Zahlenzerlegung für Eltern: die Paare, die späteres Rechnen schnell machen

Ihr Kind kommt aus der 1. Klasse mit einem Arbeitsblatt voller Kreise nach Hause, aus jedem wachsen zwei kurze Äste, und je Kreis steht ein leeres Kästchen. Über der Seite steht Zahlenzerlegung, und nichts aus Ihrer eigenen Schulzeit sieht auch nur entfernt so aus. Die Zahlenzerlegung ist eine alte Idee in neuer Verpackung, und zehn Bausteine auf dem Küchentisch reichen, um zu sehen, warum das Bild seinen Platz verdient.

Was ist eine Zahlenzerlegung?

Eine Zahlenzerlegung ist ein Zahlenpaar, das zusammen eine bestimmte Summe ergibt. Die Summe steht in einem Kreis, die beiden Teile stehen in Kreisen darunter, und kurze Striche verbinden die drei. Die Zeichnung ist keine Rechnung; sie hält eine Beziehung zwischen drei Zahlen fest. Viele Schulbücher zeichnen dasselbe als Zerlegungshaus mit zwei Zimmern pro Stockwerk.

Die Zerlegungen der 10 sind der Satz, der im Unterricht zuerst geübt wird: 0 und 10, 1 und 9, 2 und 8, 3 und 7, 4 und 6 sowie 5 und 5. Je Paar einmal gezählt sind das sechs Zerlegungen. Als geordnete Paare gezählt, bei denen 7 und 3 von 3 und 7 getrennt ist, sind es elf.

Die Zerlegungen der 5 kommen meist früher und die der 20 später, aber die 10 ist der Satz, auf den sich alles andere stützt.

Das Bild aus Teil, Teil und Ganzem, und warum es ein Kreis mit Ästen ist

Das Bild aus Teil, Teil und Ganzem ist der Grund, warum diese Zeichnung das Arbeitsblatt überlebt, auf dem sie ankommt. Eine Gleichung wie 3 + 7 = 10 hat einen einzigen Platz für das Ergebnis, nämlich rechts. Eine Zerlegung hat drei Plätze, und die Lehrkraft kann jeden davon leer lassen.

Diese eine Änderung macht den Kreis zeichnenswert. Lassen Sie das Ganze frei, dann addiert das Kind. Lassen Sie einen Teil frei, dann subtrahiert es, ohne dem Wort Subtraktion oder dem Minuszeichen begegnet zu sein.

Der bayerische LehrplanPLUS für Mathematik in der Grundschule verlangt genau das: Kinder „zerlegen Zahlen im Zahlenraum bis Hundert additiv (z. B. 10 = 1 + 9; 10 = 9 + 1; 32 = 30 + 2)“ und „wenden die Zahlensätze des Einspluseins bis Zwanzig sowie deren Umkehrungen (z. B. 9 – 7 = 2 als Umkehrung von 2 + 7 = 9) automatisiert und flexibel an“. Die US-Standards setzen dasselbe Ziel ein Jahr früher an: Zahlen bis 10 auf mehr als eine Weise in Paare zerlegen (K.OA.A.3) und zu jeder Zahl von 1 bis 9 den Partner zur 10 finden (K.OA.A.4).

Warum Zerlegungen vor dem schriftlichen Rechnen kommen

Schulen üben Zerlegungen vor dem schriftlichen Addieren, weil eine Zerlegung umkehrbar ist und eine geschriebene Summe nicht. Ein Kind, das 3 + 7 = 10 als Einbahnaufgabe gedrillt hat, stockt oft bei 10 − 7 und stockt heftig bei „3 und wie viel macht 10“. Die Zerlegung speichert das alles auf einmal.

Diese Reihenfolge ist auch der Grund, warum die fehlende Zahl auf dem Arbeitsblatt wandert: die Lücke im Ganzen und die Lücken in beiden Teilen sind dieselbe Zerlegung, dreimal anders gefragt.

