Área e perímetro explicados: a cerca, o tapete e as fórmulas

A lição do 4º ano do seu filho mostra um retângulo de 6 cm de comprimento por 4 cm de largura, pede a área e o perímetro, e as respostas voltam como 10 e 24, ou 24 e 24. Área e perímetro são duas medidas da mesma figura, e as crianças confundem as duas porque ambas partem das mesmas medidas dos lados. Uma imagem só responde o que é perímetro e o que é área: o perímetro é a cerca em volta da horta, e a área é o tapete no chão.

Qual a diferença entre área e perímetro?

Perímetro é a medida do contorno de uma figura, e área é o espaço plano que ela ocupa por dentro. O OpenStax Prealgebra resume em duas linhas: o perímetro é uma medida da distância em volta de uma figura, e a área é uma medida da superfície que a figura cobre.

Num canteiro, a cerca em volta é o perímetro, em metros, e a terra de dentro é a área, em metros quadrados.

O retângulo de 6 por 4 da lição mostra os dois de uma vez. Ande pela borda e você percorre 6 + 4 + 6 + 4 = 20 unidades; conte os quadradinhos de dentro e você acha 4 fileiras de 6, que é 6 × 4 = 24 unidades quadradas.

Por que as crianças confundem os dois

As crianças confundem área e perímetro porque as duas perguntas usam os mesmos dois números, e quem não imaginou a figura escolhe a operação ao acaso. Somar 6 + 4 dá 10, que não é nenhuma das respostas, e multiplicar dá 24, que é só a área.

No Brasil, a BNCC começa no 3º ano comparando áreas "visualmente ou por superposição" (EF03MA21). No 4º ano a criança mede comprimentos "incluindo perímetros" (EF04MA20) e mede área em malha quadriculada "pela contagem dos quadradinhos" (EF04MA21). No 5º ano ela conclui "que figuras de perímetros iguais podem ter áreas diferentes" (EF05MA20), e no 7º ano estabelece as expressões de cálculo de área de triângulos e quadriláteros (EF07MA31).

Nos Estados Unidos, as duas ideias chegam no 3º ano. O padrão 3.MD.C.7a do Common Core pede achar a área de um retângulo cobrindo-o com quadradinhos e mostrar que ela é a mesma que se obtém multiplicando os lados. O padrão 3.MD.D.8 acrescenta o perímetro e pede mostrar retângulos com o mesmo perímetro e áreas diferentes, ou com a mesma área e perímetros diferentes, e o 4.MD.A.3 passa a aplicar as fórmulas de área e perímetro do retângulo em problemas.

A Inglaterra vai mais devagar. Os programas de estudo do currículo nacional pedem no Year 4 achar a área de figuras retilíneas contando quadradinhos, e no Year 6 reconhecer que figuras com a mesma área podem ter perímetros diferentes, e vice-versa. O panorama do que a criança aprende de matemática por ano mostra onde esses temas ficam ao lado da multiplicação e das frações.

Como calcular o perímetro e a área de um retângulo, passo a passo

O perímetro de um retângulo é 2 × (comprimento + largura), e a área é comprimento × largura. Seis passos levam a criança do desenho às duas respostas, com as unidades certas.

1. Marque todos os lados. Os lados opostos de um retângulo são iguais, então um retângulo de 6 por 4 tem lados 6, 4, 6 e 4. Escreva os quatro números no desenho.
2. Confira se as unidades batem. Um lado de 2 m e um lado de 50 cm precisam virar 200 cm e 50 cm (ou 2 m e 0,5 m) antes de somar ou multiplicar.
3. Some os quatro lados para o perímetro. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. O atalho 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 dá a mesma resposta.
4. Escreva o perímetro com uma unidade de comprimento. Se os lados estão em centímetros, o perímetro é 20 cm.
5. Multiplique comprimento por largura para a área. 6 × 4 = 24. No papel quadriculado, conte os quadradinhos para confirmar: 4 fileiras de 6 dão 24.
6. Escreva a área com uma unidade quadrada. A área é de 24 centímetros quadrados, escrita 24 cm², porque conta quadradinhos de 1 cm de lado.

