Area och omkrets förklarat: staketet, mattan och formlerna

Ditt barns matteläxa i årskurs 4 visar en rektangel som är 6 cm lång och 4 cm bred, frågar efter arean och omkretsen, och svaren blir 10 och 24, eller 24 och 24. Area och omkrets är två mått på samma figur, och barn blandar ihop dem eftersom båda utgår från samma sidlängder. En enda bild förklarar vad omkrets är och vad area är: omkretsen är staketet runt trädgårdslandet, och arean är mattan på golvet.

Vad är skillnaden mellan area och omkrets?

Omkrets är sträckan runt en figur, och area är den plana yta som finns inuti den. OpenStax Prealgebra säger det på två rader: omkrets är ”ett mått på sträckan runt en figur”, och area är ”ett mått på den yta som en figur täcker”.

För en odlingslåda är staketet runt den dess omkrets, i meter, och jorden inuti är dess area, i kvadratmeter.

Rektangeln på 6 gånger 4 från läxan visar båda på en gång. Går du runt kanten färdas du 6 + 4 + 6 + 4 = 20 längdenheter; räknar du rutorna inuti får du 4 rader med 6, vilket är 6 × 4 = 24 areaenheter.

Varför barn blandar ihop de två

Barn blandar ihop area och omkrets eftersom båda frågorna använder samma två tal, och ett barn som inte har föreställt sig figuren väljer räknesätt på måfå. Att räkna 6 + 4 ger 10, som inte är något av svaren, och att multiplicera ger 24, som bara är arean.

I USA introduceras båda begreppen i årskurs 3. Common Core-standarden 3.MD.C.7a ber barnen att ”hitta arean av en rektangel med heltalssidor genom att täcka den med rutor, och visa att arean är densamma som man får genom att multiplicera sidlängderna”. Standarden 3.MD.D.8 lägger sedan till omkrets och ber barnen visa ”rektanglar med samma omkrets och olika area eller med samma area och olika omkrets”, och 4.MD.A.3 går vidare till att ”använda formlerna för area och omkrets av rektanglar i vardagliga och matematiska problem”. I Sverige står ”metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas” i Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 4–6.

England går långsammare fram. Den nationella kursplanen i matematik ber elever i Year 4 att ”hitta arean av rätvinkliga figurer genom att räkna rutor”, och elever i Year 6 att ”inse att figurer med samma area kan ha olika omkrets och tvärtom”. Översikten över vilken matte varje årskurs bör kunna visar var de här områdena ligger bredvid multiplikation och bråk.

Så räknar du ut omkrets och area av en rektangel, steg för steg

Omkretsen av en rektangel är 2 × (längd + bredd), och arean är längd × bredd. Sex steg tar ett barn från ritningen till båda svaren med rätt enheter.

1. Skriv ut varje sida. En rektangels motstående sidor är lika långa, så en rektangel på 6 gånger 4 har sidorna 6, 4, 6 och 4. Skriv alla fyra talen på ritningen.
2. Kontrollera att enheterna stämmer. En sida på 2 m och en sida på 50 cm måste bli 200 cm och 50 cm (eller 2 m och 0,5 m) innan du adderar eller multiplicerar.
3. Addera alla fyra sidorna för omkretsen. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Genvägen 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 ger samma svar.
4. Skriv omkretsen med en längdenhet. Om sidorna är i centimeter är omkretsen 20 cm.
5. Multiplicera längden med bredden för arean. 6 × 4 = 24. På rutat papper räknar du rutorna för att kontrollera: 4 rader med 6 rutor blir 24.
6. Skriv arean med en areaenhet. Arean är 24 kvadratcentimeter, skrivet 24 cm², eftersom den räknar rutor med sidan 1 cm.

Att hitta en sida som saknas

En sida som saknas hittar du genom att använda formeln baklänges. Om en rektangel har omkretsen 30 cm och längden 9 cm är halva omkretsen 30 : 2 = 15 cm, vilket är längd + bredd, så bredden är 15 − 9 = 6 cm.

