いくつといくつ：10の補数が先の計算を速くする

小学1年生のお子さんが、丸に短い枝が2本ずつ生えた図でうまったプリントを持って帰ってきます。丸1つにつき空欄が1つ。見出しには「いくつといくつ」とあり、ご自分が受けた授業には似たものがまったく見当たりません。これは古い考えを新しい包みに入れたもので、この図が場所を取るだけの値打ちがある理由は、食卓のブロック10個で見えます。

数の合成・分解とは何ですか？

数の合成・分解とは、合わせてある数になる2つの数の組のことです。全体が上の丸に入り、2つの部分が下の丸に入り、短い線が3つをつなぎます。この絵は計算ではありません。3つの数の関係を書き留めたものです。

教室が最初に練習するのは10の組です。0と10、1と9、2と8、3と7、4と6、5と5。1組を1回と数えれば6組です。7と3を3と7と別に数える並べ方なら11通りになります。

5の組はたいていもっと早く、20の組はあとから来ますが、ほかのすべてが寄りかかっているのは10の組です。

全体と部分の絵が、なぜ丸と枝なのか

全体と部分という見方こそ、この図がプリントより長生きする理由です。3 + 7 = 10 という式には、答えを書く場所が右に1つしかありません。さくらんぼの図には場所が3つあって、先生はそのどれを空けてもかまいません。

この1つの違いが、丸をかく値打ちを生みます。全体を空ければ子どもはたし算をします。部分を空ければ、ひき算という言葉にもマイナスの記号にも出会わないまま、子どもはひき算をします。

小学校学習指導要領は第1学年に「一つの数をほかの数の和や差としてみるなど、ほかの数と関係付けてみること」を置いています。アメリカの標準も同じことを幼稚園で求めていて、10以下の数を2つの組に、2通り以上のやり方で分ける（K.OA.A.3）、1から9までのどの数についても10にする相手を見つける（K.OA.A.4）と書いています。日本ではこの全部が小学1年に入り、同じ年のうちにくり上がりとくり下がりまで行きます。つまり10の組は、1年生の1学期の考えで、2学期に締め切りが来ます。

学校はなぜ、書いた計算より先にこれを教えるのですか？

学校が筆算より先にこれを教えるのは、数の組は行き来できるのに、書いた式は一方向だからです。3 + 7 = 10 を一方向の知識として練習した子は、10 − 7 でよく止まりますし、3と何かで10、という形ではもっと止まります。数の組は、それを全部まとめて持っています。

プリントの上で空欄の場所が動き回るのも、同じ理由です。全体の空欄も、どちらの部分の空欄も、1つの組を3通りに聞いているだけです。

小学1年のひき算も、同じ関係にはっきり寄りかかっています。10 − 8 は、8にたして10になる数をさがして解きます。数の組がなければ、この一文はなぞなぞです。

1つの組から、4つの式

1つの組から4つの式が同時に出てきます。この方法全体の、いちばんお得なところです。3と7で10になる組を見てみます。

• 3 + 7 = 10。 1つ目の部分に2つ目の部分をたす。
• 7 + 3 = 10。 同じ組を逆の順で。かけ算やたし算の交換のきまりが姿を変えたものです。
• 10 − 3 = 7。 全体から片方の部分を取ると、もう片方が残る。
• 10 − 7 = 3。 同じ動きを反対側から。

6組かける4つの式で、10までのたし算とひき算の全部を、絵6枚の値段でおさえられます。

家で数の合成・分解を育てる手順

家でいちばん速い道は、カードではなく手に取れるものを通ります。1円玉でも、豆でも、ブロックでもかまいません。条件は、お子さんが2つの山に押し分けて、両方を目で見られることです。

1. 10個並べて、一緒に数える。 全体の数を声に出し、見えるところに置いておきます。10個を数えること自体が大変なら、まず1週間ものを数えるゲームに使ってください。
2. 両方が見える形で、2つに分ける。 左に3個、右に7個。文で言い切ります。3と7で10。
3. 片方を手でかくして、残りをたずねる。 思い出す力を作るのはこの手です。「ぜんぶで10。手の中に3。こっちは何個？」
4. 手をどける前に、答えを言わせる。 早くどけてしまうと、この練習はまた数える練習に戻ります。
5. その分け方の4つの式を書く。 3 + 7 = 10、7 + 3 = 10、10 − 3 = 7、10 − 7 = 3。4行、30秒。たし算とひき算のつながりが、思い込みではなく言葉になります。
6. 10の分け方を全部やってから、次へ。 0と10から5と5まで、そして反対向きにも。6組のうち4組では、10の組をやったことになりません。
7. 10が即答になってから、20の組へ。 6と4でまだ止まるうちは、20の組は空回りです。

日曜に20分より、毎日5分です。アメリカの実践ガイドAssisting Students Struggling with Mathematicsは、1回の支援のうちおよそ10分を、基本的な計算を思い出す力に当てることをすすめています。

保護者がいちばん飛ばす一手

飛ばされるのは手順4で、飛ばすと得られるもののほとんどが消えます。お子さんが答えを決める前にかくした山を見せてしまうと、何も思い出されません。20回くり返しても、数える練習が20回できるだけです。

数の合成・分解のゲームは、大人が横にいなくても同じ規律を守らせます。答えを入れるまで、画面は相手の数を見せないからです。

ブラウザで無料で遊ぶ数の合成小1〜小2

さくらんぼの図、4つの式、10のわく、数え足し

小学1年から2年にかけて、同じ場所を4つの道具がおおいます。互いのライバルではなく、補い合うものです。それぞれの役目を知っておくと、クラスがもう通り過ぎたやり方を家で教え直さずにすみます。

