数的分与合讲解：让后面的计算变快的那几对数

一年级的孩子带回一张练习，满纸都是圆圈，每个圆圈下面分出两条短线，每组留一个空格。抬头写着“数的分与合”，而你自己念书时学的东西跟它一点都不像。其实这是个老想法换了新包装，桌上摆十块积木，就看得出这幅图为什么值得画。

数的分与合是什么？

数的分与合，就是把两个数合起来凑成一个给定的总数。总数写在一个圆圈里，两个部分写在下面两个圆圈里，三者之间用短线连起来。这幅图不是一道算式，它记的是三个数之间的关系。

10 的分法是课堂上最先练的一组：0 和 10、1 和 9、2 和 8、3 和 7、4 和 6、5 和 5。每一对只算一次，就是六组；把 7 和 3 与 3 和 7 分开算，就是十一组。

5 的分与合一般更早，20 的更晚，但整座楼压着的是 10 这一组。

部分—部分—整体这幅图，为什么画成圆圈加分支

正是“部分—部分—整体”这层意思，让这幅图活得比那张练习纸久。3 + 7 = 10 这样的算式只有一个答案位，在等号右边。分与合图有三个位置，老师想空哪个就空哪个。

就这一处改动，让这个圆圈值得画。空掉整体，孩子做的是加法；空掉一个部分，孩子做的就是减法，而且还没碰到“减法”这个词和减号。

美国的共同核心标准在学前班要的正是这个：把 10 以内的数用不止一种方法拆成两个部分（K.OA.A.3），并给 1 到 9 里的任何一个数找出凑成 10 的那个数（K.OA.A.4），而学前班只要求 5 以内熟练（K.OA.A.5）。国内起步稍晚、推进更快：按教育部印发、2022 年秋季学期起执行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》，10 以内的分与合和 20 以内的进位加法都在一年级完成。

学校为什么把分与合排在笔算加法之前

学校把分与合排在竖式加法之前，是因为分与合可以反过来用，而一道写好的加法不行。只把 3 + 7 = 10 当成单向口诀练过的孩子，遇到 10 − 7 常常卡住，遇到“3 和几凑成 10”卡得更厉害。一组分合把这些全存下来了。

这个顺序也解释了练习纸上那个空格为什么到处跑：空在整体上、空在任何一个部分上，都是同一组分合换三种问法。

一年级的减法明摆着靠的是同一层关系：减法是当作“求加数”引进来的，所以 10 − 8 靠的是“8 和几凑成 10”。没有分与合，这句话就是个谜语。

一组分合，四道算式

一组分合一次生出四道算式，这就是整套方法在算术上最划算的地方。拿 3 和 7 凑成 10 来说：

• 3 + 7 = 10。 第一个部分加第二个部分。
• 7 + 3 = 10。 同一对换个次序，其实就是加法交换律。
• 10 − 3 = 7。 整体减去一个部分，剩下另一个部分。
• 10 − 7 = 3。 从另一头做同一个动作。

六组分合，每组四道算式，花六幅图的代价就把 10 以内加减法这整片地都盖住了。

在家怎么一步步练分与合

在家最快的路走的是实物，不是口算卡。硬币、干豆子、乐高积木都行，要求只有一条：孩子能把它们推成两堆，而且两堆都看得见。

1. 摆出十个东西，一起数一遍。 把总数大声说出来，并且一直摆在那儿。要是数十个东西本身就费劲，先花一周练数一数。
2. 分成两堆，让孩子两堆都看得见。 左边三个，右边七个。把话说完整：三和七合成十。
3. 用手盖住一堆，问剩下的那部分是几。 这一步才是在练提取。“一共十个，我手里按着三个，这边还剩几个？”
4. 答出来之前不许把手拿开。 手抬早了，这个练习又变回数数。
5. 把这一分的四道算式都写出来。 3 + 7 = 10、7 + 3 = 10、10 − 3 = 7、10 − 7 = 3。四行字，三十秒，加法和减法的关系就被说出来了，而不是默认孩子自己会想到。
6. 把 10 的每一种分法都走一遍再往下走。 从 0 和 10 一直到 5 和 5，再倒着来一遍。六组里只会四组，不叫会了 10 的分与合。
7. 10 能脱口而出，再上 20。 6 和 4 还要顿一下的时候练 20 的分与合，是白费劲。

每天五分钟，胜过周日一次二十分钟。What Works Clearinghouse 的指南《帮助数学困难的学生》建议，每次辅导里留大约 10 分钟给基本口算的快速提取。

