Les compléments à 10 expliqués aux parents : les paires qui rendent la suite rapide

Votre enfant de CP rentre avec une feuille pleine de bulles, chacune portant deux petites branches, et une case vide par bulle. Le titre parle de décomposition des nombres, et rien dans votre propre scolarité n'y ressemble de près ou de loin. Une décomposition est une vieille idée dans un emballage neuf, et dix jetons sur la table de la cuisine suffisent à voir pourquoi le schéma mérite sa place.

Qu'est-ce qu'un complément à 10 ?

Un complément à 10 est un nombre qui, ajouté à un autre, fait ce total. Le tout occupe une bulle, les deux parties occupent les bulles du dessous, et de courts traits relient les trois. Le dessin n'est pas un calcul : il enregistre une relation entre trois nombres.

Les paires de 10 sont l'ensemble que les classes travaillent en premier : 0 et 10, 1 et 9, 2 et 8, 3 et 7, 4 et 6, et 5 et 5. Comptées une fois par paire, cela fait six décompositions. Comptées comme des couples ordonnés, où 7 et 3 compte séparément de 3 et 7, il y en a onze.

Les paires de 5 arrivent en général plus tôt et celles de 20 plus tard, mais c'est sur 10 que tout le reste s'appuie.

L'image tout-parties, et pourquoi c'est une bulle à branches

L'image tout-parties est la raison pour laquelle ce schéma survit à la feuille sur laquelle il arrive. Une égalité comme 3 + 7 = 10 a une seule case réponse, à droite. Une décomposition en a trois, et l'enseignant peut laisser n'importe laquelle vide.

Ce seul changement justifie de dessiner la bulle. Videz le tout et l'enfant additionne. Videz une partie et l'enfant soustrait, sans rencontrer le mot soustraction ni le signe moins.

Les standards Common Core demandent exactement cela en kindergarten, l'équivalent de la grande section : décomposer les nombres inférieurs ou égaux à 10 en paires de plusieurs façons (K.OA.A.3), et pour tout nombre de 1 à 9, trouver le nombre qui fait 10 (K.OA.A.4). À ce niveau, la fluence n'est attendue que jusqu'à 5 (K.OA.A.5). Les paires de 10 sont une idée de maternelle avec une échéance au CP.

Pourquoi l'école enseigne les décompositions avant l'addition écrite

L'école enseigne les décompositions avant l'addition posée parce qu'une décomposition est réversible et qu'une somme écrite ne l'est pas. Un enfant qui a appris 3 + 7 = 10 comme un fait à sens unique cale souvent sur 10 − 7, et cale complètement sur 3 plus un trou qui fait 10. La décomposition range tout cela d'un coup.

Cet ordre explique aussi pourquoi le nombre manquant se déplace sur la feuille : le trou dans le tout et les trous dans l'une ou l'autre partie sont la même décomposition posée de trois façons.

Le CP s'appuie explicitement sur la même relation : la soustraction est introduite comme une recherche de terme manquant, donc 10 − 8 se résout en cherchant le nombre qui fait 10 quand on l'ajoute à 8. Sans la décomposition, cette phrase est une devinette.

Une décomposition, quatre égalités

Une décomposition produit quatre égalités à la fois, et c'est la bonne affaire arithmétique de toute la méthode. Prenez 3 et 7 qui font 10 :

• 3 + 7 = 10. La première partie plus la seconde.
• 7 + 3 = 10. La même paire dans l'autre sens, c'est-à-dire la commutativité déguisée.
• 10 − 3 = 7. Le tout moins une partie laisse l'autre partie.
• 10 − 7 = 3. Le même geste depuis l'autre côté.

Six décompositions à quatre égalités chacune couvrent tout le paysage de l'addition et de la soustraction dans 10 pour le prix de six images.

Comment construire les décompositions à la maison, étape par étape

Le chemin le plus rapide à la maison passe par des objets, pas par des cartes. Pièces de un centime, haricots secs et briques LEGO font tous l'affaire ; la seule exigence est que votre enfant puisse les pousser en deux groupes et voir les deux.