Die 1. Klasse stützt sich ausdrücklich auf dieselbe Beziehung: Die Subtraktion kommt als Aufgabe mit fehlendem Summanden, 10 − 8 wird also gelöst, indem man die Zahl sucht, die zu 8 addiert 10 ergibt. Ohne die Zerlegung ist dieser Satz ein Rätsel.

Eine Zerlegung, vier Aufgaben

Eine Zerlegung erzeugt vier Rechenaufgaben auf einmal, und das ist das rechnerische Schnäppchen der ganzen Methode. Nehmen Sie 3 und 7, die 10 ergeben:

• 3 + 7 = 10. Der erste Teil plus der zweite Teil.
• 7 + 3 = 10. Dasselbe Paar in der anderen Reihenfolge, also das Tauschgesetz in Verkleidung.
• 10 − 3 = 7. Das Ganze minus einem Teil lässt den anderen Teil übrig.
• 10 − 7 = 3. Derselbe Zug von der anderen Seite.

Sechs Zerlegungen mit je vier Aufgaben decken die gesamte Addition und Subtraktion im Zehnerraum ab, zum Preis von sechs Bildern.

Wie Sie Zahlenzerlegungen zu Hause aufbauen, Schritt für Schritt

Der schnellste Weg zu Hause führt über Gegenstände, nicht über Karteikarten. Centstücke, getrocknete Bohnen und LEGO-Steine taugen alle; verlangt ist nur, dass Ihr Kind sie in zwei Gruppen schieben und beide sehen kann.

1. Zehn Gegenstände hinlegen und gemeinsam zählen. Sagen Sie die Gesamtzahl laut und lassen Sie sie sichtbar. Fällt schon das Zählen von zehn Gegenständen schwer, verbringen Sie zuerst eine Woche mit Gegenstände zählen.
2. In zwei Gruppen teilen, die Ihr Kind beide sieht. Drei links, sieben rechts. Sagen Sie den Satz vollständig: Drei und sieben machen zehn.
3. Eine Gruppe unter der Hand verstecken und nach dem fehlenden Teil fragen. Das ist der Zug, der den Abruf aufbaut. „Es sind zehn. Ich halte drei fest. Wie viele liegen hier noch?“
4. Die Antwort sagen, bevor Sie die Hand heben. Zu früh zu heben macht aus der Übung wieder ein Zählen.
5. Alle vier Aufgaben zu dieser Teilung aufschreiben. 3 + 7 = 10, 7 + 3 = 10, 10 − 3 = 7, 10 − 7 = 3. Vier Zeilen, dreißig Sekunden, und die Verbindung zwischen Addieren und Subtrahieren wird ausgesprochen statt vorausgesetzt.
6. Jede Teilung der Zehn durchgehen, bevor es weitergeht. Von null und zehn bis fünf und fünf, dann wieder zurück. Vier von sechs Zerlegungen sind nicht die Zerlegungen der 10.
7. Erst zur 20 wechseln, wenn die 10 sofort kommt. Zerlegungen der 20 sind verschwendete Mühe, solange 6 und 4 noch eine Pause braucht.

Fünf Minuten am Tag schlagen zwanzig Minuten am Sonntag. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics empfiehlt, etwa 10 Minuten jeder Fördereinheit auf den sicheren Abruf der Grundaufgaben zu verwenden.

Der Schritt, den die meisten Eltern auslassen

Schritt 4 fällt am häufigsten weg, und ihn wegzulassen kostet den größten Teil des Nutzens. Decken Sie die versteckte Gruppe auf, bevor Ihr Kind sich auf eine Antwort festlegt, dann wird nichts abgerufen: Aus zwanzig Wiederholungen werden zwanzig Zählübungen.

Ein Spiel zur Zahlenzerlegung setzt dieselbe Disziplin ohne Eltern im Raum durch: Der Bildschirm zeigt den Partner erst, wenn eine Antwort eingegeben ist.