Arean fungerar likadant med division. Ta ett rum med 15 m² golv och längden 5 m: 15 = 5 × bredd, så bredden är 15 : 5 = 3 m. Standarden 4.MD.A.3 kallar det att ”se areaformeln som en multiplikation med en okänd faktor”, och guiden om hur man löser textuppgifter i matte hjälper barn att avgöra vilken formel en uppgift frågar efter.

Omkrets och area i en överblick

Omkrets och area svarar på olika frågor om samma figur, så de använder olika enheter och olika räknesätt.

En kvadrat är en rektangel med fyra lika långa sidor, så dess formler är genvägar av rektangelns. En kvadrat med sidan 5 m har omkretsen 4 × 5 = 20 m och arean 5 × 5 = 25 m².

Kan man räkna ut omkretsen från arean?

Arean ensam säger inte vad omkretsen är, eftersom många rektanglar har samma area. Arean 24 areaenheter passar alla de här rektanglarna:

• 4 gånger 6: omkrets 2 × (4 + 6) = 20
• 3 gånger 8: omkrets 2 × (3 + 8) = 22
• 2 gånger 12: omkrets 2 × (2 + 12) = 28
• 1 gånger 24: omkrets 2 × (1 + 24) = 50

Lägg till en sidas längd så blir svaret bestämt. Med arean 24 och bredden 3 är längden 24 : 3 = 8 och omkretsen 22; för en kvadrat med arean 36 är sidan 6, eftersom 6 × 6 = 36, och omkretsen är 4 × 6 = 24.

Samma omkrets, olika area: snöreexperimentet

Rektanglar med samma omkrets kan täcka mycket olika stora ytor, och en snöreslinga bevisar det vid köksbordet. Knyt ett snöre som är 24 cm långt, spänn ut det till rektanglar på rutat papper och räkna rutorna inuti varje rektangel.

Omkretsen 24 betyder att längd + bredd = 12, så rektanglarna med heltalssidor är:

• 1 gånger 11: area 11
• 2 gånger 10: area 20
• 3 gånger 9: area 27
• 4 gånger 8: area 32
• 5 gånger 7: area 35
• 6 gånger 6: area 36

Samma 24 cm staket omsluter 11 areaenheter i en lång, smal figur och 36 i en kvadrat. Bland rektanglar vinner alltid kvadraten, och därför får en bonde med en bestämd längd stängsel mest betesmark av en kvadratisk hage.

Varje area i listan är ett faktum ur multiplikationstabellen. Guiden om hopp-räkning visar hur att räkna rader med rutor växer till multiplikation, och spelet med gångertabellen tränar fakta.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

L-formade rum och andra sammansatta figurer

Arean av en L-formad figur får du genom att dela upp den i rektanglar och addera deras areor. Standarden 3.MD.C.7d ber barnen att ”hitta arean av rätvinkliga figurer genom att dela upp dem i rektanglar som inte överlappar och addera arean av delarna”.

Ta ett L som är 6 längdenheter brett nertill och 5 längdenheter högt till vänster. Dela upp det i en nedre remsa på 6 × 2 = 12 och en pelare ovanpå på 2 × 3 = 6, så arean är 12 + 6 = 18 areaenheter.

Omkretsen kräver varje yttre kant, också de två inre kanter som barn ofta hoppar över. Går du runt L:et är kanterna 2, 3, 4, 2, 6 och 5, som tillsammans blir 22 längdenheter; 4 är ovansidan av den nedre remsan (6 − 2), och 3 är pelarens höjd (5 − 2).

Så kontrollerar du framstegen med area och omkrets

Fem korta frågor visar om ett barn förstår area och omkrets eller gissar räknesätt.