Como achar um lado que falta

Um lado que falta se acha fazendo a fórmula de trás para a frente. Se um retângulo tem perímetro de 30 cm e comprimento de 9 cm, metade do perímetro é 30 ÷ 2 = 15 cm, que é comprimento + largura, então a largura é 15 − 9 = 6 cm.

A área funciona do mesmo jeito, com divisão. Um quarto com 18 m² de piso e 4,5 m de comprimento dá 18 = 4,5 × largura, então a largura é 18 ÷ 4,5 = 4 m. O padrão 4.MD.A.3 chama isso de ver a fórmula da área como uma multiplicação com um fator desconhecido, e o guia de como resolver problemas de matemática ajuda a criança a decidir qual fórmula o enunciado está pedindo.

Perímetro e área num relance

Perímetro e área respondem a perguntas diferentes sobre a mesma figura, então usam unidades diferentes e operações diferentes.

O quadrado é um retângulo com os quatro lados iguais, então as fórmulas dele são atalhos das do retângulo. Um quadrado de 5 m de lado tem perímetro de 4 × 5 = 20 m e área de 5 × 5 = 25 m².

Dá para achar o perímetro a partir da área?

A área sozinha não diz o perímetro, porque muitos retângulos têm a mesma área. Uma área de 24 unidades quadradas cabe em todos estes retângulos:

• 4 por 6: perímetro 2 × (4 + 6) = 20
• 3 por 8: perímetro 2 × (3 + 8) = 22
• 2 por 12: perímetro 2 × (2 + 12) = 28
• 1 por 24: perímetro 2 × (1 + 24) = 50

Acrescente a medida de um lado e a resposta fica definida. Com área 24 e largura 3, o comprimento é 24 ÷ 3 = 8 e o perímetro é 22; num quadrado de área 36, o lado é 6, porque 6 × 6 = 36, e o perímetro é 4 × 6 = 24.

Mesmo perímetro, área diferente: a experiência do barbante

Retângulos com o mesmo perímetro podem cobrir áreas bem diferentes, e um laço de barbante prova isso na mesa da cozinha. Amarre um barbante de 24 cm, estique em retângulos sobre o papel quadriculado e conte os quadradinhos de dentro de cada um.

Perímetro 24 quer dizer comprimento + largura = 12, então os retângulos com lados inteiros são:

• 1 por 11: área 11
• 2 por 10: área 20
• 3 por 9: área 27
• 4 por 8: área 32
• 5 por 7: área 35
• 6 por 6: área 36

Os mesmos 24 cm de cerca fecham 11 unidades quadradas numa figura comprida e fina, e 36 num quadrado. Entre os retângulos, o quadrado sempre ganha, e é por isso que um fazendeiro com uma metragem fixa de cerca consegue mais pasto num terreno quadrado.

Cada área dessa lista é um fato da tabuada. O guia de contar de 2 em 2 mostra como contar fileiras de quadradinhos vira multiplicação, e o jogo da tabuada treina os fatos.

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Cômodos em L e outras figuras compostas

A área de uma figura em L se acha dividindo a figura em retângulos e somando as áreas. O padrão 3.MD.C.7d pede achar a área de figuras retilíneas decompondo-as em retângulos que não se sobrepõem e somando as áreas das partes.

Pegue um L de 6 unidades de largura embaixo e 5 unidades de altura à esquerda. Divida numa faixa de baixo de 6 × 2 = 12 e numa coluna em cima de 2 × 3 = 6, então a área é 12 + 6 = 18 unidades quadradas.

O perímetro pede todas as bordas de fora, inclusive as duas internas que a criança costuma pular. Dando a volta no L, as bordas são 2, 3, 4, 2, 6 e 5, que somam 22 unidades; o 4 é o topo da faixa de baixo (6 − 2), e o 3 é a altura da coluna (5 − 2).