小学1年生向けのたし算プリントは、さくらんぼの形と4つの式の形を1枚に混ぜて、答えつきで並べてくれます。丸を手でかく手間が省けます。

無料で印刷できるプリントたし算 — 1年生ワークシート · PDF

どれを先に手に取るか

10のわくが先、さくらんぼの図が次、4つの式が最後です。10のわくは「10まであといくつ」に目で答え、さくらんぼの図はそれを覚える値打ちのある組に変え、4つの式は、お子さんが式を楽に読めるようになったところでその組を書き留めます。

数え足しは、この順番の外にある安全網です。あること自体は問題ありません。居すわることが問題です。小学1年の終わりにまだ数え足しをしている子には、思い出す力の穴があります。

数の合成・分解が効いてくる場所

数の合成・分解が効き始めるのは、たし算が10をこえた瞬間で、そのしくみには名前があります。さくらんぼ計算です。8 + 5 を計算するには、5を2と3に分けます。8と2が10になる組だからです。すると 8 + 2 + 3 が 10 + 3 = 13 になります。

この道すじのどこにも、数える作業はありません。必要なのは2つだけです。8の相手が2であること、これは6つの組のうちの1つ。そして 10 + 3 = 13 であること、これは位取りです。

アメリカの標準は、この方法に1年生で名前をつけています。20までのたし算ひき算を行い、10までは流ちょうに、10をつくる方法などを使って（1.OA.C.6）。標準そのものが 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 という例を載せています。日本ではこの内容が小学1年に、20までを確実にすることが小学1年から2年にかけて置かれています。1けたのたし算のゲームで1けたどうしの和を練習することが、この方法を思い出す力に変える道です。

ひき算で10を通って戻る

ひき算は同じ組を逆向きに使い、下りる途中で10に立ち寄ります。13 − 4 は 13 − 3 − 1 として、10 − 1 = 9 に着きます。これが減々法で、4を3と1に分けるのは、13が10から3先にあると知っているからそのまま出てきます。10と3に分けて 10 − 4 = 6、6 + 3 = 9 とする減加法も同じ組を使っています。

大人は名前を知らないままこの動きを使っています。だからこそ使える暗算のコツにある近道は、数の組があやしいと全部くずれます。

身についたかどうかを確かめるには

4つの合図で、お子さんがどこにいるかが分かります。どれもテストはいりません。

• 3秒の確認。 10の6つの組をばらばらの順で、数秒おきに聞きます。「6と、いくつで10？」3秒以内なら知っている、5秒以上の間があれば計算していると見ます。
• 机の下の指。 手を見ます。6から10まで静かに数え上げている子は、毎回その組を思い出すのではなく計算しています。
• 逆向き。 「4と、いくつで10？」のすぐあとに「10ひく4」を聞きます。前が速くて後ろが遅い子は、たし算の式を覚えたのであって、数の組を覚えたのではありません。
• 部分が空いた形。 10 = 4 + □ と書き、次に □ + 6 = 10 と書きます。どちらも口で聞いたときと同じ速さで出てほしいところです。テストはあらゆる形で聞いてくるからです。

速さより正しさが先です。ケンブリッジ大学の数学プロジェクト NRICH は、流ちょうさを効率と正確さと柔軟さがそろったものと説明し、分かっていない手続きをくり返し練習させると、間違ったまま覚えられた知識ができると注意しています。

現実的な見通し

10の組が自動で出るまでには、短い練習を毎日何週間か続ける必要がある子がほとんどです。同じ数どうしの組が先に落ち着くことが多いので、どの組も同じくらい難しく感じるなら2倍のゲームから入るのが無難です。

よくある間違いと、チェックリスト

家でむだになる努力のほとんどは、5つの間違いで説明できます。しかもその多くは、どの方法を使うかではなく、練習の回し方の話です。

• 一方向だけ練習する。 「3と7は？」を50回聞いても、たし算の知識が1つ育つだけです。同じ練習の中に「10ひく7は？」と「3と、いくつで10？」を混ぜてください。そうしないと、その組は半分しか身につきません。
• 20の組へ早く進みすぎる。 20の組は前進に見えて、10がまだ遅いうちはほとんど何も運びません。先に6組を仕上げてください。2つ目のまとまりは、そのあとなら何分の1かの時間で済みます。
• 図をかざりだと思う。 きれいに写すことは練習ではありません。毎回ちがう場所を空けてください。部分が空いた形こそ、のちにひき算になる形です。
• 全体と部分を取りちがえる。 枝に10を、上の丸に3を書いていないか見てください。直し方は手で行います。10個の山を指さし、次に2つの山を指さして、かき直します。
• 土曜に1時間まとめてやる。 アメリカの実践ガイドTeaching Math to Young Childrenは、数の合成と分解を含む発達の道すじに沿って数と計算を教えることに、いちばん強い根拠の評価を与えています。この年ごろは、長さより回数です。

数の合成・分解のチェックリスト

• 最初の1週間は画面ではなく、10個のもので。 手で分けることが、あの図に意味を持たせます。
• 毎回、6組すべてを両方向で。 0と10から5と5まで、たし算もひき算も。
• 分け方1つにつき4つの式を書く。 1組30秒で、ひき算とのつながりが言葉になります。
• 見せる前に答えさせる。 思い出してから、確かめる。この順番です。
• 合格の線は3秒。 それより遅ければ、思い出したのではなく計算しています。
• 20の組は10のあと。並べない。 一度に1つのまとまりだけ。

そばについていられないときでも同じ手順を続けたいなら、小学1年生向けの算数ゲームが同じ聞き方を守り、答えの速さに合わせて難しさを動かしてくれます。