• Sorteringsfrågan: Fråga om ett staket, en matta, en tavelram och en gräsmatta är jobb för omkrets eller area. Staket och ram är omkrets; matta och gräsmatta är area.
• Den enkla rektangeln: Ge en rektangel på 7 gånger 3. Omkretsen är 20 och arean 21, och barnet ska skriva ut enheterna (cm och cm²).
• Kvadraten: Ge en kvadrat med sidan 9 m. Omkretsen är 36 m och arean 81 m².
• Sidan som saknas: Ge arean 40 m² och längden 8 m. Bredden är 5 m, som du får med 40 : 8.
• Resonemangsfrågan: Fråga vilken rektangel med omkretsen 20 som har störst area. Svaret är kvadraten på 5 gånger 5, med 25 areaenheter.

Ett test på fem minuter vid köksbordet

Ett test på fem minuter med tre blandade frågor (en rektangel, en sida som saknas, ett L) visar mer än en hel sida av en enda sort. Be barnet rita figuren och säga ”runt” eller ”inuti” innan det räknar.

Barn som kan metoden för area men fastnar på multiplikationen behöver träna fakta mer än geometri. Mattespelet för årskurs 3 och mattespelet för årskurs 4 täcker det taluppfattningsarbete för årskursen som varje areauppgift vilar på, och guiden om hur man lär ut uppställning i multiplikation hjälper när sidorna blir tvåsiffriga.

Vanliga misstag med area och omkrets

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren på uppgifter om area och omkrets, och vart och ett har en fix på en rad.

• Att bara addera två sidor: En rektangel på 6 gånger 4 får omkretsen 10 i stället för 20. Skriv ut alla fyra sidorna innan du adderar, eller använd 2 × (längd + bredd).
• Att multiplicera för omkretsen: Ett barn skriver 6 × 4 = 24 som omkrets. Fråga först ”runt eller inuti?”; runt betyder addition.
• Att blanda enheter: Ett trädgårdsland på 2 m gånger 50 cm får arean 100. Gör om först: 200 cm × 50 cm = 10 000 cm², eller 2 m × 0,5 m = 1 m².
• Att glömma kvadratenheten: En area skriven som 24 cm läses som en längd. Area räknar alltid rutor, så svaret är 24 cm² eller 24 kvadratcentimeter.

Gränsfall: varför area mäts i kvadratenheter

Area mäts i kvadratenheter eftersom måttet räknar enhetskvadrater. Standarden 3.MD.C.5a säger att ”en kvadrat med sidlängden 1 längdenhet, kallad en enhetskvadrat, sägs ha arean en kvadratenhet”, så en rektangel som täcks av 24 sådana kvadrater har arean 24 areaenheter.

Kvadratenheten förklarar också varför arean inte fördubblas när sidorna fördubblas. En rektangel på 2 gånger 3 täcker 6 rutor, och en på 4 gånger 6 täcker 24, vilket är 4 gånger så många, medan omkretsen bara växer från 10 till 20, alltså 2 gånger så mycket.

Din checklista för area och omkrets och nästa steg

• Runt eller inuti: bestäm vilket frågan vill ha innan du räknar.
• Alla fyra sidorna: skriv ut varje sida på rektangeln, också de två som ritningen lämnar tomma.
• Samma enheter: gör om varje sida till samma enhet innan du adderar eller multiplicerar.
• Rätt enhet i svaret: cm för omkrets, cm² eller kvadratcentimeter för area.
• Rutat papper: rita rektangeln och räkna rutorna för att kontrollera produkten.
• Brickor eller kex: bygg rektanglar med kvadratiska brickor, och prova sedan snöreslingan på 24 cm och hitta den största arean.

Övningsbladet i multiplikation för årskurs 3 ger utskrivbar övning med facit.

Gratis övningsblad att skriva utMultiplikation — elever i årskurs 3Arbetsblad · PDF

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och kort daglig övning. Barn kan också utmana 1 till 4 kompisar eller familjemedlemmar i mattedueller i realtid, på 33 språk.