El teorema de Pitágoras explicado: calcula cualquier lado de un triángulo rectángulo

Un albañil que replantea una terraza marca 3 m a lo largo de una pared, 4 m a lo largo de la otra y comprueba que la diagonal entre las dos marcas mide exactamente 5 m. Si es así, la esquina está a escuadra. Esa comprobación es el teorema de Pitágoras en acción, y la misma regla le enseña a tu hijo de 2.º de ESO (13 a 14 años) a calcular la hipotenusa o el lado que falta en los deberes de esta noche.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo los cuadrados de los dos lados cortos suman el cuadrado del lado más largo. El libro OpenStax Prealgebra 2e, sección 9.3 lo enuncia así: «en cualquier triángulo rectángulo ΔABC, a² + b² = c²», donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos.

El 2 pequeño de arriba significa «al cuadrado», un número multiplicado por sí mismo: 3² = 3 × 3 = 9. La guía de las potencias repasa esa notación si hace tiempo que no la usas. Un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 y un lado largo de 5 cumple la regla, porque 9 + 16 = 25.

El dibujo muestra por qué la regla habla de cuadrados. El cuadrado construido sobre el lado de 3 contiene 9 cuadraditos, el del lado de 4 contiene 16 y el del lado largo contiene 25. Los dos cuadrados pequeños juntos llenan exactamente el grande.

¿Cuál es la hipotenusa?

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y siempre es el lado más largo. OpenStax la define igual: «el lado del triángulo opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos».

Busca primero la pequeña marca cuadrada de la esquina y mira al otro lado del triángulo, al lado que no la toca. Ese lado es c. Los catetos pueden llamarse a y b en cualquier orden, porque a² + b² da la misma suma de las dos formas, y la guía de tipos de triángulos y de ángulos muestra cómo reconocer un ángulo recto sin transportador.

Cómo calcular la hipotenusa, paso a paso

Calcular la hipotenusa lleva cuatro operaciones: cuadrado, cuadrado, suma y raíz cuadrada. Toma un triángulo rectángulo con catetos de 9 cm y 12 cm.

1. Nombra los lados. Busca el ángulo recto, marca como c el lado de enfrente y llama a y b a los otros dos. Aquí a = 9, b = 12 y c es la incógnita.
2. Eleva al cuadrado cada cateto. Multiplica cada cateto por sí mismo: 9 × 9 = 81 y 12 × 12 = 144.
3. Suma los cuadrados. 81 + 144 = 225. Esta suma es c², el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
4. Saca la raíz cuadrada. Pregúntate qué número multiplicado por sí mismo da 225. La respuesta es 15, así que c = 15 cm.
5. Comprueba el tamaño. La hipotenusa tiene que ser más larga que cada cateto y más corta que los dos catetos sumados. 15 es mayor que 12 y menor que 9 + 12 = 21, así que el resultado tiene sentido.

El paso 4 es el que más olvidan los adultos. La guía de la raíz cuadrada explica cómo calcularla a mano, y saber los cuadrados perfectos hasta 15 × 15 = 225 hace rápidos la mayoría de los ejercicios.

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Lo que más se confunde: sumar los lados

La respuesta equivocada más común suma los lados en lugar de los cuadrados. Un alumno que escribe 3 + 4 = 7 como hipotenusa de un triángulo 3-4-5 ha sumado longitudes, y un lado inclinado nunca puede ser tan largo como los dos catetos puestos uno detrás del otro.

El segundo error es pararse en el paso 3. Catetos de 3 y 4 dan c² = 25, y 25 es el área del cuadrado sobre la hipotenusa, así que el lado mide 5. Repite en voz alta «cuadrado, suma y raíz» hasta que el orden salga solo.

Cómo calcular un cateto que falta

Calcular un cateto que falta invierte un paso: restas en lugar de sumar. La hipotenusa tiene el cuadrado mayor, así que un cateto al cuadrado es igual a c² − b².

Toma un cable de 13 m que sujeta un mástil y está anclado al suelo a 5 m de su base. El cable es la hipotenusa, así que 13² = 169 y 5² = 25. Entonces 169 − 25 = 144, y la raíz cuadrada de 144 es 12, así que el cable llega a 12 m de altura en el mástil.

El mismo problema se puede escribir como una ecuación con una incógnita. OpenStax lo plantea como 25 + b² = 169, y resolverlo usa los pasos de la guía de cómo despejar la x: resta 25 en los dos miembros y después saca la raíz cuadrada.

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Ternas pitagóricas que conviene saber

Las ternas pitagóricas son grupos de tres números enteros que cumplen a² + b² = c² exactamente. Cinco de ellas cubren la mayoría de las fichas de ejercicios y de los trabajos de obra.

Cualquier múltiplo entero de una terna también es una terna. Multiplicar 3, 4 y 5 por 2 da 6, 8 y 10, y multiplicarlos por 3 da 9, 12 y 15, el triángulo de la lista de pasos. Reconocer una terna te ahorra la raíz cuadrada.

Usos reales: pantallas, escaleras y esquinas a escuadra

El teorema de Pitágoras aparece siempre que dos longitudes se juntan en ángulo recto y necesitas la distancia inclinada entre sus extremos. El estándar Common Core 8.G.B.7 pide a los alumnos de 8.º grado de Estados Unidos (13 a 14 años) «aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas de lados en triángulos rectángulos en problemas reales y matemáticos en dos y tres dimensiones».