Gratis im Browser spielenZahlzerlegungKlasse 1–2

Zerlegung, Aufgabenfamilie, Zehnerfeld und Weiterzählen

Vier Werkzeuge decken in den ersten beiden Schuljahren dasselbe Feld ab, und sie ergänzen sich, statt zu konkurrieren. Die Aufgabe jedes einzelnen zu kennen bewahrt Sie davor, eine Methode neu zu erklären, über die die Klasse längst hinaus ist.

Das Arbeitsblatt zur Addition für die 1. Klasse mischt Zerlegungen und Aufgabenfamilien auf einer Seite und bringt Lösungen mit, was Ihnen das Kreisezeichnen von Hand erspart.

Arbeitsblatt gratis ausdruckenAddition — ErstklässlerArbeitsblatt · PDF

Wozu Sie wann greifen sollten

Das Zehnerfeld kommt zuerst, die Zerlegung zweitens, die Aufgabenfamilie drittens. Das Zehnerfeld beantwortet bildlich „wie viel fehlt bis 10“, die Zerlegung macht daraus ein merkenswertes Paar, und die Aufgabenfamilie schreibt dieses Paar als Gleichungen auf, sobald Ihr Kind sie bequem liest.

Das Weiterzählen steht außerhalb dieser Reihe, als Sicherheitsnetz. Dass es vorkommt, ist in Ordnung; dass es bleibt, ist es nicht, denn ein Kind, das am Ende der 1. Klasse noch weiterzählt, hat eine Lücke beim Abruf.

Wo sich Zahlenzerlegungen später auszahlen

Zahlenzerlegungen zahlen sich in dem Moment aus, in dem das Rechnen die 10 überschreitet, und der Vorgang hat einen Namen: der Zehnerübergang. Um 8 + 5 zu rechnen, zerlegen Sie die 5 in 2 und 3, denn 8 und 2 ist die Zerlegung, die 10 ergibt. Dann wird aus 8 + 2 + 3 die Rechnung 10 + 3 = 13.

Nichts in dieser Kette verlangt Zählen. Die Kette braucht zwei Dinge: dass die 8 zur 2 gehört, und das ist eine der sechs Zerlegungen, und dass 10 + 3 = 13 ist, und das ist Stellenwert.

Die US-Standards benennen die Strategie in der 1. Klasse: innerhalb von 20 addieren und subtrahieren und innerhalb von 10 sicher rechnen, mit Strategien wie dem Ergänzen zur Zehn (1.OA.C.6), mit dem eigenen Beispiel des Standards 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Ein Jahr später sollen alle Summen zweier einstelliger Zahlen aus dem Gedächtnis kommen (2.OA.B.2). Einstellige Summen in einem Spiel zur Addition einstelliger Zahlen zu üben ist der Weg, auf dem die Strategie zum Abruf wird.

Der Rückweg über die Zehn beim Subtrahieren

Die Subtraktion nutzt die Zerlegungen rückwärts, indem sie auf dem Weg nach unten bei 10 haltmacht. Die 1. Klasse rechnet 13 − 4 als 13 − 3 − 1, das landet bei 10 − 1 = 9, und die Teilung der 4 in 3 und 1 kommt direkt daher, dass 13 drei über der 10 liegt.

Erwachsene benutzen denselben Zug, ohne ihn zu benennen, und deshalb brechen die Abkürzungen aus Kopfrechnen-Tricks, die wirklich helfen, zusammen, wenn die Zerlegungen wackeln.

So prüfen Sie, ob Ihr Kind es kann

Vier Signale sagen Ihnen, wo Ihr Kind steht, und keines davon braucht einen Test.

• Die Drei-Sekunden-Probe. Fragen Sie die sechs Zerlegungen der 10 in zufälliger Folge ab, alle paar Sekunden eine: „Sechs und wie viel macht zehn?“ Eine Antwort innerhalb von drei Sekunden gilt als gewusst; eine Pause von fünf Sekunden oder mehr gilt als gerechnet.
• Finger unter dem Tisch. Achten Sie auf die Hände. Ein Kind, das still von 6 bis 10 hochzählt, rechnet die Zerlegung jedes Mal aus, statt sie abzurufen.
• Die Gegenrichtung. Fragen Sie „zehn weniger vier“ direkt nach „vier und wie viel macht zehn“. Ein Kind, das die erste Frage schnell und die zweite langsam beantwortet, hat Additionsaufgaben gelernt, keine Zerlegungen.
• Die Form mit dem fehlenden Teil. Schreiben Sie 10 = 4 + ? und danach ? + 6 = 10. Beides sollte so schnell kommen wie die gesprochene Fassung, denn Proben benutzen jede Form.