家长最爱跳过的一步

被丢掉的正是第 4 步，而丢掉它，好处也就去了大半。孩子还没把答案说出口就把手拿开，等于什么都没提取：练二十遍，就是二十次数数。

数的分与合练习不用家长在旁边也能守住这条规矩：不把答案填进去，屏幕就不会告诉你那个伙伴是几。

在浏览器里免费玩数的组成一至二年级

分与合、一图四式、十格图和接着数

小学一二年级有四样工具盖的是同一片地，它们是互补的，不是对手。知道每一样干什么，就不会去重教班上早已走过的方法。

一年级加法练习页把分与合和一图四式两种版式放在同一页上，还附答案，省得你自己一个个画圆圈。

免费可打印练习页加法 — 一年级学生练习卷 · PDF

什么时候该拿哪一样

先十格图，再分与合，最后一图四式。十格图用看的回答“离 10 还差几”，分与合把这件事变成一对值得记住的数，等孩子读算式读得顺了，一图四式再把这对数写成算式。

接着数不在这条线上，它是安全网。它出现没问题，一直赖着不走才有问题：一年级末还在一个一个往上数的孩子，熟练度上是有缺口的。

分与合以后在哪里派上用场

加法一过 10，分与合立刻见效，而这套机制有个名字：凑十法。算 8 + 5，把 5 拆成 2 和 3，因为 8 和 2 正好是凑成 10 的那一组。于是 8 + 2 + 3 变成 10 + 3 = 13。

这一串里没有一处需要数数。它只要两样东西：8 配 2，这是六组分合之一；还有 10 + 3 = 13，这是位值。

美国的共同核心标准在一年级点了这个方法的名：20 以内加减，10 以内要熟练，可以使用凑十等策略（1.OA.C.6），标准自己举的例子就是 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14；二年级再提高到 20 以内熟练、两个一位数相加要记在心里（2.OA.B.2）。用一位数加法练习反复做一位数相加，这套策略才会变成脱口而出。

减法里退回到 10

减法反着用分与合，做法是往下退的时候先停在 10。一年级把 13 − 4 算成 13 − 3 − 1，落到 10 − 1 = 9，而把 4 拆成 3 和 1，靠的正是“13 比 10 多 3”。国内课堂把这种叫平十法，另有一路叫破十法：10 − 4 = 6，再 6 + 3 = 9，用的还是同几组分合。

大人做这一步的时候不会给它起名字，所以真正管用的心算技巧里那些捷径，只要分与合不牢，就全塌了。

怎么确认孩子真的会了

四个信号能看出孩子到了哪一步，一个都不用考试。

• 三秒测试。 把 10 的六组分合打乱着问，隔几秒问一句：“六和几凑成十？”三秒内答出来算会；停够五秒以上，那是算出来的。
• 桌子底下的手指。 看他的手。悄悄从 6 数到 10 的孩子，是每次现算，不是记得。
• 反方向。 问完“四和几凑成十”，紧接着问“十减四”。前一句答得快、后一句答得慢的孩子，学会的是加法口算，不是分与合。
• 求部分的写法。 写 10 = 4 + ?，再写 ? + 6 = 10。这两种都该和口头问一样快，因为考试各种形式都会用。

先求准，再求快。剑桥大学的数学项目 NRICH 把熟练定义成高效、准确、灵活三者兼备，并且提醒：孩子还不理解就硬练流程，记下来的往往是错的。

一个现实的时间表

多数孩子需要连着几周、每天练一小会儿，10 的分与合才变得不假思索。加倍那几对通常最先落地，所以每一组都一样难的时候，从加倍练习起步是公道的。

常见错误和一份检查清单

在家白费的力气，大半来自五个错，而其中多数出在练的方式上，不在选了哪种方法。

• 只练一个方向。 “三和七”问五十遍，练出来的是一道加法口算。同一次练习里要和“十减七”“三和几凑成十”轮着来，不然这组分合永远只学了一半。
• 太早跳到 20。 10 还慢的时候练 20 的分与合，看着像进步，其实没什么收获。先把六组做完，第二套花的时间只是零头。
• 把那个圆圈当装饰。 把图描工整不是练习。每次空一个不同的位置，因为空部分的那种，才是以后变成减法的那种。
• 把整体和部分弄混。 留意孩子有没有把 10 写在分支上、把 3 写在上面的圆里。纠正要动手：指指那十个的那一堆，再指指两小堆，重画一遍。
• 周六一口气练一小时。 What Works Clearinghouse 的指南《给幼儿教数学》把“按发展进程教数与运算，其中包括数的合成与分解”列为证据最强的一条。这个年纪，次数比时长重要。

分与合检查清单

• 头一周用十个实物，不用屏幕。 亲手分开，那幅图才有意义。
• 每次都过六组，正反都问。 从 0 和 10 到 5 和 5，加法减法都要。
• 每一种分法写四道算式。 每组三十秒，和减法的联系就被明说出来了。
• 先答，再揭开。 先提取，后确认，顺序不能反。
• 及格线是三秒。 比这慢，就是算出来的，不是记住的。
• 先 10 后 20，绝不并排。 一次只练一套。

这套流程需要在你不在旁边时也能走下去，一年级数学游戏保留了同样的提问方式，还会按答题速度自动调难度。