Le théorème de Pythagore expliqué : calculer n'importe quel côté d'un triangle rectangle

Un artisan qui pose une terrasse mesure 30 cm le long d'une planche, 40 cm le long de l'autre, et vérifie que la diagonale entre les deux repères fait exactement 50 cm. Si c'est le cas, l'angle est droit. Ce contrôle, c'est le théorème de Pythagore en action, et la même règle permet à votre enfant de 4e de calculer l'hypoténuse ou un côté manquant dans les devoirs du soir.

Que dit le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du plus long. OpenStax Prealgebra 2e, section 9.3 l'énonce ainsi : « dans tout triangle rectangle ABC, a² + b² = c² », où c est l'hypoténuse et a et b les côtés de l'angle droit.

En France, le théorème est au programme de 4e. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande en quatrième de « connaitre le théorème de Pythagore, sa réciproque, sa contraposée ». Les cahiers français l'écrivent souvent avec les noms des sommets : dans un triangle ABC rectangle en A, BC² = AB² + AC².

Le petit 2 en exposant veut dire « au carré », un nombre multiplié par lui-même : 3² = 3 × 3 = 9. Le guide sur les puissances reprend cette notation si elle est un peu loin. Un triangle rectangle de côtés 3 et 4 et de grand côté 5 respecte la règle, car 9 + 16 = 25.

La figure montre pourquoi la règle parle de carrés. Le carré construit sur le côté de longueur 3 contient 9 petits carrés, celui sur le côté de longueur 4 en contient 16, et celui sur le grand côté en contient 25. Les deux petits carrés réunis remplissent exactement le grand.

Quel côté est l'hypoténuse ?

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long. OpenStax la définit de la même façon : le côté opposé à l'angle de 90° s'appelle l'hypoténuse, et les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Repérez d'abord le petit carré qui code l'angle droit, puis regardez le côté qu'il ne touche pas, de l'autre côté du triangle. Ce côté est c. Les deux autres peuvent s'appeler a et b dans n'importe quel ordre, car a² + b² donne la même somme, et l'article sur les types de triangles et d'angles montre comment repérer un angle droit sans rapporteur.

Comment calculer l'hypoténuse, étape par étape

Calculer l'hypoténuse demande quatre opérations : un carré, un carré, une addition, une racine carrée. Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 9 cm et 12 cm.

1. Nommez les côtés. Repérez l'angle droit, notez c le côté en face, et appelez les deux autres a et b. Ici a = 9, b = 12 et c est inconnu.
2. Élevez chaque côté au carré. Multipliez chaque côté par lui-même : 9 × 9 = 81 et 12 × 12 = 144.
3. Additionnez les carrés. 81 + 144 = 225. Cette somme est c², l'aire du carré construit sur l'hypoténuse.
4. Prenez la racine carrée. Cherchez le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 225. C'est 15, donc c = 15 cm.
5. Vérifiez l'ordre de grandeur. L'hypoténuse doit être plus longue que chaque côté de l'angle droit et plus courte que leur somme. 15 dépasse 12 et reste sous 9 + 12 = 21, donc la réponse est cohérente.

L'étape 4 est celle que les adultes oublient le plus souvent. Le guide sur la racine carrée explique comment la trouver à la main, et connaître les carrés parfaits jusqu'à 15 × 15 = 225 rend la plupart des exercices rapides.

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Le piège : additionner les côtés

La réponse fausse la plus fréquente additionne les côtés au lieu des carrés. Un élève qui écrit 3 + 4 = 7 pour l'hypoténuse d'un triangle 3-4-5 a additionné des longueurs, et un côté en biais n'est jamais aussi long que les deux autres mis bout à bout.

La deuxième erreur s'arrête à l'étape 3. Des côtés de 3 et 4 donnent c² = 25, et 25 est l'aire du carré construit sur l'hypoténuse, donc le côté lui-même mesure 5. Faites dire « carré, addition, puis racine carrée » à voix haute jusqu'à ce que l'ordre devienne automatique.

Comment calculer un côté de l'angle droit

Calculer un côté de l'angle droit inverse une étape : on soustrait au lieu d'additionner. L'hypoténuse a le plus grand carré, donc le carré d'un côté de l'angle droit vaut c² − b².

Prenez une grande échelle de pompiers de 13 m dont le pied est posé à 5 m d'un mur. L'échelle est l'hypoténuse, donc 13² = 169 et 5² = 25. Puis 169 − 25 = 144, et la racine carrée de 144 est 12 : l'échelle atteint 12 m de haut sur le mur.

Le même problème s'écrit comme une équation à une inconnue. OpenStax le pose sous la forme 25 + b² = 169, et pour trouver b on utilise les gestes du guide comment résoudre une équation : soustraire 25 des deux côtés, puis prendre la racine carrée.

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Les triplets pythagoriciens à connaître

Les triplets pythagoriciens sont des groupes de trois nombres entiers qui vérifient exactement a² + b² = c². Cinq d'entre eux couvrent la plupart des exercices et des travaux.

Tout multiple entier d'un triplet est aussi un triplet. Multiplier 3, 4 et 5 par 2 donne 6, 8 et 10, et par 3 donne 9, 12 et 15, le triangle de la liste d'étapes. Reconnaître un triplet évite de calculer la racine carrée.

Usages concrets : écrans, échelles et angles droits

Le théorème de Pythagore sert partout où deux longueurs se rencontrent à angle droit et où l'on cherche la distance en biais entre leurs extrémités. Aux États-Unis, la norme Common Core 8.G.B.7 demande d'appliquer le théorème pour trouver des longueurs inconnues dans des triangles rectangles, dans des problèmes concrets et mathématiques, en deux et en trois dimensions.

