Uit de klas · Door de redactie van MathIt · Gepubliceerd · 9 min lezen
Wat is de juiste volgorde van bewerkingen bij rekenen?
De rekenvolgorde bepaalt welk deel van een som je eerst uitrekent: eerst haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen samen van links naar rechts, en tot slot optellen en aftrekken samen van links naar rechts. Wat de meeste mensen missen: vermenigvuldigen gaat niet vóór delen, en optellen gaat niet vóór aftrekken.
Werk een som in deze volgorde af: eerst de haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen samen van links naar rechts, en tot slot optellen en aftrekken samen van links naar rechts. Dat is de hele regel. Alles hieronder is die zin, zorgvuldig toegepast.
Het helpt om te weten wat de regel níet is. Er wordt hier niets bewezen, en er komt geen natuurwet aan te pas. Het is een schrijfafspraak, gemaakt zodat iedereen die 4 + 3 × 5 leest bij hetzelfde getal uitkomt. Zonder afspraak telt de een eerst op en komt op 35, vermenigvuldigt de ander eerst en komt op 19, en kan niemand zeggen wie verkeerd las. Met de afspraak is het antwoord 19: eerst 3 × 5, dan 4 erbij.
Haakjes zijn de noodknop. Alles wat de regel kan uitdrukken, kunnen haakjes duidelijker uitdrukken — dus als een som verwarrend is, zijn haakjes altijd de juiste oplossing.
Ja. Iedereen in Nederland en Vlaanderen kent "Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord": machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen, aftrekken. Het zinnetje is beroemd, maar het wordt niet meer aangeraden, en daar zijn drie redenen voor. Er zitten geen haakjes in, terwijl die vooropgaan. Het zet vermenigvuldigen vóór delen en optellen vóór aftrekken, terwijl die paren gelijk in rang zijn. En worteltrekken hoort bij machtsverheffen, niet achter het vermenigvuldigen.
Elders leren kinderen een ezelsbruggetje in het Engels. De letters verschillen, de volgorde van het werk niet.
| Ezelsbruggetje | Waar de letters voor staan | Vooral onderwezen in |
|---|---|---|
| PEMDAS | Parentheses en Exponents: haakjes, machten, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken | Verenigde Staten, Filipijnen |
| BODMAS | Brackets en Orders: haakjes, machten, delen en vermenigvuldigen, optellen en aftrekken | Verenigd Koninkrijk, India, Australië, Zuid-Afrika |
| BIDMAS | Indices in plaats van Orders, verder gelijk aan BODMAS | Verenigd Koninkrijk, Ierland |
| BEDMAS | Exponents in plaats van Orders, verder gelijk aan BODMAS | Canada, Nieuw-Zeeland |
Drie dingen zijn het opmerken waard:
Ze tellen het ezelsbruggetje als zes stappen. Het zijn er vier, want vermenigvuldigen en delen delen er één, en optellen en aftrekken delen er nog één.
Binnen een stap lees je de regel als een zin, van links naar rechts, en pak je de bewerking die je het eerst tegenkomt. Drie korte regels maken het punt, elk met het foute antwoord waar het ezelsbruggetje toe verleidt:
In alle drie de gevallen komt het foute antwoord uit het letter voor letter volgen van het ezelsbruggetje in plaats van links-naar-rechts lezen. Een controle voor jezelf: staan er in één regel zowel × als ÷, of zowel + als −, benoem dan eerst welke het verst naar links staat voordat je iets uitrekent.
Vijf sommen op volgorde van moeilijkheid, van één vermenigvuldiging tot haakjes in haakjes met een macht. Elke som staat met één stap per regel — dat is het format om over te nemen.
Vermenigvuldigen gaat vóór optellen, dus dat komt eerst.
Antwoord: 19.
Eerst de haakjes, wat er ook in staat.
Antwoord: 16.
Geen haakjes en geen machten, dus begin bij stap 3 en lees van links naar rechts. De deling staat het verst naar links, dus die gaat voor.
Antwoord: 14.
De macht hoort alleen bij de 3, niet bij 2 × 3.
Antwoord: 23. Kwadraten duiken voortdurend op zodra machten meedoen, dus ze zijn het waard om op het zicht te kennen; het spel met kwadraten oefent ze.
Haakjes in haakjes: werk het binnenste paar weg, maak het buitenste haakje af met diezelfde vier stappen, en dan de macht, de vermenigvuldiging en de aftrekking.
Antwoord: 65.
Eén stap per regel opschrijven is geen bezigheidstherapie: het is de gewoonte die de links-naar-rechts-missers voorkomt, en het is het format dat het spel over de rekenvolgorde gebruikt als het een gemist antwoord laat zien.
Gratis spelen in je browser Volgorde van bewerkingen Groep 7+Omdat de som slecht is opgeschreven, niet omdat het rekenen moeilijk is. Om de zoveel jaar gaat een regel als 6 ÷ 2(1 + 2) of 8 ÷ 2(2 + 2) viraal, met de helft van de reacties op 1 en de andere helft op 9 of 16, en allebei de kampen kunnen je een regel citeren.
