuitdrukkingen met exponenten van hele getallen op te schrijven en uit te rekenen", en standaard 6.EE.A.2c noemt de afgesproken volgorde.

Dus 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 23, omdat de macht eerst gaat. Haakjes veranderen dat: (3 + 2)² = 5² = 25. De hele volgorde staat in de gids over de rekenvolgorde uitgelegd.

Hoe je een som met machten stap voor stap vereenvoudigt

Een som met machten vereenvoudig je in een vaste volgorde: controleer de grondtallen, neem de exponenten samen met de juiste regel, en reken dan uit. Neem 2³ × 2⁴ : 2⁵ als uitgewerkt voorbeeld.

Controleer of de grondtallen gelijk zijn. Alle drie de machten hebben grondtal 2, dus de regels gelden. Bij verschillende grondtallen, zoals 2³ × 3², reken je elke macht apart uit: 8 × 9 = 72.
Vermenigvuldig door exponenten op te tellen. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, want drie keer 2 maal vier keer 2 geeft zeven keer 2.
Deel door exponenten af te trekken. 2⁷ : 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2², want vijf van de zeven tweeën vallen weg.
Reken de macht uit. 2² = 2 × 2 = 4.
Controleer door uit te schrijven. 2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128, en 128 : 32 = 4. De twee routes komen overeen.

Stap 5 is de gewoonte die het waard is om op te bouwen. Een regel die een ander antwoord geeft dan de lange weg, is fout toegepast.

Gratis spelen in je browserVolgorde van bewerkingenGroep 7+

Waar de regels ophouden

De rekenregels voor machten nemen alleen machten samen met hetzelfde grondtal die je vermenigvuldigt of deelt. Bij optellen doen ze niets: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, en dat is niet 2⁷ = 128. Een som binnen een macht valt ook niet uit elkaar, dus (3 + 4)² = 7² = 49, terwijl 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Een product binnen een macht valt wel uit elkaar. (2 × 5)³ = 10³ = 1.000, en 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1.000, omdat je vermenigvuldigen anders mag groeperen en optellen niet.

Waarom alles tot de macht 0 gelijk is aan 1

Elk getal behalve 0 tot de macht 0 is 1, en een rijtje laat zien waarom. Schrijf de machten van 2 van boven naar beneden: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Elke stap omlaag deelt door 2, dus de volgende stap geeft 2 : 2 = 1, en dat is 2⁰.

De deelregel komt op dezelfde plek uit. 5⁴ : 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰, en elk getal behalve 0 gedeeld door zichzelf is 1. OpenStax geeft de definitie: "Als a een getal is dat niet nul is, dan is a⁰ = 1."

Het halveringsrijtje voor machten van 2: 2 tot de vierde is 16, dan 8, 4, 2, dan is 2 tot de nulde 1, dan is 2 tot de min één een half en 2 tot de min twee een kwart, met een pijl "delen door 2" tussen elke kaart.

Negatieve exponenten: een vooruitblik op de middelbare school

Negatieve exponenten zetten hetzelfde rijtje voorbij de nul voort. Nog één keer delen door 2 geeft 2⁻¹ = 1⁄2, en de volgende stap geeft 2⁻² = 1⁄4, dus een negatieve exponent betekent een omgekeerde. In het algemeen is 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, en 10⁻² = 1⁄100 = 0,01.

Standaard 8.EE.A.1 van de Common Core zet dit in het achtste schooljaar, bij ons de tweede klas van de middelbare school, met het voorbeeld 3² × 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27. Een kind in groep 7 of 8 heeft de regel nog niet nodig, en wie het rijtje nu al ziet, herkent de regel straks als iets bekends.

De rekenregels voor machten naast elkaar

De rekenregels voor machten zijn vijf regels, en elke regel is een kortere manier om het herhaalde vermenigvuldigen uit te schrijven. Het overzicht zet elke regel naast een uitgewerkt voorbeeld en het foute antwoord dat leerlingen het vaakst opschrijven.

Regel	Formule	Uitgewerkt voorbeeld	Vaak gegeven fout antwoord
Productregel	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	3² × 3³ = 3⁵ = 243	3⁶ = 729 (exponenten vermenigvuldigd)
Deelregel	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁶ : 5⁴ = 5² = 25	1² = 1 (grondtallen gedeeld)
Macht van een macht	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64	2⁵ = 32 (exponenten opgeteld)
Nulde macht	a⁰ = 1, a ≠ 0	7⁰ = 1	0
Negatieve exponent	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8	−8

De machtsregel van OpenStax zegt het in woorden: "Om een macht tot een macht te verheffen, vermenigvuldig je de exponenten." De productregel is de regel die optelt, en het verwisselen van die twee regels verklaart twee van de vijf foute antwoorden in het overzicht.