• Diagonale des écrans : la taille des téléviseurs et des écrans se mesure d'un coin à l'autre, en pouces (1 pouce = 2,54 cm). Un écran de 48 pouces de large et 36 pouces de haut a une diagonale de 60 pouces, car 2 304 + 1 296 = 3 600 et la racine carrée de 3 600 est 60.
• Échelle contre un mur : le mur et le sol forment l'angle droit et l'échelle est l'hypoténuse. Un pied à 6 m du mur et un sommet à 8 m de haut demandent une échelle de pompiers de 10 m.
• Distance dans un repère : la norme 8.G.B.8 demande de calculer avec le théorème la distance entre deux points d'un repère. Marcher 3 rues vers l'est puis 4 rues vers le nord vous place à 5 rues du départ en ligne droite.

Le contrôle 3-4-5 de l'angle droit

Le contrôle 3-4-5 prouve qu'un angle est droit avec un simple mètre ruban. Marquez 30 cm depuis le coin le long d'un bord et 40 cm le long de l'autre, puis mesurez entre les deux repères. Une distance d'exactement 50 cm veut dire que l'angle est droit.

Ce contrôle utilise la réciproque du théorème : si a² + b² = c², le triangle a un angle droit. La norme 8.G.B.6 demande d'expliquer une preuve du théorème et de sa réciproque, comme le programme français de 4e. Une diagonale de plus de 50 cm veut dire que l'angle dépasse 90°, et une diagonale plus courte qu'il est plus fermé. Pour un grand cadre, prenez 60-80-100 cm ou 90-120-150 cm, car un grand triangle montre mieux les petites erreurs.

Comment vérifier les progrès avec le théorème de Pythagore

Cinq questions courtes montrent si quelqu'un comprend le théorème ou recopie une formule.

• Repérer l'hypoténuse : montrez un triangle rectangle posé sur un sommet. L'élève doit montrer le côté en face de l'angle droit avant tout calcul.
• Calculer une hypoténuse : côtés de 6 et 8. La réponse est 10, avec 36 + 64 = 100 écrit en entier.
• Calculer un côté de l'angle droit : hypoténuse de 17 et côté de 8. La réponse est 15, car 289 − 64 = 225.
• Utiliser la réciproque : les côtés 5, 12 et 13 forment-ils un triangle rectangle ? Oui, car 25 + 144 = 169.
• Rejeter un triangle non rectangle : les côtés 4, 5 et 6 forment-ils un triangle rectangle ? Non, car 16 + 25 = 41 et 6² = 36. C'est la contraposée qui permet de conclure.

Un test de cinq minutes

Un test de cinq minutes mélange une hypoténuse, un côté de l'angle droit et une question de réciproque, avec les carrés écrits en entier. Un élève qui écrit correctement a² + b² = c² mais bloque sur 12 × 12 ou sur la racine carrée de 169 a plus besoin des carrés parfaits que de géométrie.

Les adultes qui reprennent les maths découvrent souvent que c'est là le vrai manque. Le guide comment progresser en maths à l'âge adulte explique comment reconstruire ces automatismes en courtes séances quotidiennes, et la page jeu de maths pour adultes montre le genre d'entraînement rapide qui aide.

Erreurs fréquentes et cas particuliers avec le théorème de Pythagore

Quatre erreurs causent la plupart des réponses fausses, et chacune se corrige vite.

• L'utiliser dans un triangle non rectangle : la règle ne vaut que si un angle mesure 90°. Cherchez le codage de l'angle droit, ou testez d'abord les côtés avec la réciproque.
• Mettre le mauvais côté en c : ajouter le carré de l'hypoténuse au carré d'un autre côté donne un nombre trop grand. L'hypoténuse est toujours seule d'un côté du signe égal.
• Additionner au lieu de soustraire : un côté de l'angle droit demande c² − b². Si votre « côté » sort plus long que l'hypoténuse, vous avez additionné.
• Arrondir trop tôt : n'arrondissez que le résultat final. Arrondir une racine carrée en cours de calcul puis la remettre au carré décale le résultat.

Cas particulier : les résultats qui ne sont pas entiers

Beaucoup de triangles rectangles ont une hypoténuse qui n'est pas un nombre entier. Un carré de côté 1 a une diagonale de √2, car 1² + 1² = 2, et √2 vaut environ 1,41. Des côtés de 2 et 3 donnent 4 + 9 = 13, donc l'hypoténuse vaut √13, environ 3,61.

Laissez √13 quand l'énoncé demande la valeur exacte, et écrivez « environ 3,61 » quand il demande une mesure ou un arrondi au centième. Vérifiez un arrondi en le mettant au carré : 3,61 × 3,61 est proche de 13.

Le théorème est aussi très ancien. Pythagore a vécu vers 500 av. J.-C., selon OpenStax, mais l'histoire des mathématiques babyloniennes de MacTutor décrit la tablette d'argile Plimpton 322, datée d'entre 1800 et 1650 av. J.-C., comme une liste de triplets pythagoriciens d'entiers, et conclut que les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore.

Votre liste de contrôle sur le théorème de Pythagore et la suite

• L'angle droit d'abord : vérifiez qu'un angle mesure 90° avant d'utiliser la règle.
• Trouver c : notez comme hypoténuse le côté en face de l'angle droit.
• Hypoténuse : élevez les deux côtés de l'angle droit au carré, additionnez, puis prenez la racine carrée.
• Côté de l'angle droit : élevez l'hypoténuse au carré, soustrayez le carré du côté connu, puis prenez la racine carrée.
• Triplets : cherchez 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17 et leurs multiples avant de calculer.
• Ordre de grandeur : l'hypoténuse est plus longue que chaque côté de l'angle droit et plus courte que leur somme.

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