• Diagonal de una pantalla: Los televisores y monitores se miden de esquina a esquina, en pulgadas. Una pantalla de 48 pulgadas de ancho y 36 de alto tiene una diagonal de 60 pulgadas, porque 2304 + 1296 = 3600 y la raíz cuadrada de 3600 es 60.
• Escaleras apoyadas en una pared: La pared y el suelo forman el ángulo recto y la escalera es la hipotenusa. Con el pie a 1,5 m de la pared y apoyada a 2 m de altura, la escalera mide 2,5 m, porque 2,25 + 4 = 6,25.
• Distancia en una cuadrícula: El estándar 8.G.B.8 pide «aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos de un sistema de coordenadas». Andar 3 manzanas hacia el este y 4 hacia el norte te deja a 5 manzanas del punto de partida en línea recta.

La regla del 3-4-5 para comprobar esquinas

La regla del 3-4-5 demuestra que una esquina es un ángulo recto con solo una cinta métrica. Marca 3 m desde la esquina a lo largo de un borde y 4 m a lo largo del otro, y mide la distancia entre las dos marcas. Si mide exactamente 5 m, la esquina está a escuadra.

La comprobación usa el recíproco del teorema: si a² + b² = c², el triángulo tiene un ángulo recto. El estándar 8.G.B.6 pide «explicar una demostración del teorema de Pitágoras y de su recíproco». En España, el currículo de ESO de la Comunidad de Madrid (Decreto 65/2022) recoge en 2.º de ESO el «Teorema de Pitágoras; aplicación a la clasificación de triángulos», que es justo este uso como prueba. Una diagonal de más de 5 m significa que la esquina es más abierta que 90°, y una más corta, que es más cerrada. Para una obra grande usa 6-8-10 o 9-12-15 m, porque un triángulo mayor muestra mejor los errores pequeños.

Cómo comprobar los avances con el teorema de Pitágoras

Cinco preguntas cortas muestran si alguien entiende el teorema o copia una fórmula.

• Señala la hipotenusa: Muestra un triángulo rectángulo girado. Quien aprende debe señalar el lado de enfrente del ángulo recto antes de hacer ninguna cuenta.
• Calcula una hipotenusa: Catetos de 6 y 8. La respuesta es 10, con 36 + 64 = 100 escrito.
• Calcula un cateto: Una hipotenusa de 17 y un cateto de 8. La respuesta es 15, porque 289 − 64 = 225.
• Usa el recíproco: ¿Los lados 5, 12 y 13 forman un triángulo rectángulo? Sí, porque 25 + 144 = 169.
• Descarta un triángulo no rectángulo: ¿Los lados 4, 5 y 6 forman un triángulo rectángulo? No, porque 16 + 25 = 41 y 6² = 36.

Una prueba de cinco minutos

Una prueba de cinco minutos mezcla una hipotenusa, un cateto que falta y una pregunta de recíproco, con los cuadrados escritos. Quien plantea bien a² + b² = c² pero se atasca en 12 × 12 o en la raíz cuadrada de 169 necesita repasar los cuadrados más que la geometría.

Los adultos que reconstruyen sus matemáticas suelen descubrir que esa es la verdadera laguna. La guía de cómo mejorar en matemáticas siendo adulto explica cómo recuperar esos datos en sesiones cortas diarias, y la página del juego de matemáticas para adultos muestra el tipo de práctica rápida que ayuda.

Errores frecuentes con el teorema de Pitágoras y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de las respuestas equivocadas, y cada uno tiene un remedio corto.

• Usarlo en un triángulo no rectángulo: La regla solo se cumple cuando un ángulo mide 90°. Busca la marca del ángulo recto o prueba antes los lados con el recíproco.
• Poner el lado equivocado como c: Sumar el cuadrado de la hipotenusa al de un cateto da un número demasiado grande. La hipotenusa siempre va sola a un lado del signo igual.
• Sumar cuando hay que restar: Un cateto que falta necesita c² − b². Si tu «cateto» sale más largo que la hipotenusa, has sumado.
• Redondear demasiado pronto: Redondea solo el resultado final. Redondear una raíz cuadrada a mitad del problema y volver a elevarla al cuadrado desvía el resultado.

Caso límite: resultados que no son números enteros

Muchos triángulos rectángulos tienen una hipotenusa que no es un número entero. Un cuadrado de lado 1 tiene una diagonal de √2, porque 1² + 1² = 2, y √2 vale unos 1,41. Catetos de 2 y 3 dan 4 + 9 = 13, así que la hipotenusa es √13, unos 3,61.

Deja el resultado como √13 cuando la pregunta pide un valor exacto, y escribe «unos 3,61» cuando pide una medida. Comprueba un resultado redondeado elevándolo al cuadrado: 3,61 × 3,61 se acerca mucho a 13.

El teorema es además muy antiguo. Pitágoras vivió hacia el 500 a. C., según OpenStax, pero la historia de las matemáticas babilónicas de MacTutor describe la tablilla de arcilla Plimpton 322, fechada entre el 1800 y el 1650 a. C., como «una lista de ternas pitagóricas de números enteros» y concluye que «los babilonios conocían el teorema de Pitágoras».

Tu lista de comprobación del teorema de Pitágoras y siguientes pasos

• Primero el ángulo recto: confirma que un ángulo mide 90° antes de usar la regla.
• Busca c: marca como hipotenusa el lado de enfrente del ángulo recto.
• Hipotenusa: eleva al cuadrado los dos catetos, súmalos y saca la raíz cuadrada.
• Cateto que falta: eleva al cuadrado la hipotenusa, resta el cuadrado del cateto conocido y saca la raíz cuadrada.
• Ternas: busca 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17 y sus múltiplos antes de calcular.
• Comprobación del tamaño: la hipotenusa es más larga que cada cateto y más corta que los dos catetos sumados.

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