仮分数と帯分数：意味と、仮分数を帯分数に直す方法

レシピには小麦粉2と1/2カップと書いてあるのに、引き出しにあるきれいな計量カップは1/2カップだけ。お子さんがすくった回数を数えます。1、2、3、4、5。1/2カップが5回で5/2、そして5/2は2と1/2と同じ量です。仮分数と帯分数の考え方は、この5回のすくう回数に全部入っています。

仮分数と帯分数とは？

仮分数と帯分数は、1以上の大きさを書く2つの方法です。仮分数の7/4は4分の1を7つ数えていて、帯分数の1と3/4は、1つ分と4分の1が3つ残っていることを表し、同じ大きさです。

3/4のように分子が分母より小さい分数を真分数、分子が分母と等しいか大きい分数を仮分数といいます。OpenStaxの初等代数も同じように「a < bなら分数a/bは真分数、a ≥ bなら仮分数」と定義し、「帯分数は整数と分数でできている」と書いています。

整数も同じ見方でとらえられます。どんな整数も分母を1にして書けるので3 = 3/1で、分子が分母の倍数になっている仮分数は、形を変えた整数です。8/4 = 2で、4分の1が8つで2つ分になるからです。

学校で両方の形を学ぶ理由

学校で両方の形を学ぶのは、それぞれ得意な仕事がちがうからです。帯分数は大きさがひと目で分かり（1と3/4は1と2の間）、仮分数はかけ算やわり算がしやすい形です。

日本では、真分数・仮分数・帯分数を小4で学びます。小学校学習指導要領は第4学年の用語に「真分数　仮分数　帯分数」をあげ、「同分母の分数の加法及び減法の計算ができること」を求めています。帯分数のたし算・ひき算では、仮分数に直して計算する場面がよく出てきます。アメリカの州共通基礎スタンダードも4年生で「2と1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8」の例をあげ、イングランドの算数・数学の学習プログラムは5年目に「帯分数と仮分数を見分け、一方からもう一方に直す」ことを求めています。

仮分数を帯分数に直す方法を順番に

仮分数を帯分数に直すのは、あまりのあるわり算です。分数の横線はもともと「わる」という意味で、学習指導要領も第5学年で「整数の除法の結果は，分数を用いると常に一つの数として表すことができる」ことを扱います。17/5で考えましょう。

1. 分子を分母でわる。 3 × 5 = 15、17 − 15 = 2なので、17 ÷ 5 = 3あまり2です。
2. 商を整数部分にする。 商は3なので、帯分数は3から始まります。
3. あまりを新しい分子にする。 あまりの2が、分数部分の分子になります。
4. 分母はそのままにする。 かけらはまだ5分の1なので分母は5のままで、17/5 = 3と2/5です。
5. 分数部分を約分する。 22/6なら、22 ÷ 6 = 3あまり4で3と4/6、4/6を2でわって3と2/3になります。

手順1のわり算は、わり算の筆算で子どもが出会うものと同じで、あまりはもう1組を作れなかった部分です。わり算がすばやくできると、どの変換も速くなります。

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つまずきやすいところ：分母を変えてしまう

変換で分母が変わることはありませんが、分母を変えてしまうのがいちばん多い間違いです。17を5でわった子どもが、商を分母にして3と2/3と書いたり、もとの分子を分母にして3と2/17と書いたりします。

かけらの大きさを聞いてみましょう。5分の1が17こは、直す前も直した後も5分の1です。5こずつまとめて1つ分にしても、残りのかけらは5分の1のままです。「5分の1が17こで、3と、5分の1が2こ」と単位を声に出すと、間違いに気づけます。

帯分数を仮分数に直す方法

帯分数を仮分数に直すのは、わり算を逆にたどる計算です。整数部分に分母をかけ、分子をたし、分母はそのままにします。3と2/5なら、3つ分の中に5分の1が3 × 5 = 15こあり、さらに5分の1が2こで17こなので、3と2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5です。

最初の小麦粉も同じです。2と1/2カップなら、2カップの中に1/2カップが2 × 2 = 4回分あり、さらに1回分で5/2、つまり1/2カップで5回すくいます。OpenStaxも「整数に分母をかける」「その積に分子をたす」「和をもとの分母の上に書く」という同じ3つの動きをあげています。