Hoe je een vergeten regel terugvindt

Een vergeten rekenregel voor machten bouw je in minder dan een minuut weer op door een klein voorbeeld uit te schrijven. Voor (2³)² schrijf je 2³ twee keer: (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2). Dat zijn zes tweeën, dus de exponenten vermenigvuldigen, 3 × 2 = 6.

Voor 2³ × 2² schrijf je (2 × 2 × 2) × (2 × 2). Dat zijn vijf tweeën, dus de exponenten tellen op, 3 + 2 = 5. Kleine grondtallen en kleine exponenten houden de controle kort, en de methode werkt voor elke regel in het overzicht.

Hoe je nagaat of machten zijn ingedaald

Vijf signalen laten zien of machten kloppen in het hoofd van je kind of in dat van jezelf, en elk kost minder dan een minuut.

De betekenis, hardop: Vraag wat 4³ betekent. "4 × 4 × 4, dus 64" is het antwoord; "4 × 3" niet.
Machten van 10 op het zicht: Vraag naar 10⁴ en 6 × 10². De antwoorden zijn 10.000 en 600.
De rekenvolgorde: Geef 2 × 3². Het antwoord is 18, want 3² = 9 gaat eerst; 36 betekent dat het vermenigvuldigen voorging.
Een regel, met controle: Geef 2⁴ × 2³. Het antwoord 2⁷ = 128 hoort samen te gaan met de controle 16 × 8 = 128.
De nulde macht, met een reden: Vraag waarom 9⁰ = 1. Een rijtje of de deelregel is een reden; "dat is de regel" is een herinnering.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten mengt één opgave van elk type: een macht uitrekenen, een macht van 10, een regel rekenvolgorde, één rekenregel en één nulde macht. Herhaal hem twee weken lang twee keer per week met nieuwe getallen.

Beoordeel de reden net zo goed als het antwoord. Een kind dat 2⁵ = 32 schrijft en de vijf tweeën kan laten zien, heeft het idee; een kind dat 32 schrijft omdat het bekend voorkomt, kan een maand later terugvallen op 10. De pagina met het rekenspel voor groep 8 bundelt oefening voor het leerjaar waarin machten de Common Core binnenkomen.

Veelgemaakte fouten met machten en de randgevallen

Vijf fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij machten, en elk heeft een oplossing van één regel.

2³ = 6: De exponent is als vermenigvuldiger gebruikt. Schrijf de factoren uit, 2 × 2 × 2 = 8, tot de betekenis blijft hangen.
−3² = 9: Zonder haakjes hoort de exponent alleen bij de 3, dus −3² = −(3 × 3) = −9, terwijl (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
2³ × 3² = 6⁵: De grondtallen zijn samengevoegd. Verschillende grondtallen reken je apart uit, dus het antwoord is 8 × 9 = 72, terwijl 6⁵ = 7.776.
(a + b)² = a² + b²: Een som valt niet uit elkaar. Test het met (3 + 4)² = 49 tegenover 3² + 4² = 25.
2⁻³ = −8: Een negatieve exponent geeft een omgekeerde, dus 2⁻³ = 1⁄8, en dat is positief.

Drie randgevallen zijn het weten waard. Het getal 1 tot welke macht ook is 1, dus 1¹⁰⁰ = 1, en 0 tot een positieve macht is 0, dus 0⁵ = 0. Schoolboeken laten 0⁰ weg, en daarom staat er bij de regel voor de nulde macht "a ≠ 0".

Je checklist voor machten

Zeg de betekenis: de exponent telt hoe vaak het grondtal als factor voorkomt.
Tel de nullen: 10ⁿ is een 1 met n nullen erachter.
Houd de volgorde aan: machten komen na de haakjes en vóór het vermenigvuldigen.
Kijk eerst naar de grondtallen: de product- en deelregel vragen om hetzelfde grondtal.
Controleer via de lange weg: schrijf een klein voorbeeld uit als een regel twijfel geeft.

Volwassenen die de algebra weer oppakken, komen machten opnieuw tegen in de wetenschappelijke notatie en bij samengestelde rente, en de gids over hoe je als volwassene beter wordt in rekenen beschrijft de routine die de vlotheid terugbrengt. De pagina met het rekenspel voor volwassenen laat oefening zien die voor volwassen leerders is gemaakt.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen en een moeilijkheid die zich aanpast, dus het oefenen met kwadraten en de rekenvolgorde wordt pas lastiger als de makkelijkere opgaven goed gaan. Tweeëntwintig van de spellen spelen gratis in de browser, zonder account.