Pas de afspraak precies toe zoals hij onderwezen wordt en je krijgt:
Hier is 2(1 + 2) een vermenigvuldiging waarvan het teken is weggelaten. De standaardlezing behandelt dat als een gewone vermenigvuldiging, gelijk in rang met de deling, dus links-naar-rechts hakt de knoop door.
Het andere kamp leest 2(1 + 2) als één aan elkaar geplakte hoeveelheid, omdat een vermenigvuldiging zonder teken strakker oogt dan een deelteken. Dat geeft 6 ÷ 6 = 1 en 8 ÷ 8 = 1. Dat komt niet uit de lucht vallen: zo lezen mensen algebra, waar 2x één ding is, en rekenmachines zijn het onderling echt niet eens, waardoor twee telefoons in dezelfde kamer verschillende antwoorden tonen.
De ruzie gaat dus niet over rekenen maar over een gat in de notatie dat geen enkel ezelsbruggetje dekt. Niemand die serieus wiskunde opschrijft zou die regel zo publiceren; die zou een van deze twee schrijven, en dan valt er niets meer te bekvechten:
De praktische les van het hele onderwerp: kan een lezer er redelijkerwijs twee antwoorden uit halen, zet er dan haakjes omheen.
Vier fouten zijn goed voor bijna elk verkeerd antwoord. Drie ervan komen doordat het ezelsbruggetje meer vertrouwen krijgt dan de links-naar-rechts-regel.
Door korte gemengde sommen te oefenen, geen lange, met de vier stappen ernaast. De regel lezen kost twee minuten; hem onder tijdsdruk gebruiken is een aparte vaardigheid.
| Stap | Doe dit | Knoop doorhakken |
|---|---|---|
| 1 | Haakjes, het binnenste paar eerst | Werk elk haakje uit met diezelfde vier stappen |
| 2 | Machten en wortels | Alleen waar de macht aan vastzit |
| 3 | Vermenigvuldigen en delen | Van links naar rechts |
| 4 | Optellen en aftrekken | Van links naar rechts |
Vier dingen versnellen dat:
De meeste methodes introduceren dit rond groep 7 en 8, vlak voordat algebra het onvermijdelijk maakt: zodra er letters komen, is een regel als 3(x + 4) − 2 nog maar op één manier te lezen, en het spel los x op gaat ervan uit dat je dat kunt. De pagina rekenspellen voor groep 7 verzamelt de browserspellen op dat niveau.
Tweeëntwintig van de ongeveer 90 soorten spellen van MathIt draaien gratis in een browser zonder account, en de gratis app voor iOS en Android voegt meegroeiende moeilijkheid toe, zodat de sommen pas langer en dieper genest worden als de korte goed gaan.
Oefen het in de MathIt-app
Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.
Als geheugensteun voor de grote lijn wel, als regel niet. Het zinnetje laat de haakjes weg, en het suggereert dat vermenigvuldigen vóór delen gaat en optellen vóór aftrekken. Die paren zijn gelijk in rang en worden van links naar rechts afgewerkt. Onthoud liever de vier stappen: haakjes, machten en wortels, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken.
Nee. Dat is de meest gemaakte denkfout, in het Nederlands én in PEMDAS. Vermenigvuldigen en delen vormen samen één stap en je neemt ze van links naar rechts, welke je ook het eerst tegenkomt. In 20 − 12 ÷ 4 × 2 komt de deling eerst, en dat geeft 14, niet 18,5.
Volgens de afspraak die op school wordt onderwezen is het 9, want 2(1 + 2) is een gewone vermenigvuldiging, gelijk in rang met de deling, dus links-naar-rechts geldt. Lezers die een vermenigvuldiging zonder teken als strakker opvatten, komen op 1. De som is echt dubbelzinnig, dus schrijf (6 ÷ 2) × (1 + 2) of 6 ÷ (2 × (1 + 2)).
In de meeste methodes komt hij rond groep 7 aan bod en keert hij terug in groep 8 en de brugklas, naast machten en de eerste formules met letters. Kinderen komen het idee eerder tegen zodra er haakjes in een verhaaltjessom staan, maar de volledige regel van vier stappen landt meestal in die jaren.
Wetenschappelijke rekenmachines en spreadsheets wel. Veel eenvoudige rekenmachines met vier functies niet: die rekenen uit terwijl je typt, strikt van links naar rechts, dus 4 + 3 × 5 geeft 35 in plaats van 19. Rekenmachines zijn het onderling ook oneens over vermenigvuldigen zonder teken, en daarom leveren virale sommen verschillende schermafbeeldingen op.
Oefen het in de MathIt-app
Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.
Een werkbare set kortere wegen voor volwassenen en oudere leerlingen: de regel, een uitgewerkt voorbeeld, de fout die erbij hoort, en de oefening die het automatisch maakt.
· 8 min lezen
Wat kinderen per jaar onder de knie horen te krijgen van groep 3 tot en met groep 8, de controles van twintig seconden die laten zien of het er echt zit, en wat je thuis doet als je een gat vindt.
· 8 min lezen
De meeste volwassenen die zich slecht in rekenen voelen, hebben drie of vier concrete hiaten, geen algemeen probleem. Zo vind je ze in twintig minuten en dicht je ze in twee maanden.
· 9 min lezen