Klopt Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord nog?

Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord werkt als geheugensteun voor de grote lijn, maar niet als precieze regel. Het zinnetje laat de haakjes weg, en het suggereert dat vermenigvuldigen vóór delen gaat en optellen vóór aftrekken. Die paren zijn gelijk in rang en worden van links naar rechts afgewerkt. Onthoud liever de vier stappen: haakjes, machten en wortels, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken.

Gaat vermenigvuldigen altijd vóór delen?

Vermenigvuldigen gaat niet altijd vóór delen, en die aanname is de meest gemaakte denkfout, in het Nederlands én in PEMDAS. Vermenigvuldigen en delen vormen samen één stap en je neemt ze van links naar rechts, welke je ook het eerst tegenkomt. In 20 − 12 ÷ 4 × 2 komt de deling eerst, en dat geeft 14, niet 18,5.

Wat is het antwoord op 6 ÷ 2(1 + 2)?

De afspraak die op school wordt onderwezen geeft 6 ÷ 2(1 + 2) = 9, want 2(1 + 2) is een gewone vermenigvuldiging, gelijk in rang met de deling, dus links-naar-rechts geldt. Lezers die een vermenigvuldiging zonder teken als strakker opvatten, komen op 1. De som is echt dubbelzinnig, dus schrijf (6 ÷ 2) × (1 + 2) of 6 ÷ (2 × (1 + 2)).

In welke groep leren kinderen de rekenvolgorde?

De rekenvolgorde komt in de meeste Nederlandse methodes rond groep 7 aan bod en keert terug in groep 8 en de brugklas, naast machten en de eerste formules met letters. SLO beschrijft voor formele sommen zoals 25 − 3 × 5 de voorrangsregels zelf: vermenigvuldigen en delen gaan voor op optellen en aftrekken, en onderling hebben ze geen voorrang. Kinderen komen het idee eerder tegen zodra er haakjes in een verhaaltjessom staan.

Houden rekenmachines zich aan de rekenvolgorde?

Wetenschappelijke rekenmachines en spreadsheets houden zich aan de rekenvolgorde. Veel eenvoudige rekenmachines met vier functies niet: die rekenen uit terwijl je typt, strikt van links naar rechts, dus 4 + 3 × 5 geeft 35 in plaats van 19. Rekenmachines zijn het onderling ook oneens over vermenigvuldigen zonder teken, en daarom leveren virale sommen verschillende schermafbeeldingen op.

Rekenvolgorde, eenvoudig uitgelegd

Q: Wat is de juiste volgorde van bewerkingen bij rekenen?

De rekenvolgorde bepaalt welk deel van een som je eerst uitrekent: eerst haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen samen van links naar rechts, en tot slot optellen en aftrekken samen van links naar rechts. Wat de meeste mensen missen: vermenigvuldigen gaat niet vóór delen, en optellen gaat niet vóór aftrekken.

Wat is de regel, in één zin?

De rekenvolgorde werkt een som in één vaste volgorde af: eerst de haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen samen van links naar rechts, en tot slot optellen en aftrekken samen van links naar rechts. Die zin is de hele regel.

De regel is een schrijfafspraak, gemaakt zodat iedereen die 4 + 3 × 5 leest bij hetzelfde getal uitkomt. De Amerikaanse Common Core-standaarden voor wiskunde zeggen hetzelfde: leerlingen van het zesde leerjaar (6.EE.2c) moeten rekenen "in de conventionele volgorde wanneer er geen haakjes staan die een bepaalde volgorde voorschrijven". Zonder die afspraak telt de een eerst op en komt op 35, vermenigvuldigt de ander eerst en komt op 19. Met de afspraak is het antwoord 19: eerst 3 × 5, dan 4 erbij.

Haakjes zijn de noodknop: als een som verwarrend is, zijn haakjes altijd de juiste oplossing.

Meneer Van Dalen, PEMDAS en BODMAS: dezelfde regel?

Meneer Van Dalen, PEMDAS en BODMAS beschrijven één afspraak onder verschillende ezelsbruggetjes, en welk bruggetje je kent hangt af van waar je op school hebt gezeten. Iedereen in Nederland en Vlaanderen kent "Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord": machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen, aftrekken. Het zinnetje is beroemd, maar het wordt niet meer aangeraden, en daar zijn drie redenen voor. Er zitten geen haakjes in, terwijl die vooropgaan. Het zet vermenigvuldigen vóór delen en optellen vóór aftrekken, terwijl die paren gelijk in rang zijn. En worteltrekken hoort bij machtsverheffen, niet achter het vermenigvuldigen.

Elders leren kinderen een ezelsbruggetje in het Engels. De letters verschillen, de volgorde van het werk niet.