先に直すと計算がかんたんになる理由

帯分数を先に仮分数に直すと、整数部分と分数部分がいっしょに動くので、かけ算が安全になります。2と1/2 × 2を部分ごとにかけると、子どもは1/2を落としがちですが、5/2 × 2 = 10/2 = 5なら落とすものがありません。帯分数のかけ算のやり方は分数のかけ算のやり方に、帯分数のひき算で整数から1くり下げる方法は分数のひき算のやり方にあります。

仮分数と帯分数を家で練習するこつ

台所にあるものを使うと、仮分数と帯分数が目に見えます。子どもはかけらを数え、1つ分ができていくのを見られるからです。食べ物とえんぴつで10分練習するほうが、ドリル1ページより身につきます。

• ピザの切れはし： ピザ2枚を4等分し、7切れを並べます。4分の1がいくつあるか（7/4）を聞き、次にまるごとのピザがいくつ作れるか（1枚）と、何切れ残るか（3切れ）を聞きます。
• 計量カップ： 1/2カップだけで2と1/2カップのお米をボウルに入れ、すくった回数を数えます。1/3カップの目もりでも1と2/3カップを量ると5回かかるので、1と2/3 = 5/3です。
• 数直線： 0から4までの線をかき、5分の1ずつ目もりをつけます。0から5分の1を17こ数えると、3を2目もりこえたところに着くので、17/5 = 3と2/5です。

単位を声に出す

単位の名前を言うと、分母が変わりません。「2分の1が9こで、4と、2分の1が1こ」は、「9わる2は4と1わる2」より正しく言いやすく、声に出すことで分母が変わらない理由も分かります。保護者のための分数の解説も、分子と分母を同じ数え方の言葉で説明しています。

仮分数と帯分数が身についたかを確かめるには

5つの短い問いで、仮分数と帯分数が分かったかどうかが分かります。あてずっぽうの正解は穴をかくすので、手順を言ってもらいましょう。

• 基本の変換： 11/4を帯分数に直します。11 ÷ 4 = 2あまり3なので、2と3/4です。
• 逆の変換： 4と1/3を仮分数に直します。4 × 3 + 1 = 13なので、13/3です。
• 約分がいる： 14/4を帯分数に直します。3と2/4で、約分すると3と1/2です。
• くらべる： 9/4と2と1/2のどちらが大きいかを聞きます。9/4は2と1/4なので、2と1/2のほうが大きい数です。
• 数直線に置く： 23/5はどの2つの整数の間にあるかを聞きます。23/5 = 4と3/5なので、4と5の間です。

行って帰る確認

行って帰る確認では、同じ数を1ページの中で両方向に直します。19/6を帯分数に直し（3と1/6）、その答えを仮分数にもどします。19/6にもどれば、やり方は身についています。毎週数を変えてくり返し、2週続けて全問正解なら次に進みましょう。

4年生向けの算数ゲームのページには、この力を学ぶ学年の練習がまとまっています。

よくある間違いとまぎらわしい場合

仮分数と帯分数の誤答のほとんどは、4つの間違いから来ています。

• 分母を変える： 17/5を3と2/3と書くと、5分の1が3分の1に変わってしまいます。もとの分母のままにします。
• かけずにたす： 3と2/5を(3 + 2)/5 = 5/5とすると、1つ分を5分の1が1こと数えたことになります。先にかけて3 × 5 + 2 = 17なので、答えは17/5です。
• 約分を忘れる： 22/6を3と4/6のままにするのは、まちがいではありませんが、いちばん簡単な形で答える問題では途中です。答えは3と2/3です。分数部分の約分は分数の約分のしかたで説明しています。
• あまりを落とす： 17/5を3と書くと、5分の2がなくなります。あまりが分数部分なので、必ず書きます。

1分で確かめたいまぎらわしい場合

あまりが0のときや、負の数のときは注意がいります。あまりが0の仮分数は整数です。12 ÷ 4 = 3あまり0なので12/4 = 3で、3と0/4とは書きません。

負の帯分数は、全体の前に−の記号をつけます。−1と1/2は−(1 + 1/2)という意味で−3/2になり、−1 + 1/2 = −1/2ではありません。正の部分1と1/2 = 3/2を直してから、符号をもどします。

帯分数のチェックリストと次の一歩

• 見分ける： 分子が分母と等しいか大きければ仮分数。
• 帯分数へ： わり算をして、商が整数部分、あまりが新しい分子。
• 仮分数へ： 整数部分に分母をかけ、分子をたす。
• 同じ分母： どちらに直しても、かけらの大きさは変わらない。
• 仕上げ： 分数部分を約分し、どの形で答えるかを問題の指示で確かめる。

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