1. Posez dix objets et comptez-les ensemble. Dites le total à voix haute et gardez-le visible. Si compter dix objets est déjà un effort, passez d'abord une semaine sur le dénombrement d'objets.
2. Séparez-les en deux groupes que votre enfant voit tous les deux. Trois à gauche, sept à droite. Dites la phrase en entier : trois et sept font dix.
3. Cachez un groupe sous votre main et demandez la partie manquante. C'est le geste qui construit le rappel. « Il y en a dix. J'en cache trois. Combien en reste-t-il ici ? »
4. Faites dire la réponse avant de lever la main. La lever trop tôt retransforme l'exercice en comptage.
5. Écrivez les quatre égalités de cette séparation. 3 + 7 = 10, 7 + 3 = 10, 10 − 3 = 7, 10 − 7 = 3. Quatre lignes, trente secondes, et le lien entre additionner et soustraire est énoncé au lieu d'être supposé.
6. Passez en revue toutes les séparations de dix avant de continuer. De zéro et dix jusqu'à cinq et cinq, puis dans l'autre sens. Quatre décompositions sur six, ce ne sont pas les compléments à 10.
7. Ne passez aux paires de 20 que lorsque 10 répond instantanément. Les paires de 20 sont de l'effort gaspillé tant que 6 et 4 demande encore un temps de réflexion.

Cinq minutes par jour valent mieux que vingt minutes le dimanche. Le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recommande de consacrer environ 10 minutes de chaque séance de remédiation à la construction du rappel immédiat des faits arithmétiques de base.

L'étape que la plupart des parents sautent

L'étape 4 est celle qui saute, et la sauter coûte l'essentiel du bénéfice. Découvrez le groupe caché avant que votre enfant s'engage sur une réponse et plus rien n'est rappelé : vingt répétitions produisent vingt exercices de comptage.

Un jeu de compléments impose la même discipline sans parent dans la pièce : l'écran ne montre pas le partenaire tant qu'une réponse n'est pas entrée.

Jouer gratuitement dans le navigateurDécompositions de nombresCP–CE1

Décompositions, familles d'opérations, grilles de dix et surcomptage

Quatre outils couvrent le même terrain de la maternelle au CE1, et ils sont complémentaires plutôt que rivaux. Connaître le rôle de chacun vous évite de réenseigner une méthode que la classe a déjà dépassée.

La fiche d'addition pour le CP mélange sur une page les dispositions en décomposition et en famille d'opérations, avec un corrigé, ce qui vous évite de dessiner des bulles à la main.

Fiche gratuite à imprimerAddition — élèves de CPFiche · PDF

Vers lequel se tourner

Les grilles de dix viennent en premier, les décompositions en deuxième, les familles d'opérations en troisième. Une grille de dix répond visuellement à « combien en manque-t-il pour faire 10 », une décomposition transforme cela en une paire à retenir, et la famille d'opérations écrit la paire en égalités une fois que votre enfant les lit sans peine.

Le surcomptage se place en dehors de cette suite, comme filet de sécurité. Sa présence n'a rien d'inquiétant ; sa permanence si, car un enfant qui surcompte encore en fin de CP a un trou de fluence.

Où les décompositions paient plus tard

Les décompositions paient dès que l'addition franchit 10, et le mécanisme a un nom : le passage par la dizaine. Pour calculer 8 + 5, séparez le 5 en 2 et 3, parce que 8 et 2 est la paire qui fait 10. Alors 8 + 2 + 3 devient 10 + 3 = 13.

Rien dans cette chaîne ne demande de compter. La chaîne a besoin de deux choses : que 8 s'associe à 2, ce qui est l'une des six paires, et que 10 + 3 = 13, ce qui est de la numération.

Les standards Common Core nomment la stratégie en grade 1, l'équivalent du CP : additionner et soustraire dans 20, avec fluence dans 10, en utilisant des stratégies comme faire dix (1.OA.C.6), avec l'exemple résolu du standard lui-même, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Le grade 2, l'équivalent du CE1, relève la barre à la fluence dans 20 et à la mémorisation de toutes les sommes de deux nombres à un chiffre (2.OA.B.2). S'entraîner aux sommes à un chiffre dans un jeu d'addition à un chiffre est ce qui transforme la stratégie en rappel.