Como acompanhar o progresso em área e perímetro

Cinco perguntas curtas mostram se a criança entende área e perímetro ou está chutando a operação.

• A pergunta de separar: Pergunte se uma cerca, um tapete, uma moldura e um gramado são trabalhos de perímetro ou de área. Cerca e moldura são perímetro; tapete e gramado são área.
• O retângulo básico: Dê um retângulo de 7 por 3. O perímetro é 20 e a área é 21, e a criança deve pôr as unidades (cm e cm²).
• O quadrado: Dê um quadrado de 9 m de lado. O perímetro é 36 m e a área é 81 m².
• O lado que falta: Dê uma área de 40 m² e um comprimento de 8 m. A largura é 5 m, achada com 40 ÷ 8.
• A pergunta de raciocínio: Pergunte qual retângulo de perímetro 20 tem a maior área. A resposta é o quadrado de 5 por 5, com 25 unidades quadradas.

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha

Um teste de cinco minutos com três perguntas misturadas (um retângulo, um lado que falta, uma figura em L) mostra mais do que uma folha de um tipo só. Peça à criança que desenhe a figura e diga "em volta" ou "dentro" antes de calcular.

A criança que acerta o método da área mas trava na multiplicação precisa mais da tabuada do que da geometria. O jogo de matemática para o 3º ano e o jogo de matemática para o 4º ano cobrem as contas do ano em que todo problema de área se apoia, e o guia de multiplicação com dois algarismos ajuda quando os lados passam a ter dois dígitos.

Erros comuns com área e perímetro

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas em problemas de área e perímetro, e cada um tem um conserto de uma linha.

• Somar só dois lados: Um retângulo de 6 por 4 ganha perímetro 10 em vez de 20. Marque os quatro lados antes de somar, ou use 2 × (comprimento + largura).
• Multiplicar para o perímetro: A criança escreve 6 × 4 = 24 como perímetro. Pergunte antes "em volta ou dentro?"; em volta quer dizer somar.
• Misturar unidades: Uma horta de 2 m por 50 cm ganha área 100. Converta primeiro: 200 cm × 50 cm = 10.000 cm², ou 2 m × 0,5 m = 1 m².
• Esquecer a unidade quadrada: Uma área escrita como 24 cm parece um comprimento. A área sempre conta quadradinhos, então a resposta é 24 cm², ou 24 centímetros quadrados.

Caso especial: por que a área usa unidades quadradas

A área usa unidades quadradas porque a medida conta quadrados unitários. O padrão 3.MD.C.5a diz que um quadrado de lado 1 unidade, chamado quadrado unitário, tem uma unidade quadrada de área, então um retângulo coberto por 24 desses quadrados tem área de 24 unidades quadradas.

A unidade quadrada também explica por que dobrar os lados não dobra a área. Um retângulo de 2 por 3 cobre 6 quadradinhos, e um de 4 por 6 cobre 24, que é 4 vezes mais, enquanto o perímetro passa de 10 para 20, só 2 vezes mais. A BNCC trata essa ideia no 6º ano, ao pedir que o aluno compreenda "que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área" (EF06MA29).

Sua lista de conferência de área e perímetro e os próximos passos

• Em volta ou dentro: decida qual dos dois a pergunta quer antes de calcular.
• Os quatro lados: marque todos os lados do retângulo, inclusive os dois que o desenho deixa em branco.
• Mesma unidade: converta todos os lados para uma unidade só antes de somar ou multiplicar.
• Unidade certa na resposta: cm para perímetro, cm² para área.
• Papel quadriculado: desenhe o retângulo e conte os quadradinhos para confirmar o produto.
• Lajotas ou biscoitos: monte retângulos com peças quadradas, depois teste o laço de barbante de 24 cm e ache a maior área.

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