Ezelsbruggetje	Waar de letters voor staan	Vooral onderwezen in
PEMDAS	Parentheses en Exponents: haakjes, machten, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken	Verenigde Staten, Filipijnen
BODMAS	Brackets en Orders: haakjes, machten, delen en vermenigvuldigen, optellen en aftrekken	Verenigd Koninkrijk, India, Australië, Zuid-Afrika
BIDMAS	Indices in plaats van Orders, verder gelijk aan BODMAS	Verenigd Koninkrijk, Ierland
BEDMAS	Exponents in plaats van Orders, verder gelijk aan BODMAS	Canada, Nieuw-Zeeland

Drie details doen ertoe:

Ronde haakjes en vierkante haakjes zijn hetzelfde ding, en machten, exponenten, indices en machtsverheffen bedoelen allemaal 3² of 2³.
PEMDAS zet de M vóór de D en BODMAS de D vóór de M, wat niets verandert, want de twee bewerkingen zijn gelijk in rang.
Elke versie verstopt het belangrijkste deel van de regel: dat links-naar-rechts de knoop doorhakt.

Ezelsbruggetjes zijn een klassengewoonte en staan niet in de leerplannen zelf. Het nationale leerplan wiskunde in Engeland drukt BIDMAS nergens af: het vraagt leerlingen in Year 6 om "hun kennis van de volgorde van bewerkingen te gebruiken bij berekeningen met de 4 bewerkingen". SLO, het nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling, beschrijft voor het Nederlandse onderwijs de voorrangsregels zelf: vermenigvuldigen en delen gaan voor op optellen en aftrekken, en onderling bestaat er geen voorrang tussen vermenigvuldigen en delen.

Wat gaat er bij de meeste mensen mis?

De meestgemaakte fout met de rekenvolgorde is het ezelsbruggetje als zes stappen lezen. Het zijn er vier, want vermenigvuldigen en delen delen er één en optellen en aftrekken delen er nog één.

Haakjes, de binnenste eerst.
Machten en wortels.
Vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts.
Optellen en aftrekken, van links naar rechts.

Binnen een stap lees je de regel van links naar rechts. Drie korte regels maken het punt, elk met het foute antwoord waar het ezelsbruggetje toe verleidt:

10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. De valkuil: 10 − 7 = 3.
100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. De valkuil: 100 ÷ 2,5 = 40.
20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. De valkuil: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Elk fout antwoord komt voort uit het letter voor letter volgen van het ezelsbruggetje in plaats van links-naar-rechts lezen. Staan er in één regel zowel × als ÷, of zowel + als −, benoem dan eerst welke het verst naar links staat voordat je iets uitrekent.

Vijf voorbeelden, stap voor stap

Deze vijf uitgewerkte voorbeelden staan op volgorde van moeilijkheid, van één vermenigvuldiging tot haakjes in haakjes met een macht, elk met één stap per regel.

1. 4 + 3 × 5

Vermenigvuldigen gaat vóór optellen, dus dat komt eerst.

3 × 5 = 15
4 + 15 = 19

Antwoord: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Haakjes gaan voor, wat er ook in staat.

7 − 3 = 4
2 × 4 = 8
8 + 8 = 16

Antwoord: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

De som 20 − 12 ÷ 4 × 2 heeft geen haakjes en geen machten, dus het werk begint bij stap 3 en leest van links naar rechts. De deling staat het verst naar links.

12 ÷ 4 = 3
3 × 2 = 6
20 − 6 = 14

Antwoord: 14.

4. 5 + 2 × 3²

De macht hoort alleen bij de 3 en reikt niet tot de 2.

3² = 9
2 × 9 = 18
5 + 18 = 23

Antwoord: 23. Kwadraten duiken voortdurend op zodra machten meedoen; het spel met kwadraten oefent ze.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Haakjes in haakjes werk je van binnen naar buiten uit: eerst het binnenste paar, dan het buitenste haakje met diezelfde vier stappen, dan de macht, de vermenigvuldiging en de aftrekking.

10 − 4 = 6, dus de regel wordt 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
Binnen het haakje gaat delen vóór optellen: 6 ÷ 2 = 3
3 + 3 = 6, dus de regel wordt 2 × 6² − 7
6² = 36
2 × 36 = 72
72 − 7 = 65

Antwoord: 65.

Eén stap per regel opschrijven voorkomt de links-naar-rechts-missers, en het spel over de rekenvolgorde gebruikt dat format als het een gemist antwoord laat zien.

Gratis spelen in je browserVolgorde van bewerkingenGroep 7+

Waarom splijt 6 ÷ 2(1 + 2) het internet?

De som 6 ÷ 2(1 + 2) splijt het internet omdat hij dubbelzinnig is opgeschreven, terwijl het rekenwerk erin makkelijk is. Om de zoveel jaar gaat zo'n regel viraal, met de helft van de reacties op 1 en de andere helft op 9 of 16, en allebei de kampen kunnen je een regel citeren.