Repasser par dix dans la soustraction

La soustraction utilise les décompositions à l'envers, en s'arrêtant à 10 dans la descente. Le standard de CP traite 13 − 4 comme 13 − 3 − 1, ce qui atterrit sur 10 − 1 = 9, et la séparation de 4 en 3 et 1 vient directement du fait que 13 dépasse 10 de 3.

Les adultes font le même geste sans le nommer, et c'est pourquoi les raccourcis des astuces de calcul mental qui marchent s'écroulent si les décompositions sont fragiles.

Comment vérifier que votre enfant a compris

Quatre signaux vous disent où en est votre enfant, et aucun ne demande un contrôle.

• Le test des trois secondes. Demandez les six paires de 10 dans le désordre, une toutes les quelques secondes : « six et combien font dix ? » Une réponse en moins de trois secondes compte comme sue ; une pause de cinq secondes ou plus compte comme calculée.
• Les doigts sous la table. Regardez les mains. Un enfant qui compte discrètement de 6 à 10 recalcule la paire à chaque fois au lieu de la rappeler.
• Le sens inverse. Demandez « dix moins quatre » juste après « quatre et combien font dix ». Un enfant qui répond vite à la première et lentement à la seconde a appris des faits d'addition, pas des décompositions.
• La forme à partie manquante. Écrivez 10 = 4 + ? puis ? + 6 = 10. Les deux doivent tomber aussi vite que la version orale, parce que les évaluations utilisent toutes les formes.

L'exactitude passe avant la vitesse. NRICH, le projet mathématique de l'université de Cambridge, décrit la fluence comme l'efficacité, l'exactitude et la souplesse réunies, et prévient qu'entraîner une procédure qu'un enfant ne comprend pas produit des résultats retenus de travers.

Un calendrier réaliste

La plupart des enfants ont besoin de plusieurs semaines de courtes séances quotidiennes pour rendre les paires de 10 automatiques. Le programme de mathématiques du cycle 2 donne le repère officiel : « à la fin du CP, l'élève peut compléter huit égalités » à trou du type 10 = 7 + … « en une minute ». Les doubles tombent en général en premier, donc les doubles sont un bon point de départ quand toutes les paires semblent aussi difficiles.

Les erreurs fréquentes sur les décompositions, et votre pense-bête

Cinq erreurs expliquent l'essentiel de l'effort gaspillé à la maison, et la plupart portent sur la façon de mener l'entraînement plutôt que sur la méthode choisie.

• N'entraîner qu'un seul sens. Demander « trois et sept ? » cinquante fois construit un fait d'addition. Alternez avec « dix moins sept ? » et « trois et combien font dix ? » dans la même séance, sinon la décomposition reste à moitié apprise.
• Passer aux paires de 20 trop tôt. Les paires de 20 ressemblent à un progrès et rapportent peu tant que 10 est encore lent. Finissez les six paires d'abord ; le second ensemble prendra ensuite une fraction du temps.
• Traiter la bulle comme une décoration. Recopier proprement le schéma n'est pas l'exercice. Videz une case différente à chaque fois, parce que la version à partie vide est celle qui devient la soustraction.
• Confondre le tout et une partie. Guettez l'enfant qui écrit 10 dans une branche et 3 dans la bulle du haut. La correction est physique : montrez le tas de dix, puis les deux groupes, et redessinez.
• S'entraîner une heure le samedi. Le guide du What Works Clearinghouse Teaching Math to Young Children donne sa meilleure note de preuve à un enseignement des nombres et des opérations suivant une progression qui inclut composer et décomposer les nombres. À cet âge, la fréquence l'emporte sur la durée.

Votre pense-bête des décompositions

• Dix objets, pas un écran, la première semaine. C'est la séparation physique qui donne un sens au schéma.
• Les six paires, dans les deux sens, à chaque séance. De 0 et 10 à 5 et 5, addition et soustraction.
• Quatre égalités écrites par séparation. Trente secondes par décomposition, et le lien avec la soustraction devient explicite.
• Répondre avant de découvrir. Le rappel, puis la confirmation, dans cet ordre.
• Trois secondes comme seuil de réussite. Plus lent que cela, c'est un calcul, pas un fait rappelé.
• Les paires de 20 après 10, jamais à côté. Un ensemble à la fois.

Quand la routine doit survivre sans vous à côté, un jeu de maths pour le CP garde le même format de question et ajuste la difficulté à la vitesse des réponses.