Richtigkeit kommt vor Tempo. NRICH, das Mathematikprojekt der Universität Cambridge, beschreibt Geläufigkeit als Effizienz, Richtigkeit und Beweglichkeit zusammen und warnt, dass ein gedrilltes Verfahren ohne Verständnis zu falsch erinnerten Aufgaben führt.

Ein realistischer Zeitplan

Die meisten Kinder brauchen mehrere Wochen mit kurzen täglichen Einheiten, bis die Zerlegungen der 10 automatisch kommen. Die Verdopplungen sitzen meist zuerst, deshalb sind Verdopplungsaufgaben ein fairer Anfang, wenn sich jede Zerlegung gleich schwer anfühlt.

Typische Fehler bei der Zahlenzerlegung und Ihre Checkliste

Fünf Fehler verursachen den größten Teil der verschwendeten Mühe zu Hause, und die meisten betreffen die Durchführung der Übung, nicht die gewählte Methode.

• Nur eine Richtung üben. Fünfzigmal „drei und sieben?“ zu fragen baut eine Additionsaufgabe auf. Wechseln Sie in derselben Einheit mit „zehn weniger sieben?“ und „drei und wie viel macht zehn?“ ab, sonst bleibt die Zerlegung halb gelernt.
• Zu früh zur 20 springen. Zerlegungen der 20 sehen nach Fortschritt aus und bringen wenig, solange die 10 langsam ist. Machen Sie zuerst die sechs Paare fertig; der zweite Satz kostet dann einen Bruchteil der Zeit.
• Den Kreis als Verzierung behandeln. Das Bild sauber abzumalen ist nicht die Übung. Lassen Sie jedes Mal eine andere Stelle frei, denn die Fassung mit dem fehlenden Teil ist die, aus der später die Subtraktion wird.
• Das Ganze mit einem Teil verwechseln. Achten Sie darauf, ob Ihr Kind die 10 in einen Ast schreibt und die 3 in den oberen Kreis. Die Abhilfe ist körperlich: auf den Haufen aus zehn zeigen, dann auf die beiden Gruppen, und neu zeichnen.
• Eine Stunde am Samstag üben. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse Teaching Math to Young Children vergibt seine stärkste Bewertung dafür, Zahlen und Rechenoperationen entlang einer Entwicklungsfolge zu unterrichten, zu der das Zusammensetzen und Zerlegen von Zahlen gehört. In diesem Alter schlägt Häufigkeit die Dauer.

Ihre Checkliste zur Zahlenzerlegung

• Zehn Gegenstände statt Bildschirm in der ersten Woche. Erst das körperliche Teilen gibt dem Bild eine Bedeutung.
• Alle sechs Paare, beide Richtungen, jede Einheit. Von 0 und 10 bis 5 und 5, Addition und Subtraktion.
• Vier Aufgaben je Teilung aufgeschrieben. Dreißig Sekunden pro Zerlegung, und die Verbindung zur Subtraktion steht ausdrücklich da.
• Antwort vor dem Aufdecken. Erst abrufen, dann bestätigen, in dieser Reihenfolge.
• Drei Sekunden als Bestehensgrenze. Was länger dauert, ist eine Rechnung und keine abgerufene Aufgabe.
• Die 20 nach der 10, nie daneben. Ein Satz nach dem anderen.

Wenn die Routine ohne Sie daneben auskommen muss, hält ein Mathe-Spiel für die 1. Klasse dasselbe Frageformat und passt die Schwierigkeit daran an, wie schnell die Antworten kommen.