Pas de afspraak toe zoals hij onderwezen wordt en je krijgt:

6 ÷ 2(1 + 2) wordt 6 ÷ 2 × 3, en dan 3 × 3 = 9
8 ÷ 2(2 + 2) wordt 8 ÷ 2 × 4, en dan 4 × 4 = 16

In beide regels draagt het haakje een vermenigvuldiging waarvan het teken is weggelaten. De standaardlezing geeft die gelijke rang met de deling, dus links-naar-rechts hakt de knoop door.

Het andere kamp leest 2(1 + 2) als één aan elkaar geplakte hoeveelheid, omdat een vermenigvuldiging zonder teken strakker oogt dan een deelteken. Dat geeft 6 ÷ 6 = 1 en 8 ÷ 8 = 1, en die lezing heeft serieuze steun: Oliver Knill van de wiskundefaculteit van Harvard volgt beide afspraken en concludeert dat zo'n regel echt dubbelzinnig is. Texas Instruments documenteert dat zijn TI-80, TI-81, TI-82 en TI-85 een vermenigvuldiging zonder teken voorrang gaven, terwijl de TI-83, TI-84 Plus, TI-89 en TI-Nspire-families hem gelijk in rang zetten, en daarom tonen twee rekenmachines in dezelfde kamer verschillende antwoorden.

De ruzie gaat over een gat in de notatie dat geen enkel ezelsbruggetje dekte. Wie serieus wiskunde opschrijft, gebruikt in plaats daarvan een van twee ondubbelzinnige vormen:

(6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

De praktische les: kan een lezer er redelijkerwijs twee antwoorden uit halen, zet er dan haakjes omheen.

De vier klassieke fouten

Vier fouten zijn goed voor bijna elk verkeerd antwoord, en drie ervan komen doordat het ezelsbruggetje meer vertrouwen krijgt dan links-naar-rechts.

Vermenigvuldigen en delen als twee stappen zien. Doe je in 20 − 12 ÷ 4 × 2 eerst 4 × 2 = 8, dan krijg je 18,5; het antwoord is 14.
Optellen en aftrekken als twee stappen zien. Tel je in 10 − 4 + 3 eerst 4 + 3 op, dan krijg je 3; het antwoord is 9.
Een macht zijn buurman laten opslokken. In 2 × 3² hoort de macht alleen bij de 3, dus de regel is 2 × 9 = 18. Kwadrateer je 2 × 3 eerst, dan krijg je 36.
Een haakje weglaten dat je wel bedoelde. Een breukstreep groepeert alles erboven en eronder; een deelteken op één regel doet dat niet. Schrijf 12 ÷ 3 + 1 terwijl je 3 + 1 onder de streep bedoelde en je krijgt 5 in plaats van 3. Typ 12 ÷ (3 + 1).

Hoe maak je de regel automatisch?

De regel wordt automatisch door korte gemengde sommen te oefenen met de vier stappen ernaast. De regel lezen kost twee minuten; hem onder druk gebruiken is een aparte vaardigheid.

Stap	Doe dit	Knoop doorhakken
1	Haakjes, het binnenste paar eerst	Dezelfde vier stappen binnen elk haakje
2	Machten en wortels	Alleen waar de macht aan vastzit
3	Vermenigvuldigen en delen	Van links naar rechts
4	Optellen en aftrekken	Van links naar rechts

Vier gewoonten versnellen dat:

Oefen sommen met drie bewerkingen. 20 − 12 ÷ 4 × 2 leert meer dan een som van een halve bladzijde, want de volgorde is het enige wat erin getest wordt.
Schrijf de stap op die je net deed, één per regel, zoals de vijf uitgewerkte voorbeelden doen.
Zorg eerst dat de sommen eronder vlot gaan. Kost 12 ÷ 4 drie seconden, dan blijft er geen aandacht over voor de regel, en hoofdrekenen: trucjes die werken dekt die laag.
Meng de bewerkingen binnen één sessie. Een bladzijde met alleen vermenigvuldigen toetst de volgorde nooit; een gemengde bladzijde wel, en het printbare gemengde werkblad voor groep 7 komt met een antwoordblad.

Gratis werkblad om te printenGemengde bewerkingen — groep 7Werkblad · PDF

De meeste methodes introduceren dit rond groep 7 en 8, vlak voordat algebra het onvermijdelijk maakt: een regel als 3(x + 4) − 2 is nog maar op één manier te lezen, en het spel los x op gaat ervan uit dat je dat kunt. De pagina rekenspellen voor groep 7 verzamelt de browserspellen op dat niveau.

Tweeëntwintig van de ongeveer 90 soorten spellen van MathIt draaien gratis in een browser zonder account, en de gratis app voor iOS en Android voegt meegroeiende moeilijkheid toe, zodat de sommen pas langer worden als de korte goed gaan.